例談高中數學習題中探究性學習的開展與思考

吳治平

探究性學習亦稱發現學習，是學生在學習情境中通過觀察、閱讀，發現問題，搜集數據，形成解釋，獲得答案并進行交流、檢驗的學習方式。

一、探究性問題的引出

數學探究性教學不是將結論直接告訴學生，而是讓學生通過各式各樣的探究活動，諸如觀察、實驗、調查、收集資料、猜想、論證等，自己得出結論，使他們參與并體驗數學知識的獲得過程，建構起對數學的新的認識，并培養數學的探究意識。教師抓住其這一特點，可以設計相應的問題給學生進行探究。

筆者在“雙曲線的圖像與性質習題課”中設計了下面一道習題：

習題：過點的直線與曲線

x-4y=4只有一個交點，則這條直線的斜率是（）。

（A）或- （B）或-

（C） （D）

大多數學生采用了下面的方法進行：畫出本題的簡圖，容易觀察出這條直線的斜率是存在的，所以可設此直線方程為y=k（x-4）+1，它與雙曲線方程x-4y=4聯立，消去y，得關于x的一元二次方程，再令這個一元二次方程的根的判別式？駐=0，可得答案。顯然這種解題方法是可行的，但是設計本題的目的是讓學生利用雙曲線的漸近線性質進行迅速解答。

這個時候，不少教師看到學生采用這種“計算復雜”的方法，可能就會直接提示——可用雙曲線的漸近線性質解答。如果這樣，那學生就失去了一次非常好的探究學習的機會。

筆者的操作如下：第一步，利用“幾何畫板畫”畫好的圖形（如圖），讓直線繞點A旋轉一周，要求學生觀察直線與雙曲線的交點個數情況——重點觀察過A且與漸近線平行的直線與雙曲線的交點個數情況（通過借助圖像，讓學生討論為何這種情況只有一個），由于漸近線的斜率是±，所以很快就有答案B.第二步，通過改變點A的位置，引導學生從本題出發還能提出什么問題。

在此過程中，學生主動提出了不少問題，主要集中在三個方面：

問題1：如何判斷點A在雙曲線的“內部”還是“外部”呢？

問題2：如果此題不是選擇題，所求直線斜率除了±外還有其他嗎？

問題3：若點A在雙曲線上或外面時，過點A的直線的斜率與此直線與雙曲線的交點個數有何關系呢？

這些問題都是由學生自己提出來的，教材上也沒有涉及這些內容，不僅學生感興趣，而且具有一定的研究價值，這樣，教師所需要的探究問題也就自然得到了。

要找到探究的問題，教師必須擁有豐富的備課資料，對問題有全局的把握，并且要對習題進行合理設計和對學生解題過程中可能出現的問題進行大膽推測。

二、探究性問題的處理

要比較完整地解決探究性的問題，通常都得花費較多的時間。因為這一特點，不少教師往往不敢開展這類問題的教學，生怕難于掌控課堂，生怕影響教學進度，影響教學成績。這種想法恰恰與新課改的精神是矛盾的，應該借助數學中的探究性學習讓學生提高學習數學的興趣，培養科學的探究精神。因此，教師要引導學生正確地處理“探究性問題”，筆者建議采用小組合作的形式。

針對上面提到的三個問題，筆者把全班學生分為了6大組（各組選定一學生為組長），由各組長組織成員利用課余時間對三個問題進行研究，并填寫表格（每組派發三張，每個問題填寫一張）。

在研究的過程中，學生在各自組長的組織下，分工明確，在課余時間，到學校的多媒體教室，利用幾何畫板軟件對問題的探究過程、猜想、結果進行了探討與驗證。期間，筆者還兩次組織組長匯報對各自問題探究的進展情況；有幾個組還邀請筆者當“技術顧問”，比如教學生如何用“幾何畫板” 畫雙曲線，如何讓點移動，直線繞點旋轉……到了第三天，筆者把表格全部收回，學生的研究結果令人感到滿意。筆者把這些結果進行了完善和整理，并在收回的表格中評價學生，最后在課堂上與學生共同分享了這次探究的結果。

從探究的結果來看，問題的解決，既充分體現了解決解析幾何問題的思想方法——數形結合思想，也幾乎涵蓋了圓錐曲線中有關分類討論問題的解決思路，相信這種學習方式的影響是傳統的“接受式學習”所不能及的。

責任編輯羅峰