“高觀點”下一道高考模擬題的解法賞析

肖運彭

【摘要】 對于高考數學題或相應的模擬題，教師們往往習慣用初等數學知識進行求解，實際上，能夠運用高等數學的思想方法求解，無疑對提高教師的解題能力，拓展教師的數學素養，轉變教師認識視角，深刻理解新課改理念，把握高等數學與初等數學關系有非常顯著的促進作用. 作為中學數學教師，不僅要學會用初等數學方法解決問題，而且要不斷深入的研究《數學分析》、《高等代數》、《高等數學》等課程，對中學數學的指導作用. 因此、本文就以一道模擬題為例，簡要闡述拉格朗日常數法，在解決中學數學中條件最值問題時帶來的巨大方便. 以便老師能夠體會高等數學方法的作用及意義. 【關鍵詞】 拉格朗日常數法；高等數學；中學數學；新課標

本文選自一道模擬題，該題涉及的知識主要有圓錐曲線、圓、線性規劃、切線等，這些知識在中學數學中占有及其重要的地位，是新課標下必須要理解掌握的模塊，也是高考考察的重點，這部分內容對于提高學生解題能力，促進學生理解能力，掌握數形結合等方法，都有極大的幫助.

例題：在平面直角坐標系中，已知A，B兩點的坐標分別為：A（1，0），B（-1，0），且圓C的一般式方程為：x2 + y2 - 6x - 8y + 21 = 0，點P為圓C上的動點.

（1）求過點A的圓的切線方程；

（2）求|PA|2 + |BP|2的最值.

解 （1）由題意可得圓的標準方程為：

（x - 3）2 + （y - 4）2 = 4.

圓心為：（3，4），半徑R = 2.

1）當切線的斜率不存在時，經驗證直線x = 1為圓的切線方程；

2）當切線的斜率存在時，設過點A的切線方程為：y = k（x - 1）.

即：kx - y - k = 0.

∵ 圓心到切線的距離為半徑R，∴ ■ = 2.

整理可得：|k - 2| = ■，即-4k = -3，k = ■.

由拉格朗日常數法：設L（x，y，z） = 2（x2 + y2） + 2 + λ[（x - 3）2 + （y - 4）2 - 4].

分別對x，y，λ求偏導，并令偏導的值為0，可得：

由①，②，③解得x = ，y = 或x = ；帶入目標函數2（x2 + y2） + 2，可得|PA|2 + |BP|2的最大值為100，最小值為12.

由拉格朗日常數法不難看出，該方法對于求條件最值是非常容易且簡明扼要的，不僅直接求出最大、最小值，而且輕易求出了在取得最值時對應點的坐標. 作為中學老師掌握該方法，對于拓展教師視野，理解新課標理念是有極大幫助的.