巧用特殊法妙解選擇題

王暉

要想順利地解答選擇題，不僅要熟練掌握和靈活地運用基礎知識，更重要的是要掌握一定的技巧，才能達到快速求解的目的.由邏輯推理可知：若一般情形下結論成立，則特殊情形結論也成立；若特殊情形下結論不成立，則一般情況下結論也不成立.根據這一原理，對于題干具有一般性的選擇題可采用特殊化的方法求解.特別是對于選擇題中的單選題，由于其答案的唯一性，若用特殊代替一般進行驗證或進行簡單推算，即可把復雜問題簡單化，使得結論明顯，有立竿見影、事半功倍之功效.下面舉例說明巧妙處理此類問題的常用方法與技巧.

1巧用特殊數值

例1已知復數z=cosθ+isinθ（5π2<θ<3π），則arg z=（）.

A.π+θB.θ-2πC.π-θD.3π-θ

解析令θ=2π+3π4，則z=22+22i，argz=π4，而θ=2π+3π4時，僅有選項D為π4.故應選D.

例2如果棱臺兩底面積分別是S、S′，中截面的面積是S0，那么（）.

A.2S0=S+S′B.S0=S′SC.2S0=S+S′D.S20=2S′S

解析取正四棱臺，上、下底邊長為1和3，那么中截面邊長為2，故有S′=1，S=9，S0=4.顯然選項B、C、D錯誤.故應選A.

例3f（x）=Msin（ωx+φ）（ω>0）在區間[a，b]上是增函數，且f（a）=-M，f（b）=M，則函數g（x）=Mcos（ωx+φ）在[a，b]上（）.

A.可以取得最大值MB.是減函數

C.是增函數D.可以取得最小值-M

解析取M=1，ω=1，φ=0，則f（x）=sinx.

令a=-π2，b=π2，符合題設條件.此時g（x）=cosx在[-π2，π2]上可取得最大值1.故應選A.

點評通過取特殊數值，將看似復雜的問題輕而易舉的解決，給人以“短、平、快”的美妙感覺.

2巧用特殊函數

例4設函數y=f（x）定義在實數集上，則函數y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖像關于（）.

A.直線y=0對稱B.直線x=0對稱

C.直線y=1對稱D.直線x=1對稱

解析對于此題若按一般函數的情形推證，對基礎差的同學會感到難以理解，若f（x）=2x+1，則f（x-1）=2x-1，f（1-x）=-2x+3，畫圖可知其對稱軸為x=1.

3巧用特殊數列

例5在各項均為正數的等比數列{an}中，若a5·a6=9，則log3a1+log3a2+…+log3a10=（）.

A.12B.10C.8D.2+log35

解析取等比數列3，3，3，…，顯然滿足條件.log3a1+log3a2+…+log3a10=10·log33=10.故應選B.

例6等差數列{an}滿足a￣1+a2+a3+…+a101=0，則有（）.

A.a1+a101>0B.a2+a99<0C.a3+a99=0D.a51=51

解析符合條件的數列有無數，但結論與取什么樣的數列無關，可取滿足題意的常數數列an=0，則可排除選項A、B、D.故應選C.

4巧用特殊點

例7若橢圓x2a2+y2b2=1的焦點分別為F1、F2，離心率為4[]5[SX）]，P為橢圓上任一點（P不在長軸上），△F1PF2中∠P的平分線交長軸于點D，△F1PF2的內心為I，則λ=PIID的值為（）.

A.45B.54C.34D.53

解析由選擇項可知λ與P的位置無關，故可選P為短軸的端點，此時λ=PIID=|PF1F1O|=ac=54（O為原點），故應選B.

例8若函數y=sin2x+acos2x的圖像關于直線x=-π8對稱，則a=（）.

A.2B.-2C.1D.-1

解析根據題意，當x取0與-π4時，y值相等，設為y0，即點（0，y0）與點（-π4，y0）關于直線x=-π8對稱.則由sin0+acos0=sin（-π2）+acos（-π2），可解得a=-1.故應選D.

5取特殊范圍

例9已知sinα>sinβ，那么下列命題成立的是（）.

A.若α，β是第一象限角，則cosα>cosβB.若α，β是第二象限角，則tanα>tanβ

C.若α，β是第三象限角，則cosα>cosβD.若α，β是第四象限角，則tanα>tanβ

解析利用題中α，β的任意性，設α，β在0°～360°內，若α，β是第一象限角，則由sinα>sinβα>βcosα

點評若努力想利用sinα>sinβ確定α，β之間的關系，進而確定cosα與cosβ、tanα與tanβ之間的關系，這樣很容易陷入惘然無果的境地.本題也可用特殊數值求解，請大家不妨一試.

6巧用特殊直線

例10過拋物線y=ax2（a>0）的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF和PQ的長分別為p與q，則1p+1q=（）.

A.2aB.12aC.4aD.4a

解析拋物線焦點F的坐標為（0，14a），由選擇項知結果與過F的直線變化無關.故可令直線y=14a，代入x2=1ay，x=±12a，所以p=q=12a，所以1p+1q=4a.7巧用特殊圖形

例11已知平行四邊形ABCD中，AB=a，AD=b，則分別以AB和AD為旋轉軸所得兩旋轉體的體積比是（）.

A.baB.abC.b2aD.a2b

解析由選擇項可知結果與平行四邊形內角變化無關，可用矩形代替，則所求兩體積之比為πb2aπa2b=ba，故應選A.

例12設圓臺的上下底半徑分別為r、R，一個平行于圓臺底面的截面截圓臺成體積相等的兩部分，則截面半徑r為（）.

A.R3+r32B.3R+r2C.3R3+r32D.3R2+3r2

解析取極限狀態，當r=R時，應有截面半徑分別為R，故應選C.

例13雙曲線x2a2-y2b2=1的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是（）.

A.2B.3C.2D.32

解析取兩條互相垂直的漸近線為y-x=0和y+x=0，與其對應的一雙曲線可以是x2-y2=1，從而a=1，b=1，c=2，可推出e=2.故應選C.

8巧用特殊截面

例14棱臺上、下底面積分別為S1、S2，一個平行于底面的截面把棱臺的高分成兩部分（從上至下）的比為λ.則該截面的面積為（）.

A.S1+λS21+λB.S2+λS11+λC.（S11+λ+λS21+λ）2D.（S21+λ+λS11+λ）2

解析λ→0，時，所求截面積→S1，故排除選項B、D；又λ=1時，S截為中截面，有公式2S中=S1+S2可知，S中=（S12+S22）2，故應選C.

9取特殊位置

例15過拋物線y=ax2（a>0）的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是p，q，則1p+1q=（）.

A.aB.2aC.4aD.1

解法1當所在直線平行于x軸時，PQ為拋物線的通徑，且|PQ|=1a，則|PF|=|FQ|=12a，從而1p+1q=2a+2a=4a.故應選C.

解法2當線段PF的長無限增加時，|QF|→14a，則1q→4a，1p→0，1p+1q→4a.故應選C.