線性代數的一些代數式的改寫技巧

方又超

摘 要：線性代數里有大量的代數式，其中一些代數式的表現形式是多樣的，可對它們作不同形式的改寫。選用不同形式的代數式，相當于選擇不同的解決數學問題的方法，體現了代數技巧與代數方法的統一性。

關鍵詞：代數式；改寫技巧；轉置；對稱變換

一、引言

在講授線性代數的過程中，經常要處理一些代數式，對于同一個代數式，它的形式有可能是多樣的。教師選擇不同的形式，有可能影響學生的學習效率。實際情況表明，多數學生對長串的代數式心生畏懼，寫出這樣的代數式，還沒有往下處理，他們就放棄了。這給線性代數的課堂教學提出了要求，面對一些難處理的代數式，不能照搬教材，但又不能脫離教材，要把握住其中的“度”，通常就是要理解、認識這些代數式的多張面孔，即是掌握改寫它們的技巧。下面總結了線性代數的一些常見的代數式的改寫方法。

二、矩陣乘法的改寫技巧

矩陣乘法滿足行乘列規則，通常用行向量乘列向量的方法計算兩個矩陣的乘積。設是一個數域，，，且是的個列向量，

是的個行向量。則與的乘積可以改寫成

（1）式聯合下面的引理可得到矩陣轉置運算律（AB）T=BTAT的一個新證明。

三、線性方程組的表示式的改寫技巧

線性方程組的理論和方法是學習線性代數的切入點，學習線性方程組的理論和方法相當于訓練線性代數的基本功，這一基本功過關了，才能為后繼學習提供保障。線性方程組的表現形式有三種，學習了矩陣乘法之后，一般的線性方程組表示式：

學習了初等矩陣和矩陣的初等變換的關系后，可以更深刻地認識線性方程組的初等變換是同解變換。對線性方程組（2）施行一次線性方程組的初等變換后所得的線性方程組是（PA）X=PB，其中，P是相應的初等變換對應的初等矩陣，因為初等矩陣可逆，所以AX=b和（PA）X=PB同解，也即線性方程組的初等變換是同解變換，這是高斯消元法的理論基礎。

其中，是A矩陣的N個列向量，用（3）式可以簡潔證明線性方程組解的結構相關定理，快捷地從線性方程組的一般解得到線性方程組的通解。具體操作是在一般解表示式的左邊按未知量的先后順序添加自由未知量，令自由未知量等于它自己，等式右邊的常數項和帶自由未知量的項分別對齊書寫，最后依照（3）式將一般解改寫成列向量的線性組合表達式即得通解[1]。

例1設A是一個已知的階矩陣，I是階單位矩陣，Y為一個未知的階矩陣。若矩陣方程AY=I有解，則A滿秩。

證明：設的個列向量分別為，的個列向量分別為。因為有解，不妨設其解為，則有

由線性表示。所以得與等價，又向量組的秩為，所以向量組的秩也為，即滿秩。

四、兩向量組的線性表示式的改寫技巧

可用這一改寫技巧簡明證明定理“對稱矩陣在規范正交基下對應的線性變換是對稱變換”[2]，證明過程避免了處理兩個求和符號。下面給出證明。

證明：設為一個維歐氏空間，，是的一個規范正交基，由題設可知關于這個規范正交基的矩陣為對稱矩陣，即。下證是一個對稱變換。

參考文獻：

[1]彭玉芳，尹福源.線性代數（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]張禾瑞，郝鈵新.高等代數（第五版）[M].北京：高等教育出版社，1999.

（作者單位：德宏師范高等專科學校）