確定帶電粒子在磁場中做圓運動的圓心的方法

吳洪翔

摘要：帶電粒子在磁場中圓運動的問題綜合性較強，是高中物理的一個難點，也是高考的熱點。解決這類問題既要用到物理中的洛侖茲力、圓周運動的規律，又要用到數學中的平面幾何知識。其中，關鍵是確定圓運動的圓心，只有找到圓心的位置，才能正確運用物理規律和數學知識。在本文中，筆者將給出幾種找圓心常用的方法。

關鍵詞：物理教學；帶電粒子；圓運動；確定圓心的方法

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）06-0099

方法一：利用兩個速度垂線的交點找圓心

由于向心力的方向與線速度方向互相垂直，洛倫茲力（向心力）沿半徑指向圓心，知道兩個速度的方向，畫出粒子軌跡上兩個對應的洛倫茲力，其延長線的交點即為圓心。

例1.如圖1所示，一個質量為m電荷量為q的帶電粒子從x軸上的P（a，0）點以速度v，沿與x正方向成60°的方向射入第一象限內的勻強磁場中，并恰好垂直于y軸射出第一象限。求勻強磁場的磁感應強度B和射出點的坐標。

解析：分別由射入、射出點做兩條與速度垂直的線段，其交點O即為粒子做圓運動的圓心，由圖可以看出，軌道半徑為：

例2. 電視機的顯像管中，電子束的偏轉是用磁偏轉技術實現的。電子束經過電壓為U的加速電場后，進入一圓形勻強磁場區，如圖1所示，磁場方向垂直于圓面，磁場區的中心為O，半徑為r，當不加磁場時，電子束將通過O點而打到屏幕的中心M點。為了讓電子束射到屏幕邊緣P，需要加磁場，使電子束偏轉一已知角度，則此時磁場的磁感應強度B應為多少？

解析：電子先經過加速電場獲得一定的速度，然后垂直于磁場方向進入磁場，不考慮電子重力的影響，電子在洛侖茲力的作用下在勻強磁場中做圓周運動，圓周上的兩點a、b分別為進入和射出磁場的點。作電子a、b在二點速度νa、νb的垂線，交點O1即為軌跡圓的圓心，如圖2所示。設電子的質量為m，電量為e，電子進入磁場時的速度為v，在磁場中做圓周運動的半徑為R。電子在電場中加速，有eU=mν2/2

由牛頓第二定律和洛侖茲力公式有eνB=mν2/R

方法二：利用速度的垂線與弦的中垂線的交點找圓心

帶電粒子在勻強磁場中做勻速運動時，如果已知軌跡上的兩點的位置和其中一點的速度方向，可用聯結這兩點的弦的中垂線與一條半徑的交點確定圓心的位置。

例1. 電子自靜止開始經M、N板間（兩板間的電壓為U）的電場加速后從A點垂直于磁場邊界射入寬度為d的勻強磁場中，電子離開磁場時的位置P偏離入射方向的距離為L，如圖3所示，求：（1）正確畫出電子由靜止開始直至離開磁場時的軌跡圖；（2）勻強磁場的磁感應強度。（已知電子的質量為m，電量為e。）

解析：（1）聯結AP的線段是電子圓運動軌道上的一條弦，做弦AP的中垂線，由于電子通過A點時的速度方向與磁場左邊界垂直，因此過A點的半徑與磁場的左邊界重合。AP弦的中垂線OC與磁場左邊界的交點O即是電子圓運動的圓心，以O為圓心以OA為半徑畫圓弧，如圖4所示，

（2）在M、N間加速后獲得的速度為ν，由動能定理得：

例2. 如圖5所示，在垂直于坐標平面的方向有足夠大的勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直紙面向里。一帶正電荷量q的粒子，質量為m，從O點以某一速度垂直射入磁場，其軌跡與軸的交點A、C到O點的距離分別為。試求：

（1）初速度與x軸的夾角；

（2）初速度的大小。

解析：（1）粒子垂直射入磁場，在xOy平面內做勻速圓周運動，OA、OC是圓周上的兩條弦，做兩條弦的垂直平分線，交點即為圓軌跡的圓心，以O1為圓心，以為半徑畫圓。正電荷在O點受到的洛侖茲力方向如圖6所示。由左手定則知，粒子的初速度方向垂直于OO1斜向上。

設初速度為ν，與x軸的夾角為θ，由幾何關系可知角∠O1OC=θ，故有：tanθ=（a/2）/（b/2）=a/b，θ=arctan（a/b）

（2）據圖可知，電子的軌道半徑：

方法三：利用速度的垂線與角的平分線的交點找圓心

當帶電粒子通過圓形磁場區后又通過無場區，如果只知道射入和射出時的速度的方向和射入時的位置，而不知道射出點的位置，應當利用角的平分線和半徑的交點確定圓心。

例1.一質量為m，帶電量為+q 的粒子以速度v 從O點沿y 軸正方向射入磁感應強度為B 的圓形勻強磁場區域，磁場方向垂直紙面向外，粒子飛出磁場區域后，從B 處穿過x軸，速度方向與x 軸正方向的夾角為30°，同時進入場強為E、方向沿與x軸負方向成60°角斜向下的勻強電場中，通過了B點正下方的C點。如圖示4所示，不計重力，試求：

（1）圓形勻強磁場區域的最小面積；

（2）C點到B點的距離h。

解析：（1）反向延長νb交y軸于O2點，作∠BO2O的角平分線交x軸于O1，O1即為圓運動軌道的圓心，OO1即為圓運動軌道的半徑，

方法四：兩洛侖茲力作用線的延長線的交點即為圓心

例1. 如圖所示，有垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度為B。在勻強磁場中做勻速圓周運動的一個電子動量為P，電荷量為e，在A、C點，所受洛侖茲力的方向如圖9所示。已知，求電子從A運動到C的過程中的偏轉角。

解析：A、C為圓周上的兩點，做洛侖茲力作用線的延長線，交點O即為電子的圓周軌跡的圓心。以O為圓心、R=OA為半徑作出電子從A到C的運動軌跡，標出電子在A、C兩點的速度方向，它們的夾角即為偏轉角θ，如圖10所示。由幾何關系有：

sin（θ/2）=（d/2）/R

由牛頓第二定律及洛侖茲力公式有

eνB=mν2/R

由動量的定義式有

P=mν

由以上三式解得

θ=2arcsin[（deB）/2P]

對復雜的問題，還可將上述三種方法綜合運用。

（作者單位：四川省南部中學 637300）