淺談初中數學解題滲透的思想方法

徐旭云

所謂數學思想，是指人們對數學理論與內容的本質認識，它直接支配著數學的實踐活動.所謂數學方法， 是指某一數學活動過程的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性和可操作性等特點.數學思想是數學方法的靈魂，數學方法是數學思想的表現形式和得以實現的手段，因此，人們把它們合稱為數學思想方法.

1. 分類討論思想

分類討論是根據教學對象的本質屬性將其劃分為不同種類，即根據教學對象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類.分類是數學發(fā)現的重要手段.在教學中，如果對學過的知識恰當地進行分類，就可以使大量紛繁的知識具有條理性.

例如，實數的絕對值定義是采用分類法給出的，在這個定義中選擇a = 0作為分類的標準.在每一類中，其結果都不包含絕對值符號.因此定義也給出了脫去絕對值符號的一種方法.再如，在同一個圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半.為了驗證這個猜想，教學時常將圓對折，使折痕經過圓心和圓周角的頂點，這時可能出現三種情況：（1）折痕是圓周角的一條邊，（2）折痕在圓周角的內部，（3）折痕在圓周角的外部.驗證時，要分三種情形來說明，這里實際上也體現了分類討論的思想方法.還有，對三角形全等識別方法的探索，教材中的思考題：如果兩個三角形有三個部分（邊或角）分別對應相等，那么有哪幾種可能的情況？同時，教材中對處理幾種識別方法時也采用分類討論，由簡到繁，一步步得出，教學時要讓學生體驗這種思想方法.

2. 數形結合思想

一般地，人們把代數稱為“數”而把幾何稱為“形”，數與形表面看是相互獨立，其實在一定條件下它們可以相互轉化，數量問題可以轉化為圖形問題，圖形問題也可以轉化為數量問題.

初一教材引入數軸，就為數形結合的思想奠定了基礎.有理數的大小比較、絕對值的幾何意義、列方程解應用題中的畫圖分析等，充分顯示出數與形結合起來產生的威力，這種抽象與形象的結合，能使學生的思維得到鍛煉.

數形結合在各年級中都得到充分的利用.例如，點與圓的位置關系，可以通過比較點到圓心的距離與圓半徑兩者的大小來確定，直線與圓的位置關系，可以通過比較圓心到直線的距離與圓半徑兩者的大小來確定，圓與圓的位置關系，可以通過比較兩圓圓心的距離與兩圓半徑之和或之差的大小來確定.又如，勾股定理結論的論證、函數的圖像與函數的性質、利用圖像求二元一次方程組的近似解、用三角函數解直角三角形等等都是典型的數形結合的體現.實踐與探索中行程問題教學，經常是利用線段圖解的方法來引導學生分析題中的數量關系.

在數學教學中，由數想形，以形助數的數形結合思想，具有可以使問題直觀呈現的優(yōu)點，有利于加深學生對知識的識記和理解；在解答數學題時，數形結合，有利于學生分析題中數量之間的關系，豐富表象，引發(fā)聯想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力.抓住數形結合思想教學，不僅能夠提高學生數形轉化能力，還可以提高學生遷移思維能力.

3. 整體思想

整體思想在初中教材中體現突出，如在實數運算中，常把數字與前面的“+，-”符號看成一個整體進行處理；又如用字母表示數就充分體現了整體思想，即一個字母不僅代表一個數，而且能代表一系列的數或由許多字母構成的式子等；再如整式運算中往往可以把某一個式子看作一個整體來處理，如：（a + b + c）2 = [（a + b） + c]2視（a + b）為一個整體展開等等，這些對培養(yǎng)學生良好的思維品質，提高解題效率是一個極好的機會.

4. 化歸思想

化歸思想是數學思想方法體系主梁之一.在實數的運算、解方程（組）、多邊形的內角和、幾何證明等等的教學中都有讓學生對化歸思想方法的認識，學生有意無意接收到了化歸思想.如已知（x + y）2 = 11，xy = 1 求x2 + y2的值，顯然直接代入無法求解，若先把所求的式子化歸到有已知形式的式子（x + y）2 - 2xy，則易得： 原式 = 9；又如 “多邊形的內角和”問題通過分解多邊形為三角形來解決，這都是化歸思想在實際問題中的具體體現.再如解方程（組）通過“消元”、“降次”最后求出方程（組）的解等也體現了化歸思想；

化歸思想是解決數學問題的一種重要思想方法.化歸的手段是多種多樣的，其最終目的是將未知的問題轉化為已知問題來解.實現新問題向舊問題的轉化、復雜問題向簡單問題轉化、未知問題向已知問題轉化、抽象問題向具體問題轉化等.除此之外，很多知識之間都存在著相互滲透和轉化：多元轉化為一元、高次轉化為低次、分式轉化為整式、一般三角形轉化為特殊三角形、多邊形轉化為三角形、幾何問題代數解法、恒等的問題用不等式的知識解答……

5. 變換思想

變換思想是由一種形式轉變?yōu)榱硪环N形式的思想.解方程中的同解變換，定律、公式中的命題等價變換，幾何圖形中的等積變換等等都包含了變換思想.具有優(yōu)秀思維品質的一個重要特征，就是善于變換，從正反、互逆等進行變換考慮問題，但很多學生又恰恰常忽略從這方面考慮問題，因此變換思想是學生學好數學的一個重要武器.

從初中階段就重視數學思想方法的滲透，將為學生后續(xù)學習打下堅實的基礎，會使學生終生受益.