聚焦圓錐曲線的熱點問題

佘媛媛++張世林

1.怎么考

本部分主要以解答題形式考查，往往是試卷的壓軸題之一，一般以直線與圓錐曲線、圓與圓錐曲線為載體，考查弦長、定點、定值、最值、范圍問題或探索性問題，試題難度較大，能力要求高，綜合性強.

2.怎么辦

（1）圓錐曲線的最值與范圍問題的常見解法：①幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；②代數法：若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值.

（2）定值、定點問題必然是在變化中所表現出來的不變的量，處理時直接推理求出定值，也可先通過特定位置猜測結論后進行一般性證明，對于客觀題，通過特殊值法探求定點、定值能達到事半功倍的效果.

（3）探索性問題主要是存在性問題，求解時一般先假設存在，然后進行合理的推理論證，若得到的結論符合情理則假設成立，若得到矛盾的結論則假設不成立.

熱點一圓錐曲線中的范圍、最值問題圖1

例1如圖1，點P（0，-1）是橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一個頂點，C1的長軸是圓C2：x2+y2=4的直徑.l1，l2是過點P且互相垂直的兩條直線，其中l1交圓C2于A，B兩點，l2交橢圓C1于另一點D.

（1）求橢圓C1的方程；

（2）求△ABD面積取最大值時直線l1的方程.

解（1）由題意得a=2，b=1，所以橢圓C1的方程為x24+y2=1.

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），由題意知直線l1的斜率存在，不妨設其為k，則直線l1的方程為y=kx-1.又圓C2：x2+y2=4，故點O到直線l1的距離d=1k2+1，所以AB=24-d2=24k2+3k2+1，又l1⊥l2，故直線l2的方程為x+ky+k=0.

由x+kx+k=0，

x2+4y2=4消去y，整理得（4+k2）x2+8kx=0，故x0=-8k4+k2，所以PD=8k2+14+k2.設△ABD的面積為S，則S=12AB·PD=84k2+34+k2，

所以S=324k2+3+134k2+3≤161313，當且僅當k=±102時取等號.故所求直線l1的方程為y=±102x-1.

思維升華求最值及參數范圍的方法有兩種：①根據題目給出的已知條件或圖形特征列出一個關于參數的函數關系式，將其代入由題目列出的不等式（即為消元），然后求解不等式；②由題目條件和結論建立目標函數，進而轉化為求函數的值域.在利用代數法解決最值與范圍問題時常從以下五個方面考慮：

①利用判別式來構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；

②利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數之間建立等量關系；

③利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；

④利用基本不等式求出參數的取值范圍；

⑤利用函數值域的求法，確定參數的取值范圍.

熱點二圓錐曲線中的定值、定點問題

例2已知橢圓C的中點在原點，焦點在x軸上，離心率等于12，它的一個頂點恰好是拋物線x2=83y的焦點.

（1）求橢圓C的方程；圖2

（2）已知點P（2，3），Q（2，-3）在橢圓上，如圖2，點A、B是橢圓上不同的兩個動點，且滿足∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由.

解（1）設橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），則b=23.由ca=12，a2=c2+b2，得a=4，所以橢圓C的方程為x216+y212=1.

（2）當∠APQ=∠BPQ時，PA，PB的斜率之和為0，設直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，PA：y-3=k（x-2），由y-3=k（x-2），

x216+y212=1整理得

（3+4k2）x2+8（3-2k）kx+4（3-2k）2-48=0，x1+2=8（2k-3）k3+4k2，同理PB的直線方程為y-3=-k（x-2），可得x2+2=8k（2k+3）3+4k2.

所以x1+x2=16k2-123+4k2，x1-x2=-48k3+4k2，kAB=y1-y2x1-x2=k（x1+x2）-4kx1-x2=12，所以直線AB的斜率為定值12.

思維升華定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數無關.在這類試題中選擇消元的方向是非常關鍵的.

熱點三圓錐曲線中的探索性問題圖3

例3如圖3，拋物線C：y2=2px的焦點為F，拋物線上一定點Q（1，2）.

（1）求拋物線C的方程及準線l的方程.

（2）過焦點F的直線（不經過Q點）與拋物線交于A，B兩點，與準線l交于點M，記QA，QB，QM的斜率分別為k1，k2，k3，問是否存在常數λ，使得k1+k2=λk3成立，若存在λ，求出λ的值；若不存在，說明理由.

解（1）把Q（1，2）代入y2=2px，得2p=4，所以拋物線方程為y2=4x，準線l的方程：x=-1.（2）由條件可設直線AB的方程為y=k（x-1），k≠0.由拋物線準線l：x=-1，可知M（-1，-2k）.又Q（1，2），所以k3=2+2k1+1=k+1，把直線AB的方程y=k（x-1），代入拋物線方程y2=4x，并整理，可得k2x2-2（k2+2）x+k2=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數的關系知x1+x2=2k2+4k2，x1x2=1，又Q（1，2），則k1=2-y11-x1，k2=2-y21-x2，因為A，F，B共線，所以kAF=kBF=k，即y1x1-1=y2x2-1=k，所以k1+k2=2-y11-x1+2-y21-x2=2kx1x2-（2k+2）（x1+x2）+2k+4x1x2-（x1+x2）+1=2（k+1），即存在常數λ=2，使得k1+k2=2k3成立.

思維升華解析幾何中的探索性問題，從類型上看，主要是存在類型的相關題型.解決問題的一般策略是先假設結論成立，然后進行演繹推理或導出矛盾，即可否定假設或推出合理結論，驗證后肯定結論，對于“存在”或“不存在”的問題，直接用條件證明或采用反證法證明.解答時，不但需要熟練掌握圓錐曲線的概念、性質、方程及不等式、判別式等知識，還要具備較強的審題能力、邏輯思維能力以及運用數形結合的思想分析問題和解決問題的能力.

模擬精練

1.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為22，其左、右焦點分別是F1、F2，過點F1的直線l交橢圓C于E、G兩點，且△EGF2的周長為42.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點A、B，設P為橢圓上一點，且滿足OA+OB=tOP（O為坐標原點），當PA-PB<253時，求實數t的取值范圍.

答案（1）x22+y2=1；（2）（-2，-263）∪（263，2）.圖4

2.如圖4所示，橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為22，x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長等于C1的短軸長.C2與y軸的交點為M，過坐標原點O的直線l與C2相交于點A，B，直線MA，MB分別與C1相交于點D，E.

（1）求C1，C2的方程；

（2）求證：MA⊥MB；

（3）記△MAB，△MDE的面積分別為S1，S2，若S1S2=λ，求λ的取值范圍.

答案（1）x22+y2=1；（2）略；（3）[916，+∞）.

3.已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的焦距為27，其一條漸近線的傾斜角為θ，且tanθ=32.以雙曲線C的實軸為長軸，虛軸為短軸的橢圓記為E.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設點A是橢圓E的左頂點，P、Q為橢圓E上異于點A的兩動點，若直線AP、AQ的斜率之積為-14，問直線PQ是否恒過定點？若恒過定點，求出該點坐標；若不恒過定點，說明理由.

答案（1）x24+y23=1；（2）直線PQ恒過定點（1，0）.

4.已知橢圓C的左，右焦點分別為F1，F2，橢圓的離心率為12，且橢圓經過點P（1，32）.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）線段PQ是橢圓過點F2的弦，且PF2=λF2Q，求△PF1Q內切圓面積最大時實數λ的值.

答案（1）x24+y23=1；（2）λ=1.