直臂高空作業車臂架系統振動特性研究

高凌翀, 滕儒民, 王　欣

(大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連　116024)

直臂高空作業車臂架系統振動特性研究

高凌翀, 滕儒民, 王欣

(大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連116024)

摘要：作為一種普遍應用的直臂高空作業車，其臂架為箱型階梯截面伸縮桿件形式，臂架系統振動特性直接影響結構重量以及作業平臺處的振幅，決定著操作的舒適性和安全性。基于彈性體振動理論中的歐拉-伯努利梁彎曲振動方程，建立具有末端質量的變截面階梯梁彎曲振動方程，得到全伸條件下的臂架系統前三階固有頻率和振型曲線，利用狀態空間表述臂架振動方程，在Simulink環境下模擬已知臂架仰角變化條件下的臂頭位置的振動特性，并通過實例求解得到了數值計算結果。此項研究為高空作業車的振動控制提供了理論依據。

關鍵詞：高空作業車;彈性體;彎曲振動;狀態空間

高空作業車不同于其他工程機械，其主要工作形式是將人員和設備舉升到指定高度，因此對于人員安全性和舒適性有較高要求，而工作平臺在運動過程中的振動是影響上述要求的重要因素。因此，如何消減以及將振動控制在人體可感知的幅度之外，是提升高空作業車使用性能的重要方面。

目前國內針對高空作業車振動控制的相關研究從結構、液壓和控制各個方面入手，以實現運動過程的平順性和人員舒適性作為最終目標。例如采用多柔體動力學理論，對折臂式及混合臂式高空作業車的臂架系統進行動力學仿真[1-3]；在柔體動力學方程基礎上采用奇異攝動理論，通過線性二次型最優控制抑制臂架的彈性振動[4]，或采用一種魯棒性開環控制方法，即輸入整形法實現抑制作業平臺的擺動現象[5]；采用負載敏感變量泵與壓力補償平衡閥保證運動平穩性及能量利用率[6]。針對與高空作業車具有很強相似性的云梯登高消防車，Sawodny等[7-10]采用彈性體振動分析理論，對世界知名品牌馬基路斯(IVECO MAGIRUS)的多款系列化產品開展了多年的減振主動控制方面的研究。Sawodny在云梯消防車方面的研究成果對于如何實現高空作業車主動減振具有重要的借鑒意義。

圖1　直臂高空作業車結構形式Fig.1 Structure oftelescopic boom aerial work platform

考慮到關于高空作業車的動力學的現有研究主要以柔體動力學為主，本文針對高空作業車中臂架結構形式最簡單的直臂高空作業車。以振動力學中梁的橫向彎曲振動為基礎，將直臂高空作業車的臂架系統看作端部具有集中質量的階梯梁模型，研究其振動特性，為后續的控制系統設計提供基礎。圖1表示了直臂高空作業車的結構形式。

1具有末端質量階梯梁的彎曲振動

1.1臂架系統抽象模型

直臂高空作業車的臂架設計為變截面形式，以滿足臂架伸縮的需要。在臂架末端設置有一個工作平臺，用來搭載人員及設備，其質量及動力學效應相對于臂架而言不可忽略。針對直臂高空作業車的臂架特點，現有的均勻等截面梁的振動方程無法準確描述其振動特性，需要針對變截面階梯梁[11]，并考慮其末端的集中質量，建立新的動力學模型。

考慮到每一節臂架的長度與截面高度比值滿足長細梁要求，故可以將每一級臂架看作一段歐拉-伯努利梁。圖2表明，臂架截面高度逐級減小，而對于每一段梁其線密度ρA和抗彎剛度EI是恒定的，仍滿足均質等截面梁的彎曲振動方程。

圖2　直臂高空作業車臂架系統抽象模型Fig.2 Abstract model of beam system oftelescopic boom aerial work platform

根據彈性體振動理論，均質歐拉-伯努利梁的橫向彎曲振動方程為[12]

(1)

式中w(z,t)為撓度。

假設梁模型包含N段截面形式不同的部分表示為Δi，每一段由第i段梁的軸線上左右端點zi-1和zi表示。則有，

Δi=[zi-1,zi),i=1,…,N-1

zi-1

Δ1=[0,z1),ΔN=[zN-1,L]

(2)

而對于每段梁，其屬性可定義為，

ρA=ρAi,EI=EIi?z∈Δi

(3)

為了方便表述，引入新的變量R(z,t)，表達臂架上任意位置z在時間t時對水平面繞轉鉸O的弧長。

Ri(z,t)=zθ(t)+wi(z,t),z∈Δi

(4)

將式(4)代入式(1)，可以得到針對所有z∈Δi的梁的動力學偏微分方程。

(5)

式中，RiⅣ表示對長度的四階導。

1.2模型邊界條件的確定

將臂架系統的變幅系統簡化為具有轉動慣量的驅動輪轂，其轉軸即為臂架的根鉸點，將臂架變幅油缸鉸點以上的部分看作固接在驅動輪轂上。忽略臂架根鉸點與變幅油缸鉸點之間的距離，即看作臂架與驅動輪轂在z=0位置連接。

由第一段梁左端與輪轂為固定約束，則有

w1(0,t)=0

進一步可以得到系統在z=0位置的邊界條件，

R1(0,t)=0

(6)

(7)

對于梁的另一端，z=L處，將工作斗及所承受的載荷合計為mC，并令其對臂架頂端的轉動慣量為JC，根據動靜法，結合彎矩、剪力與梁撓曲度之間的關系，可得到在臂架頂端的力學邊界條件為

(8)

(9)

對于每節臂架之間的連接關系，由于有上下兩組滑塊接觸，臂架之間可以傳遞力與彎矩，并應滿足幾何連續性條件。忽略兩節臂架之間的重疊部分，將相鄰兩段梁之間的連接看作剛性連接。故在截面突變點zi處梁的撓曲函數滿足，

即可得幾何連續條件，

(10)

(11)

而在zi處，根據剪力與彎矩連續可得到動力學連續條件，

(12)

(13)

由于忽略驅動油缸及其動力學效應，將臂架仰角看作系統輸入，

(14)

2振動方程求解

2.1通解分解

由于臂架頂端的動力學邊界條件式(8)和式(9)，使得系統的動力學方程不是齊次方程組。而針對該偏微分方程 的解，可以假設包括一個齊次部分(RH)和一個非齊次部分(RⅠ)，

R(z,t)=RⅠ(z,t)+RH(z,t)

(15)

針對變截面梁模型，可以進一步得到，

Ri(z,t)=Ri,Ⅰ(z,t)+Ri,H(z,t),i=1,…,N

(16)

其中，齊次部分必須既滿足偏微分方程和齊次邊界條件，非齊次部分只滿足非齊次邊界條件。將式(15)代入式(5)，得到對于z∈Δi有

(17)

如果等式右邊為零，則等式左側為齊次微分方程。對于齊次問題，可由式(6)～式(9)得到齊次邊界條件

R1,H(0,t)=0

(18)

(19)

(20)

(21)

由式(10)～式(13)可得到齊次連續條件

(22)

(23)

(24)

(25)

2.2分離變量

根據系統具有與時間無關的確定振型的特性，故仍可采用分離變量法解梁的橫向彎曲振動問題。針對齊次微分方程的解，采用分離變量表示為

Ri,H=T(t)Zi(z)

(26)

式中，T(t)為只與時間相關的函數，Zi(z)為只與空間相關的函數。將式(26)代入式(17)可得

(27)

整理可得

(28)

(29)

空間相關函數有

(30)

將式(26)代入邊界條件式18)～式(21)，并用式(29)消除時間相關項得到

Z1,n(0)=0

(31)

(32)

(33)

Z?N,n(L)+(μN/ηN)λN,nZ″N,n(L)=0

(34)

其中定義有

(35)

用同樣方法處理連續性條件式(24)～式(27)可得

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

可用來求解所有z∈Δi的振型函數的微分方程。將式(40)代入邊界條件式(18)～式(21)和連續性條件式(22)～式(25)，從而確定系數Ai,n，Bi,n，Ci,n，Di,n。

邊界條件與連續性條件可統一由一個方程組表述，矩陣表達式為

Mnpn=0

(41)

其中，系數向量為

(42)

矩陣Mn表示為

(43)

其中，子矩陣B1表示邊界條件式(31)與(32)

(44)

子矩陣BN,n表示邊界條件式(33)與(34)

(46)

(47)

是4×4方陣，只有邊界條件子矩陣，表示末端具有質量的均質懸臂梁，是分段梁模型的一個特例。

當各段梁的屬性EIi和ρAi已知時，可根據特征值與特征角頻率ωn之間的關系，將各段梁的特征值統一由第一段梁的特征值表示

(48)

式(43)有非零解的條件是

detMn=0

(49)

當梁的分段段數N越大，矩陣Mn的階數越大，由于振型函數包括三角函數與雙曲函數，式(49)可整理為復雜的超越方程，無法得到解析解。可通過Mathematica中FindRoot函數在指定區間求式(49)的數值解，得到對應頻率的特征值λi,n，結合式(48)，可以得到各段λi,n的數值解，從而得到系數向量pn，進而得到各段梁的特征函數即振型函數Zi,n。

結合由式(29)得到的時間相關函數Tn(t)，可得到齊次解為

(50)

2.3非齊次解

偏微分方程式(5)的解假設為齊次解和一個非齊次微分方程解的和，如式(15)所示。非齊次解只符合連續條件和非齊次邊界條件，但并非控制微分方程所必須。非齊次解假設為

Ri,Ⅰ=fi(z)u(t)=fi(z)θ(t)

(51)

假設由式(17)推導出的非齊次偏微分方程在z=L處成立，由式(6)～式(9)得到非齊次邊界條件為

Ri,Ⅰ(0,t)=0

(52)

(53)

(54)

(55)

非齊次解也必須符合連續性條件式(10)～(13)。在此假設下，可以得出fi(z)=z是該問題的特解，其滿足所有邊界條件和連續性條件。

2.4主坐標下的振動方程表達

2.4.1振型函數的正交性

ρAN(κN/ηN)qN,a(L)qN,b(L)-

(56)

(57)

式(56)與(57)構成了一個希爾伯特空間H(Hilbert Space)，成為主坐標空間。

對應特征值λa,λb∈,λa,λb≠0的分段連續的特征函數Za和Zb滿足式(30)，有

兩式分別乘以Zi,b和Zi,a并相減得

(λi,a-λi,b)[Zi,a(z)Zi,b(z)]=

對等式兩邊沿某一分段積分∫Ωi(·)dΔi并進行兩次分布積分可得

[Z?i,a(z)Zi,b(z)-Z?i,b(z)Zi,a(z)-

利用式(48)，并對所有分段求和并利用邊界條件式(31)～(34)和連續性條件式(36)～(39)可得〈Za,Zb〉=0(具體推導過程略)，即振型函數在主坐標空間內具有正交性。

2.4.2主坐標下振動方程求解

與多自由度系統的振型疊加法類似，對于變截面梁的動位移可以由主坐標平面內的振型函數與權函數表示。

首先，定義主坐標下展開形式。令h∈H，則函數h(z)可以展開成廣義傅立葉級數的形式

(58)

(59)

針對運動方程式(17)在主坐標下逐項進行廣義傅里葉級數展開。對于每一段梁有ρA(z)=ρAi，z∈Δi可得

令非齊次解RI(z,t)為RI=f(z)u(t)在主坐標下表示為

(60)

對微分項做相同處理可得

(61)

則運動方程式(19)可改寫為

(62)

由于解R(z,t)是齊次與非齊次解之和，在主坐標下可以表示為

代入式(62)中可得主坐標下各階振動方程

(63)

而如果考慮結構自身阻尼，則式(63)可進一步得到

(64)

式中，Dn為各階的阻尼系數，可由實驗或根據計算得到。

2.5振動方程狀態空間表述形式

根據振動方程式(64)可得狀態空間表達式

y=Cx+Du

針對不同的輸出量y，可通過改變C與D的值獲得。例如，獲得臂頭位置的位移(弧長)變化，則需令

3實際算例

根據現有某型號直臂高空作業車臂架參數(ρAn,EIn和變截面位置zn如圖3所示)，得到三節伸縮臂在全伸狀態下(L=24.16 m)的前三階振型曲線如圖4所示。

圖3　某型號直臂高空作業車臂架參數Fig.3 Parameters of a telescopic boom aerial work platform’s boom system

圖4　前三階歸一化振型函數曲線Fig.4 Normalized first three eigenfunctions

利用Simulink中的狀態空間模塊可快速獲得所需要的輸出量y。仿真時間設定為80 s，輸入信號u(t)為臂架仰角θ的變化曲線。圖5所示為給定臂架仰角變化曲線，得到臂頭位置的角位移曲線,偏差是由于忽略了三階及以上的振型所致；圖6所示為臂頭位置的線速度變化曲線；

圖5　臂頭角位移變化曲線Fig.5 Angular displacement at tip

圖6　臂頭位置線速度變化曲線Fig.6 Velocity at tip

4結論

本文利用連續體振動原理，推導出具有末端質量的變截面梁的橫向彎曲振動方程，利用該方程求出某型號的直臂高空作業車伸縮臂在全伸狀態下的前三階固有頻率和振型函數。并選取前兩階振動特性，利用狀態空間法表達臂架的振動特性，利用Simulink中的狀態空間模擬模塊，得到在已知臂架仰角變化曲線的條件下，臂頭末端的響應特性曲線。上述研究為實現直臂高空作業車主動減振提供了理論基礎。

參 考 文 獻

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Vibration behaviors of the boom system of a telescopic boom aerial work platform

GAO Ling-chong, TENG Ru-min, WANG Xin

(School of Mechanical Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)

Abstract:The boom system of the widely used telescopic boom aerial work platform is as usual designed as a telescopic boom with stepped box sections. The vibration behaviors of boom system will influence the weight of structure and the vibration amplitude at platform, which determines the operating comfortableness and safety. Based on the Euler-Bernoulli beam bending vibration equation, the bending vibration equation of a stepped beam with tip mass was established. First three inherent frequencies of the boom system at full length and corresponding normalized eigenfunctions were acquired. The vibration equation was transformed into the state space. The vibration behavior of the boom’s tip was simulated by using the Simulink with actual parameters of an aerial work platform, under the condition of varying the elevation angle of boom. The results provide a theoretical foundation for the vibration control of aerial work platforms.

Key words:aerial work platform; elastic body; bending vibration; state space

基金項目：遼寧省自然科學基金(201102025);大連市科學計劃項目(2012A17GX122;2013A16GX111);中央高校基本科研業務專項(DUT14ZD221);遼寧省高等創新團隊支持計劃(LT2014001)

收稿日期：2015-04-10修改稿收到日期：2015-06-02

通信作者王欣 女，博士，副教授,碩士生導師，1972年生

中圖分類號:O326;TH113

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.10.036

第一作者 高凌翀 男，碩士生，1989年生