高考數學試題中的競賽數學背景探索

趙華卿

【摘要】 本文首先對數學競賽和高考數學分別進行了簡單的介紹，然后對這兩者之間的契合點進行分析，最后探討在競賽數學背景下高考數學試題的命題方法，希望能為廣大教師和學子提供幫助.

【關鍵詞】 高考數學；競賽數學；命題方法

一、高考數學命題的概述

高考的命題主要是用來提高高等學校進行人才選拔，對教育具有促進作用，高考是一種選拔性的考試，將基礎教育和高等教育銜接了起來，最終目的是將那些具有較高綜合素質、扎實基礎并且有較強能力的學生選擇出來，送進高校接受下一步的深造.

高考數學命題的依據是高中數學課程標準中提出的關于教學目標和教學要求方面的規定，以及考試大綱中對于題型以及題目難度的規定，命題可以分為兩個步驟，一是單題命制二是試卷組拼，在命題過程中需要考慮到考查的內容和能力定位、選擇什么樣的材料和題型，并且需要把控住難度和整體布局.

二、高考數學和競賽數學的區別與聯系

（一）客觀區別

高考數學是一種選拔性考試，面向全體高中畢業生選擇出優秀的一部分，來供高等院校錄取，而競賽數學面對的群體則是少部分學有余力的學生，只是對學生的數學特長發展水平進行衡量，在教育教學中的作用主要是實驗和嘗試. 二者具有不同的目的、性質并且對中學數學發揮的作用也不同，具體表現就是它們的難易程度有差異，形式方面有差異.

（二）必然聯系

雖然高考和競賽擁有不同深度和廣度的考試內容，但是都不能超出教學大綱所規定的范圍，而且同樣作為中學數學，具有一樣的數學內容、思想以及方法. 同時因為高考和競賽的目的都是選拔，所以對優秀試題也會產生類似的追求，要保證其新穎程度、深度和廣度，并且考查學生的創新意識，注重思維的發散性.

三、競賽數學背景下的高考數學試題命題方法

數學競賽是對學生數學知識運用的能力以及智力水平的考查，看學生能否順利將數學問題解決，雖然高考和競賽不相同，但是二者都有人才選拔的功能. 數學競賽中的題目都是比較典型且具有考察性的，我們將其陳述方式略加改變并且進行變形，就可以得到相應的數學試題，如今的高考數學試題中應用競賽數學的思想和方法，已經成為了其一個特征. 具體來說高考數學試題中對競賽數學題目的應用有以下幾種.

（一）直接將數學競賽試題移用

因為數學競賽中使用的試題具有很強的綜合性，并且比較新穎，所以很多學生都沒有對其進行關注，高考試題中就會直接將其引用進來. 一般來說那些直接引用的試題只是簡單修改了一下語言的表述和結論設計，不會改動試題的類型以及解題的方法.

例如第27屆美國中學生數學競賽中有這樣一道題目：

如果x是實數，那么（1 + x）（1 - |x|）是正數的充分必要條件是什么？

A. |x| < 1 B. x < 1 C. |x| > 1

D. x < -1 E. x < -1或-1 < x < 1

以這道題為原型的題目出現在2002年的全國卷中，題目是這樣的：

不等式（1 + x）（1 - |x|） > 0的解集是 （ ）.

A. {x|0 ≤ x < 1} B. {x|x < 0且x ≠ -1}

C. {x| - 1 < x < 1} D. {x|x < 1且x ≠ -1}

這兩道題修改的只是試題的備選答案，并且只是換了一種表述，并沒有修改試題的主干部分，近年來高考試題中有一個命題特點就是從國外的數學競賽中進行取材.

（二）變形改造數學競賽試題

數學競賽試題往往都具有一個特點，就是解題方法比較獨特并且形式方面比較新穎，很多高考試題都會對其進行借鑒.

（三）推廣數學競賽的試題

因為數學競賽試題可以將高中數學知識一些方面的應用領域反映出來，所以高考試題中很多題目會以競賽試題作為主干，在解題思路方面也和競賽試題完全相似，有的時候相比起原本的競賽試題來說，這種高考試題難度更高.

例如2007年高考數學遼寧卷中理科版中有一道題目是這樣的：

若θ∈π，π，那么復數（cosθ + sin θ） + （sin θ - cos θ）在復平面內對應的點位于一、二、三、四哪個象限？

這道題目是一道綜合題，其中包括了復數和三角函數兩方面的知識，而其原型來自于1989年全國高中數學聯賽中的一道題目：若A，B是銳角三角形△ABC的兩個內角，那么復數z = （cos B - sin A） + （sin B - cos A）在復平面內所對應的點，位于一、二、三、四哪個象限？

（四）演繹深化數學競賽試題

高考數學試題不僅和數學競賽的試題擁有很相似的試題形式，涉及的數學知識領域以及數學思想方法也很多都是相似的，一般來說這種類型的高考數學試題是選擇了數學競賽試題中的一些條件引申，或者是研究得出的性質和結論作為題目來使用的.

例如2006年遼寧省的高考數學試題中有一道是：若一條直線和一個正四棱柱各個面所成的角都為α，那么cos α為多少？

這道填空題還是比較具有難度的，而它的原型則來自于1990年廣西高中所使用的一道數學競賽題，題目為：已知一個平面和正方體的12條棱產生的夾角均為θ，那么cos θ是多少？這兩道題目雖然略有不同，不過答案都是一樣的.

【參考文獻】

[1]趙興杰，蔣路琴. 從近三年高考理科數學試題談高中統計與概率的教學[J]. 遵義師范學院學報，2013，03：106-109.

[2]晨旭. 體現數學文化 突出實踐能力──2015年高考數學試題評析[J]. 中國考試，2015，11：11-15.