二次根式概念教學中容易忽略的問題及解決辦法

陳利全 張貴梅

【摘要】 依據現行的教材版本，二次根式概念使用揭示外延方法定義的，此概念即非負數的算術平方根.教師同法跟進，回避不了兩個細小問題：為什么要學習二次根式？“-（a ≥ 0）”叫不叫二次根式？教材如此編寫的意圖何在？這兩個問題如何解決？作為教師必須要有清醒的認識，實踐中才能使自己視野開闊，心中有數，手腳解放.

【關鍵詞】 二次根式概念；問題；解決辦法

新人教版二次根式章節內關于概念的引入，采用列舉幾個實例的方法，出現了幾個正數求算術平方根的情況，由此引出二次根式的概念.即：型如（a ≥ 0）的式子稱作二次根式.在這里，教材是采用揭示外延的方法來給概念定義的.這樣處理的合理性在于：1. 反映了客觀現實需求催生二次根式這一新內容.2. 凸顯數學應用的廣泛性和教學的工具性.3. 教材體現知識主干內容、為教師充分發揮主觀能動性預留空間.但也有不足點，就是弱化知識體系的建構脈絡.實踐中，許多教師在進行這個內容教學時，同法跟進，簡單處理，很容易忽略下面三個細小問題.

一、為什么要學習二次根式

代數學的主要標志是用字母表示數.初中關于式的運算體系是漸進建立的，由整式、分式過渡到根式是運算體系的自然延展，是字母位置標注出式的結構特點的必然展現，是客觀世界數量關系的定量描述的需要，是數學發展的歷史使命和歷史階段.簡單說，是數學語言表達客觀存在，是建構知識體系的需要，所以，我們要研究學習二次根式.數學一門工具學科，學習數學知識主要為了計算，二次根式也是一種運算方式，如兩個數的積有平方的表現形式，那么反過來哪個數的平方等于已知數呢？這就是二次根式表達的意義，在實際的問題中，如已知正方形的變長，可以簡單的求出面積，那么已知正方形的面積，如何求邊長呢，這是二次根式要解決的問題，也是學習二次根式的重要原因.

二、“-（a ≥ 0）”是不是二次根式

按教材的處理方法，這個問題不容易回答.如果回答是，概念的外延中沒有包含，如果回答不是，我們行將在后續課時中又會加以認可和運用.如3 - （-）這樣的運算問題.實踐中，有教師采取回避辦法，此課時中一律不出現型如“-（a ≥ 0）”的式子，讓這個問題根本不顯現，還有教師根本沒意識到這個問題，稀里糊涂默認它是，并且唐突地在習題中加以應用.

三、重視（a ≥ 0）中的a ≥ 0

在很多數學題的計算中，大部分學生會忽略二次根式的隱晦條件，即a是大于等于0的，如果能夠充分的運用這個條件，很多題目將會變得更加簡單.如在a滿足|2012 - a| + = a，那么a - 20122的值為多少的選擇題中，已知四個答案分別為2011，2012，2013，2014，按照傳統的解方程方式，直接求出a的具有較大的難度，如能抓住（a ≥ 0）中a ≥ 0這個隱晦條件，就可知本題中的a - 2013 ≥ 0，故而a ≥ 2013，然后化簡題目中的方程，最終得出答案為2013.很多教師在實際課堂教學的過程中，往往會忽視這些簡單的隱晦條件，使得學生在解題中，經常會忘記利用最基本的條件，浪費了解題的時間.

四、問題的解決

關于第一個問題，可以采用組題式設問解決，具體做法是：

（1）計算：a（a - b） - （a + b）2.這是一道什么類型的計算題目？

（2）計算： - .這又是一道什么類型的計算題目？

（3）計算： - .誰能解答這個問題？

（4）上列三個式子的異同點是什么？

師生共同揭示：都是用字母表示的數的運算，不同之處在于字母在式中的位置不相同.

教師點題：關于式的運算我們遇到了新的問題，我們學習二次根式就是要完善式的運算，從而建構式的運算體系.也可以利用一些實際問題，來引入二次根式的概念，讓學生們切身的體會到為什么要學習二次根式，如在以往的學習中，我們知道已知圓形的半徑求圓的面積，那么現在已知圓形的面積，如何求出圓的半徑呢？老師可以根據課堂的實際情況，給出具體的數目.如已知圓形的面積為2π平方厘米，那么讓學生們分組討論該圓形的半徑是多少，學生們經過討論后會得出，半徑的乘積是2厘米，老師這個時候就可以點題，利用二次根式就可以表達出半徑是厘米.這樣的教學方式，能夠讓學生直觀的了解到二次根式的概念，以及為什么要學習二次根式.

關于第二個問題，可以告訴學生：1. 由正數的平方根概念知道（a > 0）和-（a > 0）是成對出現的，±（a ≥ 0）作為一個數看待，僅是性質符號不同，它們作為概念的本質屬性是一樣的，所以“-（a ≥ 0）”是二次根式（當然，要回避概念定義法的規則）.2. 定義二次根式概念時，沒有列舉出外延中帶負號的部分，考慮到了前述第一個理由，也考慮到了學生已有代數和這個基礎知識，可以理解將性質符號與運算符號進行轉化的道理，定義二次根式時，等同關注有負號的情形，既無價值，又顯浪費.3. 在舉例環節，增加“4的平方根是多少？”“a（a ≥ 0）的平方根如何表示？”兩個小問，然后抽象出型如“±（a ≥ 0）”的式子叫二次根式.-（a ≥ 0）是不是二次根式，這并不是一個實際問題，大部分學生不會在概念上糾結，因此老師可以將重點放到計算上，總之，無論采用哪種辦法，必須符合邏輯，切合學生實情.

關于第三個問題，可以向學生多講解些相關的題目，讓學生們加深理解和記憶，在課本和相關的試題冊中，這樣的題目有很多.

我們討論上述問題，并不代表上述觀點要在課堂之中一一呈現，但上述問題始終客觀存在，教師是不能在自覺狀態下給回避掉的，況且，教材的嚴謹性也值得教師理解和關注.對于二次根式概念教學中容易忽略的問題，應該從教師和學生兩個方面進行考慮，教師做到心中有數，應對有理，總能彌補、避免課中的缺憾.