多邊形內角和定理適用性討論

金震宇

一、前 言

多邊形內角和定理為：n多邊形內角和 = （n - 2）180°，n多邊形外角和 = 360°，其證明源于三角形內角和 = 180°. 如圖1所示，在凸多邊形中借助輔助線引入適量三角形，使原多邊形內角和轉化為引入諸三角形內角和，從而得證. 其證明細節請參看文獻[1].

因為凸多邊形一個頂點對應一條邊，所以可數它有多少暴露出的頂點數求出較復雜凸多邊形邊數. 但是我在做題中發現，有類問題無論是數邊還是數頂點求出的結果都出錯. 這引起我興趣，故寫出來與大家討論.

二、多邊形內角和定理僅適用于凸多邊形和凹多邊形

三、多邊形內角和定理不適用于出現交叉線的多邊形

請先看圖3左圖，這是有交叉線四個頂點最簡單圖形，若用多邊形內角和定理，其內角和為360°. 這顯然不是角∠A + ∠B + ∠C + ∠D之和，題中多算了∠1 + ∠2，而∠1或∠2的具體數值不確定，僅據 ∠1和∠2為對頂角，可已得到：∠A + ∠B = ∠C + ∠D，故∠A + ∠B + ∠C + ∠D之和無解.

四、結 論

多邊形內角和定理僅適用于凸多邊形和凹多邊形，它不適用有交叉線圖形，解題時若遇到有求交叉線圖形求多角和時，要依平面兒何諸定理知識，設法把問題轉化為求凸多邊形或凹多邊形內角和，使問題得解.

【參考文就】

[1]數學，七年級下冊[M].江蘇科學技術出版社，2012年11月第3版，P31-35.

[2]學習與評價，數學測試卷，七年級下，第7章[M].江蘇鳳凰出版社.