利用乘法功能與數學建模思想證明余弦定理

張文嘉

幾何中，余弦定理有很多證明方法，只要不觸犯“禁止邏循環輯論證”規則，即為有效證明方法。這里是一種利用數的乘法功能與獨立變量的組合數學建模思想，將“數”“形”結起來，證明余弦定理的方法。

一、利用數的乘法功能

做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。

特別的，當m1=m2=m3=…=mn時。我們用字母t代替，即

m1=m2=m3=…=mn=t

則N=m1+m2+m3+…+mn=t×n

為了快速統計，逆用該公式，我們按一組t個進行分組，組數為n，整體統計結果N，我們可以用t×n代替評價。

我們如果按一組n個進行分組，組數為t，整體統計結果認為N，我們可以用n×t代替評價。

不難發現：t×n=n×t=N，n，t位置可以交換（我們稱之謂服從交換律，地位平等）。乘法口訣本質上是建立“分組標準n，組數t”與加法結果N之間的因果關系。因此，乘法有乘法具有任意拆分后的整體量評價功能。

推而廣之，我們忽略n，t的單位，抽象出無量綱的數的獨立變量。n，t可以作為兩個無量綱的數的獨立變量，t×n可以評價任何事物特征的工具之一。

二、利用獨立變量的組合數學建模思想提出合理假設

假設任何線段AB在垂直于某平面M（點A在平面內）的光的照射下，在其平面的M內影長|AB1|只與線段AB的長度|AB|、線段AB與平面M夾角n兩個獨立變量有關。設F（n）為 夾角n造影能力。

線段AB的長度|AB|、夾角n造影能力F（n）是影響“影長|AB1|的兩個獨立變量”。

于是，可以假設影長|AB1|=|AB|×F（n）+X X為常數。

根據生活經驗，AB平行于光，在其平面的M內影長|AB1|=0，F（n）=0；

AB垂直于光，在其平面的M內影長|AB1|=AB，F（n）=1；

于是有，0=|AB|×0+X

則，X=0

|AB1|=|AB|×F（n）

三、考察三角形ABC，∠A、∠B、∠C的對邊邊長分別為a、b、c，頂點A、B、C到對邊的高分別為AA1、B B 1、CC1，∠A、∠B、∠C在鄰邊上的造影能力分別為F（A）、F（B）、F（C）。

當造影在三角形ABC外部時，允許角造影能力F（A）、F（B）、F（C）取負值。三角形ABC位直角三角形時，允許角造影能力F（A）、F（B）、F（C）取零值。

求證：a2+ b2-c2=2ab cos C

a2+ c2-b2=2ac cos B

b2+ c2- a2=2bc cos A

觀察（圖一）銳角三角形ABC，（圖二）鈍角三角形ABC（∠B>90°），（圖二）直角三角形ABC（∠B=90°）

當垂直光平行于高AA1時，則有，

a = b×F（C）+ c×F（B）；---------------------①式

當垂直光平行于高BB 1時，則有，

b = a×F（C）+ c×F（A）；----------------②式

當垂直光平行于AB邊上的高CC1時，

c = b×F（A）+ a×F（B）-----------------③式

將①式、②式、③式兩邊分別同乘以a、b、c，則有

a2 = a× b×F（C）+ a×c×F（B） ---------------④式

b2 = a×b×F（C）+ b×c×F（A） ---------------⑤式

c2 = b×c×F（A）+ a×c×F（B） ---------------⑥式

將④式+⑤式-⑥式，消去F（A），F（B），則得：

a2+ b2-c2=2ab F（C）

同理，可得：

a2+ c2-b2=2ac F（B）

b2+ c2- a2=2bc F（A）

根據角的余弦值定義，并在直角三角形中驗證，則有：