貝葉斯公式的應用

摘 要：本文通過幾種典型題型的探究來說明貝葉斯公式在醫療檢測、產品檢測、概率推理、日常生活等一系列復雜的問題中，為我們提供了更有價值、更快捷有效的決策信息，成為我們解決復雜概率問題的有效工具。

關鍵詞：貝葉斯公式；應用；案例

1 貝葉斯公式

設試驗E的樣本空間為S。A為E的事件，B1，B2，…，Bn為S的一個劃分，且P（A）>0，P（Bi）>0（i=1，2，…，n），則：

P（Bi | A）=，i=1，2，…，n。稱為貝葉斯公式。

2 貝葉斯公式的應用

2.1 在產品檢測中的應用

例1 某汽車制造廠所用的汽車離合器是由四家不同的汽車零件制造廠提供的，根據以往的數據分析得以下數據：

已知在汽車制造廠的零件儲藏室里由這四家汽車零件制造廠提供的離合器是均勻的混在一起放置的，且外觀沒有任何區別。

1）隨機在儲藏室里取一個離合器，求此離合器為次品的概率。

2）隨機在儲藏室里取一個離合器，若取到的離合器是一件次品，請分析此次品出自何廠的幾率最大。

解：設A表示“取到的是次品”。

Bi表示“取到的產品是第i家汽車零件制造廠提供的”，i=1，2，3。

則有

1）由全概率公式：

故隨機在儲藏室里取一個離合器，求此離合器為次品的概率。

2）由貝葉斯公式得：

根據計算得的結果分析得，此次品出自第二家汽車零件制造廠的幾率最大。

2.2 在日常生活中的應用

例2 某人下午5：30下班，他所積累的資料表明：

某一天他擲一顆骰子來決定乘地鐵還是乘汽車回家，擲出骰子結果若是小的數（1，2，3），他就乘汽車，若是大的數（4，5，6），他就乘地鐵，已知他是6：47到家的，求此人是乘汽車回家的概率。

解：設A表示“乘汽車”；B表示“乘地鐵”；C表示“6：45-6：50到家”。

則有

由貝葉斯公式有：

故此人乘汽車回家的概率為。

2.3 在醫療檢測中的應用

例3 某地被測驗的居民中有0.6%是癌癥患者，利用某種診斷癌癥的試驗來檢測有如下效果：試驗反應呈陽性的患病概率為0.94，而未患病且試驗反應呈陰性、假陰性、假陽性的概率為0.94。若當地一名居民的試驗結果呈陽性，那么該居民的患病概率有多大？

解：設事件A表示“試驗結果呈陽性”；事件B表示“被試驗者患有癌癥”。則有：

由貝葉斯公式得：

故該居民的患病概率約為0.086。

2.4 在概率推理中的應用

例4 已知一個位于英國的發報臺分別以概率0.6和0.4發出信號“0”和“1”，由于通訊系統收到了某些信號的干擾，當發出信號“0”時，收報臺未必收到信號“0”，而是分別以0.8和0.2的概率收到“0”和“1”；同樣，發出信號“1”時分別以0.9和0.1的概率收到“1”和“0”.如果收報臺收到“0”，求它沒收錯的概率是多少？

解：設A=“發報臺發出信號‘0”，=“發報臺發出信號‘1”.

B=“收報臺收到信號‘0”，=“收報臺收到信號‘1”.

于是，

由貝葉斯公式，得：

即收報臺沒收錯信號的概率為0.923。

3 總結

在解決一些醫療檢測、產品檢測、概率推理、日常生活等一系列復雜的問題中，貝葉斯公式為我們提供了更有價值、更快捷有效的決策信息，成為我們解決復雜概率問題的有效工具。

參考文獻：

[1] 王君.貝葉斯公式應用教學的一種新設計[J].新疆師范大學學報：自然科學版，2011，4（4）：71-74.

[2] 張麗，閆善文，劉亞東.全概率公式與貝葉斯公式的應用及推廣[J].牡丹江師范學院學報：自然科學，2006，01：15-17.

[3] 莊建紅.全概率公式、貝葉斯公式的推廣及其應用[J].遼寧省交通高等專科學校學報，2003，5：48-50.

作者簡介：

莫慶美（1963-），女，廣西蒙山人，賀州學院副教授，主要研究方向：高等數學與微分方程教學研究。