有趣的集合問題微探討

郭詩琪

【摘要】 討論集合中的兩個極端概念. 一個是空集Φ與集合{Φ}之間的關系，另一個是無限集合，探討兩個無限集合與元素之間是否能形成一一對應的關系.

我在學習高中《數學（必修1）》第一章集合時，感覺它的基本知識和基本概念既不難學，也不難懂，然而在不斷做題的過程中，卻又產生許多困惑，于是引發我的思考，進而發現其中的有趣現象，激發了我的學習興趣.

集合，即把一些元素組成的總體稱為集合，它具有確定性、無序性和互逆性，表示集合的方法有列舉法、描述法. 集合理論的內容十分豐富，它是各門數學學科的基礎，集合概念已發展成為數學的一個分支——集合論. 要很好地掌握并運用它并不是容易的事，下面將討論集合中的兩個極端概念. 1. 空集Φ與集合{Φ}

我們知道，Φ是一個不含任何元素的集合，稱之為空集；{Φ}是含有元素Φ的集合，它不是空集. 它們是完全不同的集合，然而它們之間又是有聯系的.

（1）包含關系

教材中，集合之間的關系是這樣定義的：對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合B的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集. 因此可以這樣說，由集合的包含關系可知，Φ是不含任何元素的集合，它的任何元素都是其他集合中的元素，因此Φ是任何集合的子集，從而有Φ包含于{Φ} . 同時，因為空集Φ不含任何元素，所以{Φ}中的元素Φ不屬于Φ集合，從而Φ是{Φ}的真子集.

（2）隸屬關系

因為{Φ}中含有元素Φ，所以Φ屬于{Φ}，元素Φ與集合{Φ}間為隸屬關系，即Φ∈{Φ}.

根據上面的推理，讓我們的思維再延展一下：假設由不同元素a，b組成的集合U1={a，b}，在考慮由U1的所有子集組成的集合U時，往往容易忽略空集Φ是集合U的元素，在做類似的題型時，建議同學們可以提起筆，列一下集合U的組成，思路便清晰了，即U={Φ，{a}，，{a，b}}={Φ，{a}，，U1}.

教材中指出了元素與集合的隸屬關系以及集合與集合的包含關系，卻沒有說明同一集合中的元素之間是否存在隸屬和包含關系. 根據上面的假設，我又在想，當Φ、{a}、、U1同為集合U的元素時，它們之間肯定不可能存在隸屬關系，也就不能認為Φ、{a}、包含于U1，而事實上，Φ、{a}、又確實是U1的子集，即.

再假設集合U1 = {Φ}，則由集合U1的所有子集組成集合U = {Φ，{Φ}}，這時的Φ、{Φ}均是集合U的元素. 如果認為元素之間沒有隸屬和包含關系，那么也就不可能認為Φ∈{Φ} 和，到底Φ與{Φ}之間是否存在隸屬關系？

因此可以總結為：如果為同一個集合中元素，則元素之間無隸屬與包含關系；但在某種情況下，把它們看作集合，則存在隸屬與包含關系.

2. 無限集合以及幾類無限集合間對應關系

比較兩個有限集合中含元素個數的多少，可以采用在兩集合中的元素是否可形成一一對應關系的方法來進行比較，我們可以將這種比較方法推廣到無限集合中去. 顧名思義，無限集合指由無限個元素組成的集合，它在數學中無處不在，一般常見的有整數集合等. 我們知道，自然數集合N = {0，1，2，3，…}、正整數集合N+={1，2，3，…}以及正奇數集合M = {1，3，5，…}等這些集合都是無限集合，建立這些集合之間的一一對應關系也是比較容易的.

例如，集合N+與集合M之間元素可以形成n？圮2n - 1，這就意味著兩無限集合的元素間建立了一一對應關系.

再如，有實數集合A、B、C，A={x|x > 1}，B1={x|0 < x < 1}，B2={x|0 ≤ x < 1}，A是能與B1形成一一對應關系還是能與B2形成一一對應關系呢？下面做分析：

當X∈A時，則∈B1，可以認為集合A與集合B1的元素間能形成一一對應關系.

當X = 0時，為∞. 由于集合A中包含“∞”對應于集合B2中的“0”，看上去似乎能形成一一對應關系，但集合A中元素“∞”僅是一個記號，是永遠不能達到的一個記號，而集合B2中的元素“0”確是實實在在存在的數. 因此集合A與集合B2間不能形成一一對應關系.

兩個集合的元素個數是否相等，是視能否在它們的元素之間找到一一對應關系來判定的. 如偶數集合和整數集合間是有一一對應關系的，根據定義，則說明偶數和整數是一樣多的，雖然這有悖于一般認識，加之由于知識面有限，有時很難判斷兩集合元素之間是否有應對關系.

舉個例子：圓面集合A = {（x，y）|0 < x2 + y2 < 1}與集合B = {（x，y）|x2 + y2 > 1}，是否可以找到集合A與集合B的元素間的對應關系呢？

如果集合A、B之間的元素表示為：（ρcosΦ，ρsinΦ）∈A，（0 < ρ < 1， 00 ≤ Φ ≤ 3600），必能對應于：∈B，（0 < ρ < 1，00 ≤ Φ ≤ 3600）. 這樣A與B中元素就形成了一一對應的關系，我們可以認為集合A與集合B中含的元素個數一樣多.

如果兩集合之間暫時沒有找到元素之間的對應關系，也不必說永遠找不到一種一一對應的關系，所以比較兩集合含元素個數的多少是一個很有趣的問題. 即使知道某集合是有限集合，可誰又知道這個“限”是多少呢，正如天上星星與地上砂粒從理論上說都是有限集合，誰又能比較出哪個更多呢？