基于雙樹復(fù)小波的重疊塊閾值降噪方法

吳定海, 張培林, 楊望燦, 齊蘊(yùn)光

(軍械工程學(xué)院 車輛與電氣工程系,石家莊　050003)

基于雙樹復(fù)小波的重疊塊閾值降噪方法

吳定海, 張培林, 楊望燦, 齊蘊(yùn)光

(軍械工程學(xué)院 車輛與電氣工程系,石家莊050003)

摘要：針對機(jī)械早期故障信號受到強(qiáng)背景噪聲影響導(dǎo)致故障特征不明顯的問題，提出一種基于雙樹復(fù)小波包的重疊塊閾值降噪方法。利用有限冗余雙樹復(fù)小波包變換對信號進(jìn)行具有平移不變性的稀疏分解，結(jié)合雙樹復(fù)小波包變換系數(shù)所具有的稀疏集簇和鄰域相關(guān)性特點(diǎn)，建立重疊塊閾值估計(jì)模型，通過最小化包含塊稀疏模型的適應(yīng)度函數(shù)獲得估計(jì)信號，分析了重疊塊閾值降噪各參數(shù)對降噪效果的影響和參數(shù)優(yōu)化原則，仿真與實(shí)測信號實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法在不同信號和不同噪聲水平下均有效地抑制了噪聲干擾，提高了信噪比。

關(guān)鍵詞：機(jī)械振動；狀態(tài)監(jiān)測；重疊塊閾值；雙樹復(fù)小波包；降噪

復(fù)雜裝備機(jī)械系統(tǒng)經(jīng)常在復(fù)雜惡劣工況下運(yùn)行，其核心部件如發(fā)動機(jī)、變速箱不可避免地產(chǎn)生不同程度的損傷或故障。為避免重大事故，開展機(jī)械在線監(jiān)測與故障診斷研究具有重要意義。振動監(jiān)測是行之有效的手段，然而機(jī)械故障信號往往被強(qiáng)背景噪聲所淹沒，造成征兆不明顯，信號特征較微弱，大大增加了設(shè)備在線故障的識別難度[1-2]。

小波變換被廣泛運(yùn)用于機(jī)械信號處理，振動信號在小波域進(jìn)行稀疏分解，基于信號與噪聲在不同分解尺度上不同傳遞特性進(jìn)而實(shí)現(xiàn)信噪分離。在小波變換系數(shù)處理方法方面，閾值處理方法如統(tǒng)一閾值、無偏估計(jì)閾值等，具有處理速度快、效率高被廣泛應(yīng)用到在線監(jiān)測信號處理中。以往的信號處理都是考慮單個系數(shù)和逐一進(jìn)行處理，Chen等[3]考慮了鄰域小波系數(shù)的影響，提出了重疊塊閾值的信號降噪方法，以一個系數(shù)塊為單位進(jìn)行考慮和處理，進(jìn)一步提高閾值估計(jì)的精度和去噪效果。

受到傳統(tǒng)離散小波變換下抽樣而導(dǎo)致偽吉布斯現(xiàn)象的影響和限制，近年來，許多學(xué)者主要研究利用冗余小波變換[4-5]如非下抽樣小波變換、多小波變換等所具有的平移不變性來提高信號處理的效果，但同時數(shù)據(jù)運(yùn)算量也大為增加。

信號的稀疏分解不僅有利于數(shù)據(jù)壓縮，更有利于后續(xù)的降噪和特征提取。本文結(jié)合雙樹復(fù)小波的平移不變性、小波系數(shù)稀疏集簇和鄰域相關(guān)特性，提出了基于雙樹復(fù)小波包的重疊塊閾值降噪方法，通過最小化凸優(yōu)化函數(shù)獲得估計(jì)信號，避免人工分塊對降噪效果的影響，并分析了該降噪算法的參數(shù)優(yōu)化原則，仿真和實(shí)測信號驗(yàn)證了該方法的有效性。

1雙樹復(fù)小波包的信號稀疏分解

雙樹復(fù)小波變換是一種有限冗余的信號處理方法，具有近似平移不變性[6-7]，降低了冗余度和計(jì)算量。雙樹復(fù)小波包二層分解與重構(gòu)過程如圖1所示。

圖1　雙樹復(fù)小波包二層分解與重構(gòu)過程Fig.1 Decomposition and reconstruction of two level DT-CWPT

為實(shí)現(xiàn)這樣的特性，雙樹復(fù)小波包變換采用兩棵并行的實(shí)小波變換樹來實(shí)現(xiàn)對信號的分解，分別為樹a和樹b，樹b的采樣部位始終位于樹a的中間，實(shí)現(xiàn)兩棵樹的信息互補(bǔ)。

雙樹復(fù)小波變換的系數(shù)以樹a為實(shí)部，以樹b為虛部，可表示為：

(1)

式中，l為變換尺度因子，J為最大變換尺度。

第一層分解采用非下抽樣小波變換，濾波器采用傳統(tǒng)的濾波器組，進(jìn)行奇偶分離后，分別進(jìn)行基于Mallat算法的分解與重構(gòu)，第二層以上雙樹復(fù)小波包節(jié)點(diǎn)尺度或小波系數(shù)表示如下：

(2)

(3)

信號重構(gòu)時對樹a和樹b進(jìn)行聯(lián)合重構(gòu)：

(4)

第二層以上分解與重構(gòu)的關(guān)鍵是濾波器組形成Hilbert變換對：

ψg(t)=H[ψh(t)]

(5)

即在對應(yīng)濾波器構(gòu)造時形成半采樣延遲：

g0(n)≈h0(n-0.5)

(6)

2重疊塊閾值降噪方法

對于原始信號x，疊加的噪聲假設(shè)為高斯白噪聲w，則含噪信號y可表示為：

y(i)=x(i)+w(i)i∈I

(7)

小波分解變換后的小波系數(shù)，具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，可以用非高斯多參數(shù)概率密度模型來表示：

x∈Rd

(8)

對于通過收縮閾值函數(shù)的方法來估計(jì)x通?？梢员硎境梢韵聝?yōu)化問題[3]：

(9)

對于雙樹復(fù)小波變換后的系數(shù)，不僅具有稀疏特性，而且具有集簇特性，變換域的相鄰系數(shù)之間存在一定的聯(lián)系，若其相鄰的小波系數(shù)的幅值較大時，那么該點(diǎn)的小波系數(shù)幅值也較大，針對以上特點(diǎn)，重疊塊閾值的降噪方法，對小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理不是逐個處理，而是先進(jìn)行分塊，再逐塊處理，閾值估計(jì)時，考慮到鄰域小波系數(shù)的影響，可通過一個滑動窗(長度為k)對系數(shù)進(jìn)行分塊處理，J代表分塊。懲罰函數(shù)可以表示成：

(10)

式中，i是小波系數(shù)塊的索引，i={0,1,…,N-1}，j是系數(shù)塊i中的小波系數(shù)索引，j={0,1,…,K-1}。對于塊邊緣采用補(bǔ)零的方式處理。

F(x)=

(11)

因此，可以獲得該信號的適應(yīng)度函數(shù)F(x)，且容易證明該函數(shù)為凸函數(shù)。對式(11)求偏導(dǎo)，得

(12)

令偏導(dǎo)為0，進(jìn)而可以求解得到

(13)

基于雙樹復(fù)小波包變換的重疊塊閾值降噪方法，主要涉及到3個參數(shù)，即分塊長度、迭代次數(shù)、λ，參數(shù)的選擇直接影響到信號降噪的效果。

從式(12)來分析，可知λ與信號降噪后的信噪比相關(guān)，但是兩者并沒有直接確定的關(guān)系表達(dá)式，那λ該如何選取，才能保證所有的噪聲被消除？無法像軟閾值那樣來確定閾值的大小T，但是λ的取值卻與原信號的噪聲水平息息相關(guān)，令

(14)

則λ的取值轉(zhuǎn)化為信號噪聲方差系數(shù)c，在重疊塊閾值中，λ和重疊塊k均影響到了閾值的大小，應(yīng)該綜合來考慮。以Heavysine仿真信號為例，圖2給出了參數(shù)λ和重疊塊k對降噪后信噪比的影響，(迭代次數(shù)選擇為10)，可知c和k的取值相對于信噪比的變化趨勢都是先增大后減小，在聯(lián)合分布中取信噪比最大時的c和k，確定為[0.37,6]。

圖2　參數(shù)λ與重疊塊k對信噪比的影響Fig.2 Effect of parameter λ and overlappling group k for signal noise ratio

重疊塊閾值采用迭代優(yōu)化，根據(jù)降噪原理，隨著迭代次數(shù)N的增加，系數(shù)x可由以下公式獲得

(15)

根據(jù)上述公式，進(jìn)而可以推導(dǎo)出，初始值為0的系數(shù)在迭代過程中始終為0，非零系數(shù)在迭代過程中始終非零，那么該方法如何實(shí)現(xiàn)降噪呢？對于被認(rèn)為是噪聲的小系數(shù)，由于考慮了鄰域系數(shù)的影響，在迭代過程中迅速減小，逐漸趨近于0，從而實(shí)現(xiàn)抑制噪聲干擾的作用。

(16)

通過大量仿真分析發(fā)現(xiàn)，在迭代一定程度以后，迭代次數(shù)N的變化對λ和k的選擇影響并不大，可以最后進(jìn)行優(yōu)選，因此，參數(shù)優(yōu)化原則為：先確定好λ和重疊塊k，再優(yōu)化迭代次數(shù)N，以適應(yīng)度函數(shù)最小值為標(biāo)準(zhǔn)選擇合適的迭代次數(shù)。

3計(jì)算結(jié)果分析與比較

3.1仿真信號分析

下面用典型的非平穩(wěn)信號heavysine信號、doppler信號、blocks信號、bumps信號來驗(yàn)證本文降噪方法的效果，通過加入白噪聲生成具有不同信噪比的含噪信號，并采用雙樹復(fù)小波包變換方法進(jìn)行分解，用重疊塊閾值方法進(jìn)行降噪處理，并通過2.2節(jié)確定和優(yōu)化相關(guān)參數(shù)，降噪效果如圖3～圖6所示，并引入信噪比(SNR)和均方誤差(RMSE)作為評價標(biāo)準(zhǔn)。

圖3　Heavysine信號的雙樹復(fù)小波包降噪Fig.3 Denoising of Heavysine signal based on DT-CWPT

圖3～圖6列出了4種仿真信號的降噪效果。由圖3所知，對于信噪比為17.165 8 dB的Heavysine信號，經(jīng)過本文方法降噪后，噪聲信號明顯得到良好的抑制，信噪比提升至32.799 4 dB，相比之下，文獻(xiàn)[7]能夠?qū)eavysine染噪信號的信噪比由17dB優(yōu)化至27.146 9 dB。

圖4　Doppler信號的雙樹復(fù)小波包降噪Fig.4 Denoising of Doppler signal based on DT-CWPT

在圖4中，對于信噪比為16.672 9 dB的Doppler信號，降噪后信噪比提升至31.507 8 dB，對比文獻(xiàn)[8]方法能夠?qū)oppler染噪信號的信噪比由16 dB提升至26.441 9 dB，本文降噪方法具有較好的效果。

對于Blocks信號，文獻(xiàn)[9]方法能夠?qū)locks染噪信號的信噪比由15 dB提升至21.27 dB，而本文可以優(yōu)化至25.559 1 dB，可知本文方法能夠較好地去除背景噪聲，抑制波形失真，保留有用信息。

另外，為測試本降噪方法在低信噪比條件下的降噪能力，圖6設(shè)置仿真信號Bumps染噪信噪比為0.83 dB，經(jīng)本文方法降噪后，信噪比可提升至11.930 5 dB，說明在較低信噪比條件下，本文降噪方法同樣能夠取得較好的降噪效果。

表1列出了利用本文降噪方法對不同信噪比典型非平穩(wěn)信號的降噪效果， 給出了優(yōu)化后的各參數(shù)和降

圖5　Blocks信號的雙樹復(fù)小波包降噪Fig.5 Denoising of Blocks signal based on DT-CWPT

圖6　Bumps信號的雙樹復(fù)小波包降噪Fig.6 Denoising of Bumps signal based on DT-CWPT

噪結(jié)果，通過對比，本文所提降噪方法要明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[8-9]的方法，有效地抑制了噪聲的干擾，更好地保留了波形特征，取得更優(yōu)的降噪效果。

表1　典型非平穩(wěn)信號的降噪效果

3.2實(shí)測信號分析

實(shí)測振動信號來自一個滾動軸承故障模擬實(shí)驗(yàn)臺，加速度傳感器安裝在軸承座上，電動機(jī)轉(zhuǎn)速控制在1 772 r/min左右，軸承型號為SKF6205，滾動軸承在軸承內(nèi)圈、外圈和滾動體上分別加工一個微小的溝槽來模擬早期故障，采樣頻率為12 kHz，軸承內(nèi)圈故障頻率為160.0 Hz。

軸承內(nèi)圈故障的原始時域波形和頻譜如圖7所示，由于故障較為微弱，軸承運(yùn)動時產(chǎn)生的沖擊被淹沒在強(qiáng)背景噪聲下。從原信號的頻譜(只給出0～500 Hz頻段)中沒能體現(xiàn)出相應(yīng)的故障特征頻率，難以直接判別該滾動軸承是否存在故障。

圖7　實(shí)測故障信號及頻譜Fig.7 Signal and frequency spectrum of bearing fault

為突出故障特征，圖8首先采用雙樹復(fù)小波包的Neighcoeff分塊閾值降噪方法對信號進(jìn)行降噪，分解層數(shù)設(shè)置5層，獲得降噪后信號和包絡(luò)頻譜，由圖可見噪聲被大量去除，但從頻譜來看僅保留了轉(zhuǎn)頻的2倍頻60 Hz，故障信息被當(dāng)作噪聲濾除，未能識別其他有效信息。

圖8　雙樹復(fù)小波包分塊閾值降噪后信號及頻譜Fig.8 Denoised signal and frequency based on daul-tree complex wavelet packet transform and NeighCoeff

采用本文方法對該故障信號進(jìn)行分析，分解層數(shù)設(shè)置5層，重疊塊長度選擇為3，噪聲方差系數(shù)c取0.45，迭代次數(shù)為15，降噪后的信號及包絡(luò)譜如圖9所示。從時域圖中可以看到，降噪后，信號機(jī)械沖擊特征得到較好的保留，周期性特征較為明顯，信號中的故障信息已經(jīng)突顯出來，對其進(jìn)行包絡(luò)解調(diào)，從包絡(luò)譜圖中可以清晰地看到倍頻60 Hz和故障頻率160 Hz，與軸承內(nèi)圈故障頻率一致，而且干擾頻率很少。

圖9　本文方法降噪后信號及頻譜Fig.9 Denoising signal and frequency based on the proposed method

4結(jié)論

(1) 提出基于雙樹復(fù)小波包變換的重疊塊閾值降噪方法，重疊塊閾值降噪方法利用分塊和迭代計(jì)算，有效地利用了雙樹復(fù)小波包變換系數(shù)間的相關(guān)性特征，結(jié)合了雙樹復(fù)小波包變換所具有的平移不變性，提高了信號的降噪效果。

(2) 重疊塊閾值降噪方法包括參數(shù)較多，體現(xiàn)閾值水平的λ和分塊長度k對信噪的降噪效果具有較大的影響，需合理選擇。

(3) 本文降噪方法能夠有效抑制早期機(jī)械故障信號中強(qiáng)背景噪聲，突出有用信息，對提高早期故障特征提取能力具有重要意義。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 陳彬強(qiáng), 張周鎖, 何正嘉. 雙密度雙樹復(fù)小波變換及其在機(jī)械故障微弱特征提取中的應(yīng)用[J]. 機(jī)械工程學(xué)報, 2012, 48 (9): 57-63.

CHEN Bin-qiang, ZHANG Zhou-suo, HE Zheng-jia.Enhancement of weak feature extraction in mechinery fault diagnosis by using double density dual tree complex wavelet transform[J]. Journal of Mechanical Engineering,2012,48(9):57-63.

[2] 孫海亮, 訾艷陽, 袁靜,等. 非抽樣多小波和Hilbert-Huang時頻分析在行星減速器早期故障診斷中的應(yīng)用[J]. 機(jī)械工程學(xué)報, 2013, 49 (2): 56-63.

SUN Hai-liang, ZI Yan-yang, YUAN Jing, et al.Undecimated multiwavelet and Hilbert-Huang time-frequency analysis and its application in the incipient fault diagnosis of planetary gearboxes[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2013,49(2): 56-63.

[3] Chen P Y, Selesnick I W. Translation-invariant shrinkage/thresholding of goup sparse signals[J]. Signal Processing, 2014, 94: 476-489.

[4] Chen Jing-long, Zi Yan-yang, He Zheng-jia, et al. Adaptive redundant multiwavelet denoising with improved neighboring coefficients for gearbox fault detection[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2013,38: 549-568.

[5] Wang Xiao-dong, Zi Yan-yang, He Zheng-jia. Multiwavelet denoising with improved neighboring coefficients for application on rolling bearing fault diagnosis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2011,25:285-304.

[6] Barri A, Dooms A, Schelkens P. The near shift-invariance of the dual-tree complex wavelet transform revisited[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications,2012,389:1303-1314.

[7] 吳定海, 張培林, 任國全,等. 基于雙樹復(fù)小波包的發(fā)動機(jī)振動信號特征提取研究[J]. 振動與沖擊, 2010, 29(4): 160-165.

WU Ding-hai, ZHANG Pei-lin, REN Guo-quan, et al. Feature extraction of an engine vibration signal based on dual-tree wavelet package transformation[J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29 (4): 160-165.

[8] 陳志新, 徐金梧, 楊德斌. 基于復(fù)小波塊閾值的降噪方法及其在機(jī)械故障診斷中的應(yīng)用[J]. 機(jī)械工程學(xué)報, 2007, 43(6): 200-205.

CHEN Zhi-xin, XU Jin-wu, YANG De-bin.Denoising method of block thresholding based on DT-CWT and its application in mechanical fault diagnosis[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2007, 43(6): 200-205.

[9] 向東陽, 吳正國, 侯新國,等. 改進(jìn)的多小波變換系數(shù)相關(guān)去噪算法[J]. 高電壓技術(shù), 2011, 37(7): 1728-1733.

XIANG Dong-yang, WU Zheng-guo, HOU Xin-guo, et al. Improved denoising method using the correlation of multiwaveleti coefficient[J]. High Voltage Engineering,2011, 37(7): 1728-1733.

Overlappling group thresholding denoising method based on dual-tree complex wavelet packet transform

WU Ding-hai, ZHANG Pei-lin, YANG Wang-can, QI Yun-guang

(Department of Vehicle and Electrical Engineering, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, China)

Abstract:In order to solve the problem that the early mechanical fault characteristics are usually indistinct due to strong background noise, an overlappling group thresholding denoising method based on dual-tree complex wavelet packet transform was proposed. The signal was sparsely decomposed by using the dual-tree complex wavelet packet which has the characteristic of shift-invariant and limited redundancy. The overlappling group thresholding denoising method based on dual-tree complex wavelet packet transform was developed which can capture the neighborhood correlation and large-amplitude coefficients form clusters, and a denoising model was built based on the minimization of a convex cost function incorporating with a mixed norm. Then the parameters optimization of the denoising model was discussed. The simulation and experimental results show that the noise reduction effect of the presented method is satisfactory for different signals with different level of noise, the background noise is restrained effectively and the signal noise ratio can be well improved.

Key words:machinery vibration; condition monitoring; block threshloding; dual-tree complex wavelet transform; denoising

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51305454)

收稿日期：2015-04-08修改稿收到日期：2015-05-26

中圖分類號:TH165；TP206

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.10.026

第一作者 吳定海 男，博士，講師，1981年10月生

E-mail：wudh81@163.com