壓電驅動器系統的控制設計

王毅，　何朕

(哈爾濱工業大學 航天學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

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壓電驅動器系統的控制設計

王毅，何朕

(哈爾濱工業大學 航天學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

摘要:針對壓電伺服系統中執行機構的應用特點，分析指出壓電超聲馬達不適宜用作高精度伺服系統中的執行機構，而是應該采用壓電堆驅動的執行機構。對于壓電堆驅動器的遲滯特性，提出采用便于進行仿真研究的Bouc-Wen遲滯模型，用Bouc-Wen模型分析了壓電堆驅動器的非線性遲滯特性和它的補償問題。提出了采用基于負反饋原理的擾動觀測器來補償遲滯，進一步分析了具有遲滯特性的壓電伺服系統的自振蕩問題，并與齒隙滯環引起的自振蕩進行了比較，指出帶壓電滯環反饋的系統中是不會出現自振蕩的。基于上述分析，提出了一種壓電伺服系統的設計指導，并給出了仿真結果。

關鍵詞:壓電驅動器;超聲馬達;遲滯特性;齒隙;補償

0引言

本文的應用背景是壓電陶瓷驅動器，一般應用于超精密的伺服系統中。在高精儀器驅動方面現在廣泛采用壓電陶瓷作為執行機構。這類執行機構原理上分為兩類。一類是壓電超聲馬達，另一類是采用壓電堆的壓電驅動器。壓電超聲馬達一般用于開環的位置控制，而在精密的伺服控制中則都采用壓電堆驅動器來實現定位和跟蹤控制。伺服控制中的壓電驅動器(piezoelectric actuator,PA)都是指這種壓電堆驅動器。不過壓電陶瓷的輸入信號和輸出位移間存在一種復雜的遲滯非線性關系。這種非線性遲滯特性會影響到系統的精度。為了解決壓電陶瓷驅動的伺服系統的遲滯非線性控制，現在已經提出了多種遲滯模型來描述壓電陶瓷的遲滯特性。其中最常用的是Preisach模型[1-2]。不過Preisach遲滯算子是一種雙重積分，計算比較復雜，實際應用中是利用實驗數據，采用數值計算的方法來建模的。近年來提出了一種Bouc-Wen遲滯模型[3]。這種模型便于仿真中使用，也容易建立遲滯的逆模型，所以也得到了廣泛的應用[4-5]。

對于遲滯系統來說，系統設計中常采用補償的辦法，即用逆模型來直接補償遲滯特性[1-3]，使之不影響系統的性能。也有用反饋控制的辦法，直接采用反饋控制來保證系統的穩定性和精度[5-8]。前一種方法是一種開環補償的方法。因為有些設備很精細，很微小，當沒有合適的傳感器來實施反饋控制時就得要采取這種直接補償的辦法。不論是開環補償或反饋控制都需要用到遲滯特性的模型。文獻[9]提出采用擾動觀測器的辦法來進行補償，這時就不需要遲滯特性的精確模型了。

本文將討論壓電驅動器的特性，并針對壓電驅動器的遲滯特性來討論壓電驅動器系統的補償和控制問題。當然壓電驅動器也可用于開環的位置控制，不過本文重點是討論遲滯特性在反饋控制中的問題，并將給出一種實用的系統設計指導。

1壓電驅動器及其數學模型

1.1壓電驅動器

壓電超聲馬達是將壓電元件粘接在金屬彈性體上構成定子(也稱超聲振子)，利用逆壓電效應激發金屬彈性體產生微幅超聲振動，形成一個沿圓周方向行進的驅動行波，通過定子與動子間的摩擦耦合，實現運動輸出。文獻[10]介紹的多波長激振模式螺紋副驅動型超聲電機采用了12片壓電片進行激振，驅動行波的波長數為3，通過螺紋副實現輸出軸的運動輸出。當兩相激勵電信號相位差φ從90°改變為270°時，合成驅動行波反向運行，實現對輸出軸的反向驅動。激勵信號的頻率一般大于16 kHz，例如文獻[10]中為52.1 kHz。電機的輸出速度與最大輸出力隨激勵電壓的增大而增大，且具有較好的線性關系。故一般以激勵電壓的大小作為控制輸入。但是由于是通過摩擦耦合帶動輸出軸的，需要一定的激勵電壓才能實現有效驅動。例如，文獻[10]的樣機的激勵電壓的有效值Vrms要大于14 V。所以，超聲電機如果用于位置伺服，是存在很大死區的，而且由于羅紋副驅動存在齒隙，即系統中還存在滯環非線性，很可能在定位控制時出現自振蕩(見下文)。因此對于要求精密定位的伺服系統來說，執行機構采用超聲電機并不是一個最好的選擇。由于這些原因，壓電超聲電機一般只用于開環控制，利用其速度控制的性能來實現位置定位，例如相機的調焦[11]。

壓電堆驅動器的原理在于壓電陶瓷能在電氣和機械之間傳遞能量。當對壓電陶瓷加上電場時，陶瓷片會產生應變。如果在壓電陶瓷片上加力，則會產生電荷。壓電片需事先極化，并將壓電片疊加起來，再按圖1所示在電氣上并聯，就構成壓電堆執行器，簡稱壓電驅動器(piezoelectric actuator)。

圖1　壓電堆驅動器示意圖Fig.1　Illustration of a piezoelectric stack actuator

用壓電堆作執行機構，沒有滑動或滾轉部件，所以不受庫侖摩擦和齒隙的困擾。壓電堆的運動分辨率可達到納米級，帶寬達到kHz級[12]，故適用于精密的微米和納米級的伺服定位系統。例如激光通訊中跟瞄系統精通道的快速鏡面系統就是用3個壓電堆驅動器來完成空間定位和跟蹤的[13]。

1.2Bouc-Wen遲滯模型

壓電驅動器的系統一般可以用圖2來描述[4-5,9]。這里H表示遲滯特性，M表示驅動部件的動態特性。其中u(t)為輸入，v(t)為遲滯的輸出，即動態系統M的輸入，y(t)為M的輸出。

圖2　壓電驅動器系統框圖Fig.2　Block diagram of the piezoelectric actuator

關于遲滯特性的模型，采用Bouc-Wen模型[3]，因為這個模型便于仿真使用，也容易建立其逆模型。Bouc-Wen模型由一個一階非線性微分方程來描述為

(1)

式中：h為遲滯變量；u是輸入信號；α控制遲滯環的幅值；β和γ控制遲滯環的形狀；n控制從彈性段到塑性段的光滑度。

實際的Bouc-Wen模型是由下列的一個線性方程和式(1)的遲滯非線性方程所構成，并且一般取n=1[3]。

v(t)=dpu(t)-h(t)，

(2)

(3)

式中：v為輸出；dp是驅動器系數。圖3所示就是這個模型的計算框圖，也就是這個模型的仿真框圖。

圖3　遲滯模型的框圖Fig.3　Block diagram of the hysteresis model

圖4所示就是當u=Asin(2πf)t，f=0.1Hz時輸入輸出之間的遲滯特性。模型中的各參數為[3]：dp=1.6[μm/V]；α=0.9[μm/V]；β=γ=0.008[V-1]。圖中的大滯環對應輸入幅值A=80V，小滯環對應A=30V，輸入小時滯環的尺寸也收縮，圖中虛線所示就是各滯環頂點的連線。滯環大小隨輸入信號而有變化是這類遲滯特性一個主要特點，有別于滯環寬度不變的齒隙特性。這一點將影響到下面要討論的遲滯系統的設計思路。

圖4　遲滯特性Fig.4　Hysteresis characteristic

采用Bouc-Wen模型很容易對遲滯特性直接進行補償，也容易對遲滯系統進行仿真研究，下一節將就Bouc-Wen模型的這兩方面應用展開研究。

2遲滯特性的補償

設將圖3虛線所框部分的特性表示成h=H(u)，那么這Bouc-Wen模型就可簡化成

v=dpu-H(u)。

(4)

根據式(4)，可寫得其逆模型為

(5)

將逆模型的輸入用vr表示，并將其配置在遲滯對象之前，就可對遲滯特性進行補償，如圖5所示。

圖5　遲滯的逆模型補償Fig.5　Compensation with the inverse model

注意到Bouc-Wen模型是很容易實現的(見圖3)，所以這個遲滯補償器也是可以實現的。但是辨識得到的Bouc-Wen模型與真實的系統之間還存在不確定性，所以在構成最終的控制系統時一般還需要考慮其魯棒性[4]。

圖6　擾動觀測器Fig.6　Disturbance observer

將擾動觀測器的原理用于遲滯補償時的系統框圖如圖7所示。圖中虛線框就是所要補償的壓電驅動器。壓電驅動器的動態特性(參見圖2)用一次模態來表示，式中ω0=2π(500)=3 140rad/s，ξ=0.1，該數據取自文獻[7]的實驗曲線。這里將遲滯特性的滯環和高頻的一次模態都看做是對名義對象Gn的擾動，采用觀測器來對這些擾動進行補償。這樣，這個壓電驅動器的名義特性Gn=1。圖7中的遲滯特性用Bouc-Wen模型來代替，這樣就可以用仿真的方法來研究遲滯的補償問題了。遲滯特性的參數就是上一節中圖3和圖4模型中的參數。

圖7　觀測器補償的仿真框圖Fig.7　　　　Block diagram of the simulation for observer　　　 compensation

取觀測器補償中的濾波器為[14]

(6)

表1　濾波器帶寬

現在用仿真的方法來考察用觀測器補償的效果。取圖7中的輸入信號為

u1=Asinωt。

其中，A=50V，信號為10 Hz，即ω=2π(10)=20πrad/s。得到的正弦輸入下的輸入(u1)輸出(y)特性如圖8所示。圖中曲線1為原始的，無補償時的遲滯特性。從圖8可見，當濾波器Q(s)的帶寬為16 Hz時(曲線2)，輸入輸出之間還存在有滯環。當濾波器帶寬增至32 Hz時(曲線3)，對10 Hz的輸入來說已基本上無滯環現象，輸入輸出接近于一個線性關系。由此可見，只要根據系統的帶寬要求，選擇適當的濾波器帶寬，就可以將壓電驅動器的遲滯特性補償掉。

圖8　補償前后的輸入輸出特性Fig.8　　　　Input-output characteristics with and without　　　 compensation

從反饋控制的角度來說，圖6和圖7的觀測器是一種反饋結構。這里是將遲滯的影響當作干擾或攝動，利用負反饋來削弱其影響。下面將進一步將這種負反饋的思想融合到壓電驅動器系統的設計中去。

3遲滯特性與齒隙特性的差別

因為齒隙的滯環特性會引起自振蕩，所以要討論遲滯系統的設計還需要回答這里的壓電遲滯的滯環特性會不會引起自振蕩。齒隙特性如圖9所示，設圖中特性的斜率為1，滯環的寬度與圖4中的數據相一致。齒隙滯環的寬度是固定的，而壓電遲滯特性的滯環大小則與輸入信號的幅值有關(見圖4)。因此齒隙的滯環特性會引起自振蕩而(壓電)遲滯特性則不會引起自振蕩。

圖9　齒隙特性Fig.9　Backlash characteristic

圖10所示是一個齒隙特性引起自振蕩的典型例子[14]。圖10(a)表示測量元件中存在齒隙滯環特性，y為系統的輸出信號，yf為反饋到控制器的信號。設齒隙的參數如圖9所示。研究自振蕩時設參考信號r=0，并設輸出的初值y(0)=80μm。圖10(b)所示就是該系統在這個初值條件下的調節過程，系統很快進入到自振蕩，y的自振蕩幅值23.7μm，圖中還給出了遲滯環節輸出yf的波形。

齒隙系統(圖10)出現自振蕩的原理是因為系統的線性部分為一Ⅱ型系統，其頻率特性G(jω)的走向是在第三象限從左到右，而齒隙非線性的描述函數的負倒特性-1/N(A)也位于第三象限，其走向是自下而上，因此二者必然相交。也就是說，圖10的齒隙系統必然會出現自振蕩。那么這個因為滯環特性而必然會出現自振蕩的的系統中如果換成壓電遲滯環節仍會不會有自振蕩呢？現在將圖10(a)中的齒隙換成用Bouc-Wen模型表示的遲滯特性(參見圖3和圖4)來進行仿真研究。設y的初始條件y(0)仍為80μm，參考輸入為0.1 Hz的正弦，r=40sin0.628 t。圖11為對應的輸出響應曲線。由圖可見，系統很快收斂并跟蹤上輸入信號r，沒有自振蕩。事實上從圖4可以看到，壓電遲滯特性的滯環隨輸入幅值的減小而縮小，故即使在最容易出現自振蕩的Ⅱ型系統中也不會出現自振蕩。

圖10　齒隙系統之例Fig.10　System with backlash

圖11　壓電系統的輸出響應Fig.11　Output response of the piezoelectric system

4壓電遲滯系統的設計

上一節說明壓電遲滯的滯環特性一般不會在系統中引起自振蕩。這樣，圖4的壓電特性還可從另一個角度來解釋，即壓電遲滯環節可認為是一個比例環節，其特性如圖4的虛線所示，而遲滯的效果可以看作是這個比例特性的一種不確定性，或者說是一種攝動。只要系統的設計具有一定魯棒性，那么這個遲滯系統就相當于一個可以線性化的系統，在工作點(平衡點)上可按線性系統來設計，不會出現自振蕩。事實上反饋系統都具有一定的魯棒性，所以在一定的工作頻帶內，這種帶有遲滯的反饋系統都會具有良好的跟蹤特性。其實第2節的觀測器補償系統就是一種負反饋系統(見圖6)，在10Hz的頻帶內，即使有遲滯，仍具有圖8(曲線3)所示的良好的跟蹤性能。

對于壓電驅動器系統來說，系統的工作頻段一般是其一次諧振模態的1%-5%[1]。也就是說，相對于壓電驅動器的諧振模態，系統的工作頻段是比較低的。對于這種相對低的工作頻帶來說，積分控制既可保證靜差為零，又有很強的魯棒性[15]。所以壓電驅動器雖然存在遲滯特性，但是只要采用積分控制就可使系統具有良好的跟蹤性能。

圖12所示為一采用積分控制律的壓電驅動器之例。虛線所框就是壓電驅動器(參見圖7)。壓電驅動器的動態特性用一次模態來表示，并設ω0=2π(500)=3 140rad/s，ξ=0.1。圖中628/s為所采用的積分控制律。設跟蹤一10 Hz的信號，r=40sin62.8t，圖12(b)所示為對應的輸出響應。從圖可見，當系統的工作頻段達到10Hz時，輸出仍然能很好跟蹤輸入，不受滯環特性的影響。

現在有些關于壓電遲滯系統的文獻都是圍繞著遲滯模型來展開的，一部分文獻是基于逆模型來進行補償，一部分則基于遲滯模型提出一些先進的反饋設計方法(參見本文引言)。這些工作雖有一定的理論價值，但從工程實際來說，大多數的壓電驅動器的應用場合，采用上面提出的積分控制，毋需補償就可獲得良好的跟蹤性能。

當然這里是指系統工作在一般的頻率段來說的。當需要跟蹤200 Hz，甚至450 Hz時[16]，系統的設計就離不了遲滯模型了。不過對工作到這么高頻率段的系統來說，一般的Preisach模型或Bouc-Wen模型都不適用了，而需要研究更為精確的模型[1,16]。

圖12　積分控制之例Fig.12　Integral control example

5結論

1)對壓電驅動器來說，雖然存在有遲滯特性，利用反饋系統本身所具有的抑制擾動的性能和魯棒性就可補償滯環的不良影響。本文中的一些仿真算例很好的說明了這個問題?；谶@樣的分析而提出的積分控制可以滿足一般壓電伺服系統的應用場合，簡單而實用。

2)由于這里的設計并不要求精確的遲滯模型，所以Bouc-Wen模型對仿真研究遲滯系統來說是一個很實用的遲滯模型。當系統工作的頻率段高至200 Hz以上時就需要更為精確的模型，這也是當前遲滯模型的研究熱點。

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(編輯：劉琳琳)

Control design for piezoelectric actuator systems

WANG Yi,HE Zhen

(School of Astronautics,Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China)

Abstract:Considering with the application specifics of the piezoelectric servo system,the piezoelectric ultrasonic motor is not appropriate for use as an actuator for high precision servo systems,and a piezoelectric stack structure was proposed for the system actuator. The Bouc-Wen model of hysteresis was proposed for modeling the hysteresis characteristic of the piezoelectric stack actuator. This model is more suitable for simulation studies. The nonlinear characteristic of hysteresis of the piezoelectric actuator was then analyzed based on the Bouc-Wen model. The compensation of the nonlinear hysteresis was also discussed. A feedback-based disturbance observer for hysteresis compensation was then proposed.The self-sustained oscillation problem for servo systems with piezoelectric hysteresis was further analyzed. The limit cycles caused by the hysteresis effect of backlash was also studied for comparison. It is pointed out that self-sustained oscillations cannot appear at all in a system with piezoelectric hysteresis in feedback. Based on the above analysis,a design guide for the piezoelectric servo system was proposed,and the simulation result was also presented.

Keywords:piezoelectric actuator; ultrasonic motor; hysteresis; backlash; compensation

收稿日期:2015-11-25

基金項目：國家自然科學基金委創新研究群體科學基金(61021002)；國家自然科學基金(61174203，60374027)；863計劃(2015AA7011009)

作者簡介：王毅(1967—)，男，博士，副教授，研究方向為高精度伺服系統和摩擦補償；

通訊作者:何朕

DOI:10.15938/j.emc.2016.05.014

中圖分類號:TP 273

文獻標志碼:A

文章編號:1007-449X(2016)05-0096-07

何朕(1972—)，女，博士，教授，研究方向為控制系統設計、魯棒控制及H∞控制等。