嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計與控制策略優(yōu)化模型

石建磊　范梓雄　張文澤　閻少宏

摘 要：在已知近月點速度和速度方向的情況下，借用開普勒定律和能量守恒定律建立方程，得到嫦娥三號在著陸準(zhǔn)備軌道上遠(yuǎn)月點的速度和近、遠(yuǎn)月點的經(jīng)緯度。針對嫦娥三號軟著陸的6個階段，通過對各個階段的受力分析，得到描繪該階段的運動方程，然后以最小燃料消耗為規(guī)劃目標(biāo)，建立變質(zhì)量恒推力優(yōu)化模型，對相關(guān)變量進(jìn)行離散化處理，經(jīng)過LINGO計算得到各個階段最優(yōu)化燃料消耗量和運行時間。關(guān)于對著陸位置的選取部分，使用MATLAB對數(shù)字高程圖進(jìn)行數(shù)字化處理，將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)矩陣后，設(shè)定智能自動篩選算法對矩陣進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，得到目標(biāo)區(qū)域比較精確的位置。

關(guān)鍵詞：優(yōu)化模型 離散化處理 智能自動篩選算法 靈敏度檢驗

中圖分類號：O232文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）04（b）-0000-00

2013年12月2日1時30分，我國成功發(fā)射嫦娥三號月球探測器，正式開始自己的探月之旅。在高速飛行的情況下，嫦娥三號要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實現(xiàn)軟著陸，需要用很小的速度降落在月球表面，來保證儀器設(shè)備安全和降落時的平穩(wěn)著陸 [1] ，因此設(shè)計一套優(yōu)化的著陸軌道與控制策略顯得至關(guān)重要。而關(guān)于登月探測器軟著陸的最優(yōu)化設(shè)計，國內(nèi)外許多學(xué)者都對其進(jìn)行了深入的研究，并取得了較為不錯的成績[2-4]。 本文使用最優(yōu)化模型和非線性方程組對該問題進(jìn)行分析和求解，在保證嫦娥三號安全著陸的前提下，通過對軟著陸過程6個階段的飛行狀態(tài)的調(diào)整，使得嫦娥三號在軟著陸過程的燃料消耗和飛行時間達(dá)到最優(yōu)化結(jié)果。

為了方便問題的研究，現(xiàn)做如下假設(shè)①不考慮其他星體（如地球）對月球和嫦娥三號的引力影響。②由于嫦娥三號的落地時間很短，所以月球的自轉(zhuǎn)和繞地運動對其的影響可以忽略。③在嫦娥三號的降落過程中忽略月球表面的弧度影響。

1、嫦娥三號軟著陸軌道和控制策略的設(shè)計

1.1. 著陸準(zhǔn)備軌道

嫦娥三號在著陸準(zhǔn)備軌道上圍繞月球做近似橢圓的運動，由此可以通過開普勒定律得到其軌道運行方程為：

因為a可以認(rèn)為是嫦娥三號降落到月球表面是與近月點的水平距離。由此可以確定嫦娥三號在月球表面降落地點的經(jīng)緯度為（19.51W，44.12N），經(jīng)由經(jīng)緯度公式轉(zhuǎn)換得到近月點的經(jīng)緯度坐標(biāo)為（19.51W，28.90N），因為月球的近月點和遠(yuǎn)月點坐標(biāo)的對稱性，求出遠(yuǎn)月點的經(jīng)緯度坐標(biāo)為（160.49E，28.90S）。

1.2主減速階段

在主減速過程中，由于燃料的在運行時的消耗，嫦娥三號的質(zhì)量在不斷減小，而它的推動力可以認(rèn)為是一個常量，因此考慮將嫦娥三號消耗燃料最少的優(yōu)化目標(biāo)變?yōu)閷ふ易顑?yōu)化推動力的目標(biāo)，以主發(fā)動機的燃料總消耗量做為目標(biāo)函數(shù)，用優(yōu)化模型對主減速階段燃料的消耗進(jìn)行優(yōu)化分配。建立直角坐標(biāo)系對嫦娥三號進(jìn)行受力分析，圖解如下：

由于涉及的變量較多，為了方便數(shù)據(jù)的處理，決定對變量進(jìn)行離散化處理，由于在被離散的每個小段里，各個參量的值保持不變，滿足線性條件。所以將該過程離散化為30個等時間間隔的階段，得到以下優(yōu)化模型：

1.3快速調(diào)整階段

在嫦娥三號的快速調(diào)整階段，它需要從距離月面3km到 2.4km處將水平速度減為0m/s。此階段嫦娥三號的可變推力在微小的范圍內(nèi)變化，因此可以看做為常數(shù)。

本階段的最優(yōu)化控制設(shè)計與主減速階段相同，仍采用變質(zhì)量恒推力優(yōu)化模型，

1.4粗、精避障階段

為保證嫦娥三號在粗、精避障階段粗略的選取降落在月球表面的合適地點前提下，使用最優(yōu)化模型對該階段嫦娥三號的飛行軌道進(jìn)行調(diào)控，將這個過程離散化為50個等時間間隔的階段。

嫦娥三號為了避開大型隕石坑，應(yīng)該水平移動，再進(jìn)行降落地的精確抉擇。由于此時距離月球表面的高度遠(yuǎn)小于月球半徑，月球表面可看為水平面，采用直角坐標(biāo)系進(jìn)行計算，做出如下受力分析圖解：

1.5 緩速下降階段

緩速下降階段嫦娥三號距離月面30m到4m。并需要在距離月面4m處的速度為0m/s，發(fā)動機在此階段提供一個豎直向上的推動力，假設(shè)探測器質(zhì)量m在此階段不發(fā)生改變

其中，v為探測器在距離月球表面30m處豎直向下的速度， 為本階段控制高度，等于26m。解得：

1.6求解結(jié)果

LINGO模擬結(jié)果如下：

2嫦娥三號避障階段

利用MATLAB將數(shù)字高程圖處理成一個n×n的方陣T，方陣內(nèi)的每一個數(shù)值代表該點在月球表面的海拔高度。

上式中，方陣序號用來表示圖四中方陣的數(shù)值在方陣中的位置，其中i表示行數(shù)，i=1，2，3， ……2300，j表示列數(shù)，j=1，2，3， ……2300。

選取所需的最小搜素方陣作為單位選擇矩陣，以每行或每列的任意10個相鄰數(shù)值做為步長，使用MATLAB將單位矩陣以該步長為移動單位進(jìn)行取值，最終結(jié)果得到一個k×k的X方陣。

所示方陣X中的每一個元素對應(yīng)方陣T中單位選取方陣選取區(qū)域的均方差值，其中m表示行數(shù)，m=1，2，3， ……130，n表示列數(shù)，n=1，2，3， ……130。

建立的n×n方陣?yán)锩恳粋€數(shù)值是該點在月球表面的海拔高度，該方陣表示該區(qū)域的凹凸水平。計算方差值來表示該地形中的凹凸水平，定義單位選擇方陣中均方差值越大的其凹凸水平越大，均方差值越小的其凹凸水平越小。經(jīng)過MATLAB的運算，就可以定位到篩選出最小的單位搜素矩陣在方陣T的位置。

但由于在精避障階段，隨著數(shù)據(jù)集的減小，均方差反映月球表面的凹凸水平的誤差開始變大，以致最后經(jīng)由它得到的結(jié)果明顯不合實際觀測情況。為了修正由于均方差本身定義帶來的較大誤差，所以在這里增加 的新約束條件。

式中，H表示精避障階段選取降落區(qū)域的海拔高度，得到在精避障階段方陣X內(nèi)的最佳取值點。

3結(jié)語

本文結(jié)合月球的實際情況和嫦娥三號軟著陸各個階段的飛行狀態(tài)的分析，對軟著陸過程中涉及的多個參量進(jìn)行了離散化處理，進(jìn)而簡化運算，應(yīng)用變質(zhì)量恒推力優(yōu)化模型，以發(fā)動機的燃料總消耗量做為目標(biāo)函數(shù)，建立了各個階段的多變量線性約束條件，這些處理后，使得該過程的求解步驟大大減少，也方便應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行快速求解，從而得到各個階段較為具體的最優(yōu)化耗燃料量和運動時間。在粗，精避障的規(guī)避策略中，應(yīng)用MATLAB編寫自動選取矩陣，將實際地形轉(zhuǎn)化為可處理的數(shù)字矩陣，通過較為簡單的矩陣處理與轉(zhuǎn)化，有效的篩選出嫦娥三號軟著陸的安全位置。

最后考慮到嫦娥三號在飛行調(diào)整狀態(tài)時與地面指令不是同步，具有一定是時間差，因此軟著陸過程的飛行總時間和燃料消耗量還需要進(jìn)一步的修正和調(diào)整，這也將是我們今后重點研究的方向。

參考文獻(xiàn)

[1] RRB eta . 吳鶴鳴， 李肇杰譯. 航天動力學(xué)基礎(chǔ)[ M] . 北京： 北京航空航天大學(xué)出版社， 1990 -2.

[2] 王劼，李俊峰，崔乃剛.登月飛行器軟著陸軌道的遺傳算法優(yōu)化，清華大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），43卷08期：1056-1059，2003.8.

[3] 劉瞰.空間飛行器軌道動力學(xué)，哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2003.10.

[4] Pierson B L，Kluever C A. Journal of Guidance， Control， and Dynamics， 17卷06期：1275，1994.