巧假設促轉化——再探最短路徑問題

雍思賢

摘 要：最短路徑問題已從課本習題邁入“課題學習”之門。本文從最短路徑問題的基本模型出發，通過假設與變式，逐步轉化成新的實際問題和數學模型，旨在武裝數學思想，探究其解法共性。

關鍵詞：最短；假設；轉化；平移；對稱

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼： A 文章編號：1992-7711（2016）18-059-02

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眾所周知，轉化思想是數學中最基本的數學思想。而假設法也是一種重要的數學思維方法，在問題的轉化過程中，假設起“橋梁”作用。下面我們以數學人教版八年級“課題學習——最短路徑問題”為例，來體驗一下假設法對于問題轉化的重要性。

一、模型1——在直線上求作一點與直線同側的兩點所連線段之和最小

例1：如圖1-1，點A，B分別是直線異側的兩個點，在上求作一點C，使CA+CB最短。

解決策略：連接AB，與直線的交點即為所求。

這是最基本的數學模型。下面我們用假設法對這個模型進行舉一反三、拓展應用。

二、模型1“變形記”——模型2

模型2：在直線上求作一點與直線異側的兩點所連線段之和最小

例2：如圖2-1，點A，B分別是直線同側的兩個點，在上求作一點C，使CA+CB最短。

如圖2-2，假設把河面看作一面鏡子，點B反射到另一側點B'處，則A、B'兩點位于直線異側，“模型2”就轉化為“模型1”。當然，作點A的對稱點也可。

解決策略：先作其中一個點關于這條直線的對稱點，再連接對稱點與另一個點，與該直線的交點即為所求。要證CA+CB最短，如圖2-3，在直線上另外任取一點C'，然后證明AC+BC三、模型1再“變身”

提到“河”，人們會想到“橋”。下面就來談談人們熟悉的造橋選址問題。

例3：如圖3-1，從A地到B地經過一條小河（河岸a∥b），現要在河上建一座與兩岸垂直的橋MN，橋造在何處才能使從A地到B地的路徑AMNB最短？

分析：造的橋要與河垂直，由于路徑AMNB中的MN的長度是個定值（等于河寬），因此只需使AM+NB最小即可。

（一）法1——條件假設，變“因”導“果”

在本例中，假如河的寬度變為零，這個問題就轉化成前面所講的“模型1”。

如圖3-2，將點A向與河岸垂直的方向平移一個河岸寬度到A1，我們可以假想直線a也平移到了直線b并與a重合，由于點A1和點B分別位居直線b兩側，由“模型1”可知，只需連接A1B，交河岸于點N，在此處造橋MN，所得路徑AMNB就是最短路徑。

略證：如圖3-3，如果在不同于MN的位置造橋M1N1.由于M1N1=MN=AA1；又根據“兩點之間，線段最短”，AN1+N1B>A1N+NB，故路徑AMNB要短于AM1N1B.

（二）法2——結論假設，執“果”索“因”

如圖3-2，從A到B可行走的路線是A→M→N→B，假設在此路線中AM+BN最短，現來找一找它應該滿足的條件.要使AM+BN最短，需將兩線段拼在一條直線。因為兩點之間，線段最短，故將AM平移到A1N，使A1、N、B三點共線，A1N+NB最小.此時，AM∥A1N且AM=A1N，可證四邊形AMNA1是平行四邊形，則AA1=MN；因此，需要先將點A向垂直于直線b的方向平移一個河岸寬度到A1處。

四、模型1拓展記

（一）情景設疑

如果一條河變成兩條河，需要駕兩座橋或更多座橋，又該如何選址呢？

例4：如圖4-1，從A地到B地經過兩條小河，現要在河上建兩座與河岸垂直的橋，則在何處建橋才能使從A地到B地的路徑最短？

（二）解法展示

法1：將其中的點A或點B連續平移兩次

如圖4-2，先將點A沿與河流河岸垂直的方向平移一個河寬到A1，再沿與河流2河岸垂直的方向平移一河寬到A2，連接A2B，交河流2河岸于N，此處建橋MN；連接A1M，交河流1于P，在此處建橋PQ，所得路徑AQPMNB最短。

法2：將點A、點B分別平移一次

如圖4-3，將A沿與河流1垂直的方向平移一個河寬，得到A1，再將B沿與河流2河岸垂直的方向平移1個河的寬度得到B1，連接A1B1與河流1、河流2分別相交于N、P，分別作橋MN、PQ，所得路徑AQPNMB最短。

（三）歸納小結

由上可知，造橋選址問題，要使所得到的路徑最短，通過平移變換（向垂直于河岸的方向平移），使除了橋長不變外所得到的其他路徑平移后在一條直線上。

五、模型1、模型2“融合記”

分析：本例是平移變換和軸對稱變換的綜合題，同樣也可以用假設法解決。如圖5-2，假設PQ的長度為零，將點B沿平行于直線的方向朝左平移PQ的長（定長）至B'，再在直線上找一點P，使AP+PB'最小（轉化為模型2），最后作點A關于直線的對稱點A'（轉化為模型1），連接A'B'，交直線于P；最后在直線上截取線段PQ等于定長。則此時AP+PQ+BQ最小，原理如圖5-3所示（證明略）。

綜上所述，在解決最短路徑問題時，我們可以用假設法，利用軸對稱、平移等變換把不在一條直線上的幾條線段轉化到一條直線上，從而得出最短路徑。這樣將未解決的問題轉化為另一個較易解決的問題或已經解決的問題，真正實現了化難為易，化未知為已知，從而迅速找到問題的突破口，提高解題能力。

[參考文獻]

[1]義務教育數學課程標準.2011年版.北京師范大學出版社，2012.01.

[2]宋毓彬.對造橋選址問題的探索.語數外學習.2012.03.