二維有限差分法地震波場(chǎng)數(shù)值模擬研究

許歡

摘 要：有限差分法是地震波場(chǎng)數(shù)值模擬中最重要的方法之一，但是有限差分法模擬地震波場(chǎng) 時(shí)，計(jì)算機(jī)的內(nèi)存不可能模擬無(wú)限大的無(wú)邊界的地質(zhì)模型，這時(shí)就考慮到吸收邊界問題。本 文就以二維聲波波動(dòng)方程為例，通過(guò)對(duì)無(wú)吸收邊界條件，一階、二階吸收邊界條件效用的對(duì) 比，闡述人工邊界反射問題（虛假反射）及吸收邊界條件的重要性。

關(guān)鍵詞：有限差分法；地震波場(chǎng)；數(shù)值模擬；吸收邊界條件；偽反射

0引言

在當(dāng)今的中國(guó)乃至整個(gè)世界，經(jīng)濟(jì)的發(fā)展相當(dāng)部分由工業(yè)決定，工業(yè)離不開石油業(yè)的發(fā)展，石油業(yè)離不開地球物理勘探儀器與算法的進(jìn)步，算法中最主要的是地震資料數(shù)據(jù)處理。 為了能更好地處理地震數(shù)據(jù)，掌握地震波傳播規(guī)律，我們這時(shí)就要做好最根本的工作——地 震波場(chǎng)數(shù)值模擬。波場(chǎng)數(shù)值模擬（正演）方法有有限元法、克?；舴蚍e分法、射線追蹤法、 波動(dòng)方程有限差分法及以上方法的改進(jìn)和綜合等方法。由于有限差分法編程簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)，計(jì)算速度快，占用內(nèi)存少，模擬精度高，適用條件廣而備受青睞。但是有限差分法模擬地震波 場(chǎng)時(shí)，計(jì)算機(jī)的內(nèi)存不可能模擬無(wú)限大的無(wú)邊界的地質(zhì)模型，這時(shí)就考慮到人工邊界問題。 下面就以二維聲波波動(dòng)方程為例，闡述人工邊界反射問題（虛假反射）及其克服方法。

1二維聲波方程的有限差分公式

二維標(biāo)量聲波波動(dòng)方程（含震源）：

（1）

對(duì)（1）式進(jìn)行時(shí)間、空間均 2 階精度有限差分離散即 7 點(diǎn)差分格式（見圖 1），采用Ricker子波作為震源，整理后 可得以下差分格式：

式（2）中， k P Pi x j zk t i j = ΔΔΔ ） Δx， ， Δy，Δ z，Δt 為別為空間、時(shí)間離散步長(zhǎng)， h =Δx =Δy =Δz ，Src為震源函數(shù)。

2吸收邊界條件條件

由于地質(zhì)模型的有限性，當(dāng)?shù)卣鸩▊鞑サ降刭|(zhì)邊界時(shí)會(huì)產(chǎn)生因邊界內(nèi)外速度的巨大反差 （邊界外的速度為零），從而產(chǎn)生了不是由目標(biāo)體界面產(chǎn)生的反射，這就是虛假反射（偽反射）。通過(guò)編程實(shí)現(xiàn)了地震聲波波場(chǎng)快照。如果沒有吸收邊界條件則會(huì)有很強(qiáng)的因人工邊界造成的虛假反射，這 給地震數(shù)據(jù)的采集、處理及解釋工作帶來(lái)了諸多不便。由此我們急需解決因人工邊界引起的 強(qiáng)虛假反射。這里我們采用Clayton Engquist majda一階吸收邊界條件，其一階形式為

其二階形式為

式（3）和式（4）中，n 為邊界的外法線方向，τ 為邊界的切線方向。

從圖2中可以看出：a、b 時(shí)刻波形未到達(dá)、剛到達(dá)邊界，沒有發(fā)生反射；c、 d 時(shí)刻波形正在通過(guò)邊界，已經(jīng)吸收了大部分能量，但仍有少部分能量發(fā)生了虛假反射。

從圖 3 可以看出：由于使用了二階吸收邊界條件，當(dāng)能量傳播到邊界時(shí)，很好的被吸收 了，故 c、d 看不到因人工邊界而產(chǎn)生的虛假反射。

3結(jié)論

通過(guò)親自動(dòng)手，獨(dú)立編程模擬出了各種條件下的地震波場(chǎng)數(shù)值模擬，為地震資料的有限 差分法波動(dòng)方程逆時(shí)偏移處理打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在用有限差分法解波動(dòng)方程，然后模擬地 震波場(chǎng)的過(guò)程中，吸收邊界條件處理是不可或缺的一個(gè)環(huán)節(jié)。吸收邊界處理的本質(zhì)就是當(dāng)?shù)?震波傳到因人工造成的波阻抗時(shí)，不會(huì)產(chǎn)生回射波（backward wave）即人工邊界變成無(wú)反 射的、透明的或者是吸收的。

當(dāng)然，吸收邊界有很多種方法如多次入射法、旁軸近似法、高吸收區(qū)法、完全匹配層法 及多種方法聯(lián)立邊界條件等。在數(shù)值算法領(lǐng)域中，總存在這樣一對(duì)矛盾：數(shù)值計(jì)算精度越 高，計(jì)算量就越大，計(jì)算效率就低。所以我們?cè)谔幚韺?shí)際問題時(shí)，根據(jù)實(shí)際問題所要求的目 標(biāo)來(lái)確定計(jì)算精度，這樣既提高了計(jì)算效率，又能完美地解決問題。

參考文獻(xiàn)：

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