大學數學課堂教學中的幾個導入技巧與實例

劉海玉

摘要：基于大學數學課程的性質和大學生的認知結構特點，對課堂教學導人的重要性與作用進行了探討。介紹了大學數學課堂教學的幾個導入技巧與教學實例。

關鍵詞：課堂教學；導入技巧；教學實例

中圖分類號：G642.1 文獻標識碼：A 文章編號：2095-7394（2016）02-0105-04

大學數學作為普通高等院校的基礎課程，因其概念抽象、理論繁多等特點，常常使學生感到枯燥乏味，提不起學習的興趣。這一問題的一個重要體現是，大學生在數學課堂上聽課不專心，缺乏與教師的交流互動。因此，如何激發大學生學習數學的興趣與積極性、提高課堂效率，是大學數學教師面臨的一大問題。

常言道：“好的開始是成功的一半！”因此，對一堂課來說，課堂教學導入是關系到這堂課成功與否的一個重要環節。將數學概念的背景知識作為課堂教學的導入內容，是一種常用的辦法，也是一種方便的辦法。因為在大學開設的大部分數學課程中，很多概念都有一些具體的知識背景。比如在“高等數學”這門課程中，很多重要的概念都有相應的幾何背景或物理背景。這些具體的問題背景能夠使抽象的數學概念變得具體形象起來。因此如果在講授新的知識點之前，先介紹相關的背景知識，可以在一定程度上激發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性。然而，這些相關的背景知識雖然針對性強，但內容單一、缺乏新意。因此，僅利用相應的背景知識來引入新的知識點常常是不夠的。本文將介紹筆者在多年的大學數學教學實踐中總結積累出來的一些有效的新課導入技巧與實例。

1 課堂教學導入

明朝的文人謝榛曾說：“起句當如爆竹，驟響易徹。”意思是指文章開頭非常重要，要語出不凡，扣人心弦。不僅寫作如此，其實教學也是如此。對一堂優質的課來說，成功有效的課堂教學導入是課堂中的一個重要環節。所謂課堂教學導入是指教師在進行新的教學內容（每節課開始）或新的教學課題時，運用多種方法創設先聲奪人、引人入勝的教學情境，來引起學生的注意，激發學生學習的動機，消除學生的認知結構與新知識之間的潛在矛盾，進而把學生順利地引入到自主性學習的軌道和特定的學習方向上來，使學生由被動的學習轉為主動探究、合作學習的一種教學行為方式。如果在教學伊始，教師能夠用貼切而精煉的語言，恰當而有效的行為，正確、巧妙地導入新課，那么將對整個課堂教學的成功起到事半功倍的作用。因為優質的課堂教學導入不僅能夠激發學生的學習興趣，為學生學習新知識做好心理準備，還能夠使學生明確學習的目標，從而增強學習的效果。

2 課堂教學導入技巧與實例

技巧一：善用生動比喻

用比喻法闡述道理，可以把深奧的道理淺顯化，把抽象的事理具體化、形象化，使道理通俗易懂。對于大學數學中很多抽象的原理、概念以及定理，恰當的運用生動的比喻來引入，可以很好的幫助學生去理解。

案例1。在“復變函數與積分變換”這門課程的第一堂課上，筆者的“開場白”是：“同學們，現在假設讓你們將一根稻草扔到一條30m寬的河的對岸去，認為能直接扔過去的同學請舉手。舉手的同學沒有幾個啊，說明大家覺得此事比較困難。那如果先將這根稻草綁在一塊石頭上，大家認為可以扔過去嗎。哦，大部分的同學都認為可以。說明大家覺得加了塊石頭，雖然整體變重了，但是反而好扔了。也就是說單單一根相對較輕的稻草反不如加了石頭后的稻草好扔，雖然整體變重了。這說明有些事情通過‘化簡為繁可能更容易取得成功。接下來我們要學習的“復變函數與積分變換”這門課程的核心內容是兩個積分變換。而積分變換的作用，就像綁在稻草上的石頭。具體的說就是，在求解一些問題時，比如求解微分方程或積分方程，如果直接求解很困難或者不可能做到，我們便可以利用積分變換將需要求解的方程轉換為容易求解或可以求解的新方程。求出的新方程的解就是連同石頭一起扔到河對岸去的稻草。我們只需將稻草從石頭上取下來便得到我們想要的稻草了。所以為了得到原方程的解，我們只需再利用相應的積分變換的逆變換處理一下便可以了。”

通過扔稻草這樣一個簡單易懂的實際事例，“復變函數與積分變換”這門課程的目的與作用便被惟妙惟肖的介紹清楚了。學生聽的也很認真投入。

案例2。在講授向量組的極大無關組的概念時，如果先談一談顏料中的“紅、黃、藍”三基色的作用，再借此來比喻極大無關組在向量組中的作用，那么極大無關組的作用就不言而喻了。

技巧二：講述相關故事

教師可以選用與教學內容有關并且啟發性較強的故事等材料來導入新課。以此內容為契機，新知識在講述過程中便被潛移默化地灌輸給了學生。這種導課方式，主要是利用學生愛聽故事等特點來激發他們的學習興趣。與數學知識點或數學家有關的故事有很多。從中選取一些既有趣又和授課內容密切相關的小故事來開始一堂課，不失為一種很好的做法。

案例3。筆者在講授數學期望這一概念時，總喜歡先給學生講一個故事：“概率論被稱為‘賭博起家的理論。概率論產生于十七世紀中葉，是一門比較古老的數學學科。有趣的是，盡管任何一門數學分支的產生與發展都不外乎是生產、科學或數學自身發展的推動，然而概率論的產生，卻起始于對賭博的研究。十七世紀中葉，一位賭徒向法國數學家帕斯卡提出一個使他苦惱已久的分賭本問題：‘甲乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50法郎，每局中無平局。他們約定賭5局，并且誰先贏3局便是贏家，得全部賭本。當甲贏了2局，乙贏了1局時因故終止賭博，問應當如何分賭本？對于這個問題，首先大家認識到：平均分對甲不公平，全部歸甲對乙不公平。合理的分法是按一定的比例來分。于是問題的焦點是按怎樣的比例來分。以下有兩種分法：（1）基于已賭局數，甲得100法郎的2/3，乙得100法郎的1/3；（2）1654年法國數學家帕斯卡同費馬討論后提出如下分法：設想再賭下去，不外乎以下四種情形之一：（贏的情況）甲甲，甲乙，乙甲，乙乙。因為賭技相同，所以再賭下去甲有3/4的可能性贏得賭局，而乙只有1/4的可能性贏得賭局。綜上分析，所以帕斯卡認為甲的期望所得為3/4×100=75，即甲得75法郎，乙得25法郎。這種分法既考慮了已賭局數，也包括了對再賭下去的一種‘期望。顯然第二種分法更為合理。這就是概率論的第一基本概念，也是我們這節課將要學習的內容——數學期望的由來。”

這個故事不僅生動有趣，更是與新課內容有緊密的聯系，可以很好的啟發學生。

技巧三：巧妙激疑鋪墊

根據新課內容，教師課前設計好與新課相關的問題。通過設問，自問自答，或者提問，由學生回答，也是一種簡便易行的導課方法。需要注意的是，所提的問題要對正文內容有鋪墊引導作用，切不可為了問而問。

案例4。很多教材在介紹定積分的概念時，都是直接將計算曲邊梯形面積的問題作為背景，而并沒有介紹為什么要計算曲邊梯形的面積。這往往會令學生覺得很突兀。所以筆者通常在講述定積分的概念之前，都會先作一些鋪墊來說明為何要計算曲邊梯形的面積。也就是說明計算曲邊梯形的面積對于計算一般的平面圖形的面積有什么作用。具體細節是：

“平面圖形的面積計算一直是數學中一類重要的問題。大家在初等幾何中已經會計算很多平面圖形的面積。有矩形的面積，三角形的面積，圓面的面積等。不知大家考慮過沒有，其實在初等幾何中，除了圓面的面積計算問題，只是解決了直邊形（由直線段圍成的圖形）的面積計算問題。并且，其實只要會計算三角形的面積，那么所有平面直邊形的面積計算問題就都解決了。現在大家考慮一下，對于由一般的曲線所圍成的平面圖形（通常稱為曲邊形）的面積計算，是否也可以歸納為某一類平面圖形的面積計算問題呢？答案是肯定的！那就是曲邊梯形！也就是說只要解決了曲邊梯形的面積計算問題，那么所有平面曲邊形的面積計算問題也就解決了。”

技巧四：穿插趣味例題

根據課堂要講授的內容，教師可以精心設計一些有趣的問題，以引起學生的好奇心和求知欲。使學生的求知欲由潛伏狀態轉入活躍狀態，進而調動學生積極性與主動性。

案例5。為了導入方向導數與梯度這一節課，筆者通常都是從下面的一個問題開始的：

“一塊長方形的金屬板受熱產生溫度分布場。設一只小蟲在板中逃生至某處。問該蟲應沿什么方向爬行才能最快到達涼快的地點？”

這個問題能很好的引起學生的好奇心。筆者緊接著又告訴學生，只要學習完方向導數與梯度這兩個概念以及二者之間的關系以后，就可以解決這個問題了。

實際效果表明，以這種可以引發學生興趣的問題作為課堂教學的開頭，能夠很好地調動學生學習新知識的積極性。教學效果自然很好。

技巧五：靈活使用“比較”

所謂比較導人法，就是根據新舊知識的聯系點、相似點，采用比較的方法導入新課。既可以同類比較，也可以正反對比。

案例6。筆者在講授隨機變量這一概念時，總是這樣開頭的：“大家都知道笛卡兒創立的坐標幾何學（后被人們稱為解析幾何），是連接代數學與幾何學的一座橋梁。它將‘數和‘形緊密地聯系在了一起。一方面，平面上任何一個點都可以用一對實數來表示它所在的位置；另一方面，任何一對實數也可用一個平面上的點來表示。這樣一來圖形和位置關系的研究就可以通過曲線方程將其轉化為對數量關系和計算問題的研究。類似的，為了更好的研究隨機事件的概率，我們在樣本點與實數域或實數域的子集之間建立起了一個一一對應關系，并把這種對應關系稱為隨機變量。其實隨機變量與數學分析中函數的概念本質上也是一致的。只不過函數心的自變量x為實數，而隨機變量ξ（ω）的自變量為樣本點ω，定義域是樣本空間，值域是實數域或實數域的子集。”

技巧六：時常“溫故知新”

心理學告訴我們，那些與一個人已有知識有聯系的事物容易引起這個人的注意。所以通過恰到好處的復習歸納與新課內容關系密切的舊知識來引入新課，有利于學生接受新知識。這種導人方法在很多學科的教學中都可以使用。尤其是數學這門學科，其知識點都是一環緊扣一環，所以上課時更要善用該法。

案例7。在“高等數學”這門課程中，多元函數的微積分學與一元函數的微積分學之間有著不可分割的聯系。在講授到多元函數的微積分學的章節時，這種溫故知新的導入法，可以說幾乎每一堂課都可以使用。就拿“全微分”這部分內容來說，筆者是這樣開始新課的：“大家都知道一元函數的微分是當自變量的增量很小時函數值增量的一個線性近似值。而且這種近似的誤差是當自變量的增量趨于零時自變量增量的高階無窮小。對于多元函數來說，當其所有自變量均取得了很小的增量時，當然相應的函數值也取得了一個增量，也就是全增量。如果全增量計算比較困難，類似于一元函數的微分，我們也可以用多元函數的自變量增量的一個線性函數來近似全增量，那就是全微分。令人高興的是，不僅全微分的作用與一元函數的微分類似，實際上無論二者的定義還是計算方法都是極其相似的。下面我們就一起來揭開其神秘的面紗吧。”

這種導入方法不僅使學生復習掌握了舊的基礎知識，而且使學生對將要學習的新知識有了一個大概的認識。這樣學生就不會對新知識產生排斥心理，從而很輕松地就從已知的領域進入到未知的新境界。需要注意的是，在使用這種方法時，復習要提綱挈領，切不可把細枝末節的東西都翻出來過一遍，以免學生生厭。

3 結語

導課的方式方法靈活多樣。正所謂：“教學有法，但無定法，貴在得法。”導課的根本目的是通過各種方法把學生的注意力吸引到課堂上來。在教學過程中，我們要根據學生的特點，結合授課的內容，靈活地選取、設計導課的方法、內容。不過，無論采用何種方法，導入語都要對授課內容有較強的針對性和啟發性。同時因為導入語只是授課內容的一個引子，所以要短小精湛、新穎有趣，斷不可平淡冗長、喧賓奪主。

責任編輯 祁秀春