高考數學中的“方案設計問題”

羅雅玲

高中數學課程標準突出體現基礎性、普及性和發展性，強調從數學現實出發，讓學生將親身經歷過的買賣問題抽象成數學模型并進行數學理解與應用；學會從數學的角度提出問題、理解問題，并能綜合運用所學的知識和技能解決問題，發展應用意識；形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神.

為與此相適應，應用問題在中考試題中的比重日漸增大.近年來全國各地中考試題或模擬卷的應用題中，“方案設計問題”不拘泥于傳統的思想和方法，而是從現實角度出發、挖掘其中蘊含的大量的數學信息，進而有效考查學生從數學的角度運用所學的知識和方法解決問題的能力，探索數學的應用價值，因而備受關注.

1.方案的設計

商場經銷甲、乙兩種商品，甲種商品每件進價15元，售價20元；乙種商品每件進價35元，售價45元.

（1）若該商場同時購進甲、乙兩種商品共100件恰好用去2700元，求能購進甲、乙兩種商品各多少件？

（2）該商場為使甲、乙兩種商品共100件的總利潤（利潤=售價-進價）不少于750元，且不超過760元，請你幫助該商場設計相應的進貨方案.

答案：解：（1）設該商場能購進甲種商品x件，根據題意，得15x+35（100-x）=2700

解得：x=40

乙種商品：100-40=60（件）

答：該商品能購進甲種商品40件，乙種商品60件.

（2）設該商場購進甲種商品a件，則購進乙種商品（100-a）件.根據題意，得20-15a+45-35（100-a）≥75020-15a+45-35（100-a）≤760.

因此，不等式組的解集為48≤a≤50a.

根據題意，a的值應是整數，∴a=48或a=49或a=50

∴該商場共有三種進貨方案：

方案一：購進甲種商品48件，乙種商品52件；

方案二：購進甲種商品49件，乙種商品51件；

方案三：購進甲種商品50件，乙種商品50件.

點評：應用函數化的方案設計是近年來中考的特點，商場購物這一日常生活問題，若利用一元一次方程或一元一次不等式組對數據處理，則不僅體現初、高中數學知識銜接，而且引導學生關注社會，有益于方案的設計.

認知心理學研究表明，學生的知識形成過程是外來信息與學生原有知識和思維結構相互作用的過程，學生的數學能力是通過活動作為中介形成的，在活動中思考，在活動中創新，在活動中得到發展.

布魯納主張以主動探索活動發現客觀知識體系中的邏輯結構，實現對知識掌握的深入，發展學生的能力.

高中數學課程倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式.這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程.

2.方案的運用

某工廠現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃用這兩種原料全部生產A、B兩種產品共50件，生產A、B兩種產品與所需原料情況如下表所示：

（1）該工廠生產A、B兩種產品有哪幾種方案？

（2）若生成一件A產品可獲利80元，生產一件B產品可獲利120元，怎樣安排生產可獲得最大利潤？

解：（1）設工廠可安排生產x件A產品，則生產（50-x）件B產品由題意得：

9x+4（50-x）≤3603x+10（50-x）≤290

解得30≤x≤32.

∴有三種生產方案：①A：30件，B：20件②A：31件，B：19件③A：32件，18件.

（2）方案①A，30件，B，20件時，20×120+30×80=4800（元）.

方案②A，31件，B，19件時，19×120+31×80=4760（元）.

方案③A，32件，B，18件時，18×120+32×80=4720（元）.

故方案①A30件，B20件時，利潤最大.

點評：分類討論是一種重要的數學思想方法，本題是市場方案設計分類，使學生靈活、綜合地應用數學認知進行問題解決，對問題作出較好的思維決策.生活中數學無處不在.中考試題應用題中的“方案設計問題”讓學生在用數學中學習數學，培養了科學精神和進行科學研究的能力，提高了應用數學知識解決實際問題的敏銳性和創造性，激發了學習興趣，也提高了學習能力，值得關注.

新課程倡導的課堂教學不再是教師傳授給學生解決問題的思路、途徑、方法，學生的數學學習活動不再是接受、記憶、模仿和練習，而是學生在教師的組織、引導下，通過動手實踐、合作交流、閱讀自學等途徑自主探究問題解決的思路、途徑、方法.新課程強調，學習是教與學的交往、互動，師生雙方相互交流、相互啟發、相互補充，在這個過程中教師與學生分享情感、體驗與觀念，豐富教學內容，求得新的發現，從而達成共識，達到共享、共進，實現教學相長和共同發展.對學生而言，這意味著主體性的凸顯、個性的表現、創造性的解放.在學習方式上，新課程倡導的是積極主動、勇于探索的學習方式.

指導教師：周明墩