求三角函數最值問題的策略

◇　重慶　梁明龍

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求三角函數最值問題的策略

◇重慶梁明龍

三角函數最值問題是函數最值的重要組成部分,是歷屆高考的熱點,此類問題不僅與三角基礎知識密切相關,而且與代數中的二次函數、一元二次方程、不等式及某些幾何知識的聯系也很密切．三角函數的最值問題有以下幾種類型．

1形如y=asin x+b(或y=acos x+b)型

策略利用|sinx|≤1(或|cosx|≤1),即可求解．

解函數y=acosx+b的最值與a的符號有關,故需對a分類討論.

當a=0時,不合題意;

當a=4,b=-3時,

bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=

當a=-4,b=-3時,

bsinx+acosx=-3sinx-4cosx=

所以bsinx+acosx的最大值為5.

2形如y=asin x+bcos x型

3形如y=asin2x+bsinx+c(或y=acos2x+bcosx+c)型

策略對含有sinx、cosx,并且其中一個是二次,處理方式是應用sin2x+cos2x=1,使函數式只含有一種三角函數,再應用換元法,轉化成二次函數來求解．

策略對于一個分式,分子、分母分別含有正、余弦的一次式．常利用正、余弦函數的有界性，將其轉化為關于y的不等式求解，也可以用圓的參數方程或斜率公式求解．

總之,求三角函數最值的常用方法有: 1) 配方法(主要利用二次函數理論及三角函數的有界性); 2) 化為一個角的三角函數(主要利用和差角公式及三角函數的有界性); 3) 數形結合法等．

(作者單位：重慶市大足中學)