數學中“1”的巧用

葉劍飛 李劍峰

【摘要】 本文介紹了“1”在數學問題求解中的一些實例，歸納總結了數字 “1”在數學學習中的巧用.從下面三大方面展開，分別是“1”在三角函數、不等式中的巧用，“1”在不定積分方面的巧用，以及“1”在高等代數中的巧用.對“1”在矩陣運算、不等式、最值、積分、三角函數等問題中的巧妙應用進行較為全面的分類研究，從而達到巧用“1”，化繁為簡的效果.

【關鍵詞】 “1”，巧用，不等式，三角函數，矩陣運算，不定積分

數學在很多數情況下都要和數字打交道，而數字“1”正是人類最早認識的數之一，在數學中具有非常重要的地位.“1”有千千萬萬的形式和內容，可以生成任一自然數，也可以生成“單位圓”，以及“單位矩陣”等等.而這些在進行化簡、計算、證明中都扮演著舉足輕重的地位，是解題中不可缺少的元素之一.下面主要結合自己多年的解題經驗，談談“1”在各方面的活用.

1. “1”在三角函數、不等式以及最值問題中的巧用

三角函數、不等式是數學的重要內容，與數列、定積分、平面向量等都有著密切的聯系.在三角函數問題的解決時，常引入數“1”參與運算，使問題得以簡化.常見的代換有：1 = sin2α + cos2α，1 = sec2α - tan2α，1 = csc2α - cot2α，1 = tan，這一系列問題在許多問題的求值、化簡中經常用到，下面進行舉.

同時，在證明不等式，求最值時，若恰當、靈活地使用“1”，可以為證明創造條件，達到化難為易的效果.同時，利用公式a1 + a2 + … + a ≥ n解題時，有時若能巧妙利用“1”的代換，常常能使問題得以巧妙地解決.

3. “1”在積分中的巧用

不定積分中的常用計算方法有：直接積分法、換元積分法和分部積分法，計算不定積分，一般都是根據被積函數的特點來選擇具體的方法.但有時候，微積分的教學方法有時流于機械，不能體現出這門學科的精髓.本節主要探討的是在不定積分的計算中如何巧妙地運用“l”，而“1”包括利用三角替換，“加一項，減一項”等，而利用這些運算將被積函數進行適當地變形，從而達到簡化積分的目的.

4. “1”在高等代數中的巧用

在高等代數中，在求解相應的問題時，如果通過添加“1”，而這里的“1”是指單位矩陣，然后通過一系列運算，可以使得問題變得簡單.下面主要介紹下，高等代數中求標準型、矩陣求逆以及求特征值的問題.

5. 總 結

本文歸納并給出了“1”在數學學習中巧用例題，而對數字“1”的理解程度是隨著數學學習程度單調上升的，而它的變形方式在不同方面也各不相同，而這正是它之所以被廣泛運用的原因之一.巧妙地轉化并靈活運用這些等價關系，達到解決問題，優化問題的目的，是研究“1”在數學中的妙用的根本目的.

【參考文獻】

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社.

[2]王萼芳，石生明.高等代數[M].北京：高等教育出版社.