《4.2證明（一》教學案例

張利芬

摘要：本節是探索證明（文字組成）的基本格式，課本通過觀察、操作，說明學習證明的必要性，探索文字組成的命題的證明格式和由幾何圖形組成命題的證明的聯系，并突出研究了由純粹文字組成的命題的證明。

關鍵詞：證明；格式；聯系

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）05-0106

一、教學課程

九年制義務教育八年級數學（浙教版）下冊第四章第二節“證明”第一課時。

1. 學習方式

本節是探索證明（文字組成）的基本格式，課本通過觀察、操作，說明學習證明的必要性，探索文字組成的命題的證明格式和由幾何圖形組成命題的證明的聯系，并突出研究了由純粹文字組成的命題的證明。在本節的設計中，充分體現了學生觀察、猜測、歸納的作用，用轉化的觀點研究由純粹文字組成命題的證明的格式，使學生明確證明的格式。

2. 學生任務分析

充分利用教科書提供的素材和活動，鼓勵學生從事觀察、測量、折疊、平移、旋轉、推理證明等活動，幫助學生有意識地積累活動經驗，獲得成功的體驗。教學中應鼓勵學生動手、動口、動腦和交流，充分展示“觀察、操作——猜想、探索——說理（有條理地表達）”的過程，使學生能在直觀的基礎上學習說理，體現合情推理和演繹推理的融合，促進學生形成科學地、能動地認識世界的良好品質。

3. 學生的認識起點分析

學生已具備觀察問題和分析問題的能力，學生通過前面的學習，如公理、定理、定義等認識了推理的依據，積累了一定的數學活動經驗。特別是說明幾何命題成立的理由，為這節課打下了堅實基礎。

4. 教學目標

知識與能力目標：通過一些簡單命題的證明，初步訓練學生的邏輯推理能力；通過證明步驟中由命題畫出圖形，寫出已知、求證的過程，繼續訓練學生由幾何語句正確畫出幾何圖形的能力。

過程與方法目標：經歷觀察、猜想的偏差，體驗證明的必要性；通過實例，說明推理過程中要步步有據。

情感、態度與價值觀：體驗證明的必要性，理解證明的作用。

5. 教學重點

證明的含義及證明的基本格式——畫、寫、證。

6. 教學難點

探索純粹由文字組成的命題的證明的基本格式。

教學過程：創設情景，引入新課

導入：我們通常用眼睛觀察世界，人們常說“耳聽為虛，眼見為實”，是真的嗎？

“考一考眼力”：如圖，線條a、b是直線還是曲線？

師：直觀判斷結論如何？操作驗證結論又如何？有什么體會？

觀察得到的結論不一定正確。

【教法說明】通過本環節，讓學生觀察圖形，得出結論，發現眼見不一定為實，這就需要我們對此進行驗證，從幾何方面說明推理的必要性。

“考一考耐力”：當n=0，1，2，3時，代數式-n2+2n+11的值分別是11，12，11，8，它們都是正數，那么，命題“當n=4時，代數式-n2+2n+11的值是正數”及“當n≥4時，代數式-n2+2n+11的值都是正數”和“當n≥5時，代數式-n2+2n+11的值都是負數”真命題，對此你是怎么想的？

簡單歸納所得結論也不一定正確。

【教法說明】本環節設置，是為了讓學生嘗試檢驗得出一些值，并進行猜想，得出猜想不一定正確，此時就有必要驗證說明，但是由于數的概念，不能一一進行驗證，這時就需要引出證明。這是從代數方面說明推理的必要性。

可見，對觀察和猜想歸納得到的結論要進行進一步的證實，怎樣證實呢？這就是我們今天要學習的內容——4.2證明（一）（板書）

二、新課

在數學學習中，你用過證明嗎？請舉例說明。

比如：已知：如圖，∠1+∠2=180°，說明a∥b成立的理由。

解：∵∠1+∠2=180°（已知）

∠2+∠3=180°（平角的定義）

∴ ∠1=∠3（同角的補角相等）

∴ a∥b（同位角相等，兩直線平行）

可見，要判斷一個命題是真命題，往往要從命題的條件出發，根據已有的定義、定理、公理，一步一步推得結論成立，這樣的推理過程叫做證明。

【教法說明】通過上面這個環節的設置，主要是為了讓學生回顧以前所學的知識，讓他們了解本節課與前面所學知識的聯系，以便更好的理解證明的含義和書寫證明過程的格式。同時讓學生明白說理時要以定義，定理和公理為依據，進行一步一步得出結論成立，從而提出了證明的含義。

認識了證明之后，在以后的解題中就把“說明什么成立的理由”，寫成“求證什么”，把“解”寫成“證明”。

想一想：從直觀上看，命題“兩直線平行，同位角相等”與上述命題的不同點？你能把這個命題轉化為上述命題的形式嗎？

【教法說明】讓學生在比較中，了解說明文字命題的真假，讓學生對證明的基本書寫格式有一個感性的認識，為下面例題的學習做好鋪墊。

分析命題的條件和結論，畫出圖形，用數學語言寫出已知和求證。

“兩直線平行，同位角相等”

練習：畫出和寫出命題“在同一個三角形中，等角對等邊”的圖形、已知和求證。

純粹由文字語言組成的命題應如何證明呢？

例1. 證明“一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，且方向相同，則這兩個角相等”是真命題。

學生活動：由學生分組討論以上命題的證明過程，按自己的理解說出證明一個命題都需要哪幾步。

在總結步驟時，學生所說的層次邏輯性不強，或不太嚴密，教師要注意引導，使學生分清命題證明幾個步驟的先后層次。

根據學生討論，回答結果。教師歸納小結，師生共同得出證明命題的步驟（出示投影）：

第一步，畫出命題的圖形。

先根據命題的題設即已知條件，畫出圖形，再把命題的結論即求證的內容在圖上標出，還要根據證明的需要，在圖上標出必要的字母或符號，以便于敘述或推理過程的表達。

第二步，結合圖形寫出已知、求證。

把命題的題設化為幾何符號的語言寫在已知中，命題的結論轉化為幾何符號的語言寫在求證中。

第三步，經過分析，找出由已知推得求證的途徑，寫出推理的過程。

例2. 已知：如圖，AC與BD交于點O，AO=CO，BO=DO，說明AB∥CD的理由

【教法說明】通過這個環節，讓學生明白當一個幾何命題已經包含相應的圖形，已知和求證，則只需在表述中寫出推理過程。同時，要注意證明時要做到步步有據。

三、練習

練習1：證明命題“兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么同位角也相等”是真命題。

學生活動；獨立作業，同桌交流，作業展示，評價修正，證明應注意什么？

練習2：已知：如圖，BC⊥AC于點C，CD⊥AB于點D，∠EBC=∠A，求證：BE∥CD獨立作業，你是怎樣思考的？作業展評修正。

練習3：證明：“當n≥5時，代數式-n2+2n+11的值都是負數”是真命題。

四、課堂小結

今天我們學習了證明，請你談談你的體會與收獲？

補充練習：完成下列證明，并在括號內填寫理由：

已知：如圖，AB∥DE，∠1=∠2

求證：AE ∥DC

證明：∵ AB ∥DE （ ）

∴∠1=∠AED （ ）

∵∠1=∠2 （ ）

∴∠___=∠___ （ ）

∴ AE∥DC（ ）

1. 分析下列命題的條件和結論，畫出圖形，寫出已知和求證全等三角形對應邊上的中線相等。

2. 如圖，AC與BD相交于點O，若AC=BD，AO=BO，求證：AB∥CD

五、作業布置：必做題：作業本（1）書上A組2，3題

選做題：書上B組4題，5題

六、板書設計：4.2證明（1）

1. 證明的格式：

（1）畫出符合題意的圖形

（2）分析命題的條件和結論，

在“已知”中寫出條件，在“求證“中寫出結論。

（3）在“證明”中寫出推理過程注意點：證明時要做到步步有據。

2. 思想：轉化思想。

（作者單位：浙江省瑞安市場橋中學 325200）