以數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論為視角探討高中數(shù)學(xué)教學(xué)

俞昕

【摘要】數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論涉及概念—具體化、過(guò)程—符號(hào)化、公理——形式化，以此理論為依據(jù)可以分析數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知層次.《等差數(shù)列前n項(xiàng)和》是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容，以此為課例，采用聯(lián)結(jié)主義教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐分析并與傳統(tǒng)的講授法、發(fā)現(xiàn)法教學(xué)進(jìn)行比較，獲得具有一定價(jià)值的教學(xué)啟示.【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)三個(gè)世界；教學(xué)研究；聯(lián)結(jié)主義；等差數(shù)列

1數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介

進(jìn)入21世紀(jì)，英國(guó)知名數(shù)學(xué)教育家Warwick大學(xué)教授David Tall在認(rèn)知主義、建構(gòu)主義基礎(chǔ)上，融合了認(rèn)知科學(xué)、新皮亞杰主義等相關(guān)研究于2004年提出了數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論，該理論是Tall關(guān)于認(rèn)知發(fā)展研究的最新成果.Tall認(rèn)為人的認(rèn)知過(guò)程是以“前集”與“前變量”為基礎(chǔ)經(jīng)數(shù)學(xué)三個(gè)世界而得以發(fā)展的.“前集”表示的是一種與生俱來(lái)的心理結(jié)構(gòu)，該理論中特指“識(shí)別、重復(fù)、語(yǔ)言”；“前變量”即為個(gè)人以往的經(jīng)驗(yàn)在大腦中建立的聯(lián)結(jié).

概念—具體化世界：現(xiàn)實(shí)中的具體對(duì)象與概念性具體都稱作“具體化”的，即以對(duì)世界的感知為基礎(chǔ)，通過(guò)反思利用語(yǔ)言形成精致的意義.在這個(gè)世界中，既包括對(duì)外部世界的認(rèn)識(shí)，又包括對(duì)內(nèi)部世界的感知.其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象是具體的、形象的、可見(jiàn)的，簡(jiǎn)稱具體化世界.

過(guò)程—符號(hào)化世界：將操作壓縮并用符號(hào)表示，進(jìn)一步壓縮形成概念的過(guò)程稱為“符號(hào)化”的，即開(kāi)始于過(guò)程操作，通過(guò)符號(hào)的使用實(shí)現(xiàn)由解決數(shù)學(xué)問(wèn)題到進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的有效轉(zhuǎn)換.在這個(gè)世界中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象具有符號(hào)過(guò)程性和符號(hào)概念性兩面特征，符號(hào)過(guò)程性是指具體化數(shù)學(xué)世界的操作過(guò)程，符號(hào)概念性則是指通過(guò)對(duì)這個(gè)操作過(guò)程的概括、抽象等心智活動(dòng)得到的數(shù)學(xué)對(duì)象，簡(jiǎn)稱符號(hào)化世界.

公理—形式化世界：把利用形式化定義和證明建立公理體系的過(guò)程稱為“形式化”的，即以對(duì)象性質(zhì)為基礎(chǔ)，通過(guò)高度抽象，主要是對(duì)符號(hào)世界進(jìn)行自反抽象，發(fā)展為形式化定義，有時(shí)需要進(jìn)一步證明，使之發(fā)展為形式化公理，簡(jiǎn)稱形式化世界.

Tall認(rèn)為，人以“前集”為生理基礎(chǔ)，以“前變量”為社會(huì)基礎(chǔ)，形成了數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展的3種途徑：具體化世界、符號(hào)化世界、形式化世界，認(rèn)知以感覺(jué)、操作和反思等基本活動(dòng)為基礎(chǔ)，經(jīng)具體化、符號(hào)化、形式化的過(guò)程發(fā)展.

2用數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論分析“向量”概念的認(rèn)知層次分析

第一層次：通過(guò)力與力的分析實(shí)例，了解向量的實(shí)際背景.物理的合力，有向線段的加減，知道平行四邊形法則，用作圖方法獲得結(jié)論.這可以列為初中階段的數(shù)學(xué)或物理課程.第二層次：將向量符號(hào)化，加入數(shù)乘，使得向量既能合成又能分解，構(gòu)成一個(gè)有加、減、數(shù)乘三種運(yùn)算的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).第三層次：引入向量的坐標(biāo)表示以及向量的數(shù)量積，成為內(nèi)積空間，在這個(gè)架構(gòu)上，解決包括幾何、物理在內(nèi)的一系列中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題，并為后來(lái)的線性代數(shù)課程提供基礎(chǔ).文[2]用三個(gè)世界理論對(duì)向量教學(xué)提出一些具體的建議，可供我們一線教師參考.

3數(shù)學(xué)三個(gè)世界視野下教師的作用與教學(xué)研究[1]

數(shù)學(xué)的三個(gè)世界認(rèn)為知識(shí)是以聯(lián)結(jié)的方式存在的，因此主張采用聯(lián)結(jié)主義教學(xué)模式.該模式要求學(xué)生在學(xué)習(xí)中基于以前的經(jīng)驗(yàn)做出合乎邏輯的假設(shè)，并通過(guò)積極主動(dòng)地參與來(lái)完成知識(shí)的建構(gòu).而教師作為輔導(dǎo)者安排課堂活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)對(duì)本質(zhì)概念的理解建立聯(lián)結(jié)、分組探索、接受問(wèn)題的挑戰(zhàn)形成認(rèn)識(shí).教師通過(guò)準(zhǔn)確把握知識(shí)、思維的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，使學(xué)生的探索逐漸深入；設(shè)置具有挑戰(zhàn)性問(wèn)題不斷增強(qiáng)學(xué)生解決問(wèn)題的信心和能力；通過(guò)學(xué)生間的互動(dòng)交流使大多數(shù)學(xué)生基礎(chǔ)更加扎實(shí).該模式按照輸入信息、激活信息、建立聯(lián)結(jié)、提取和檢索信息順序進(jìn)行教學(xué).其優(yōu)點(diǎn)在于充分調(diào)動(dòng)了教師與學(xué)生的積極性，真正實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng).

Tall帶領(lǐng)的研究團(tuán)隊(duì)分別按照講授法、聯(lián)結(jié)主義教學(xué)法、發(fā)現(xiàn)教學(xué)法進(jìn)行教學(xué)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后進(jìn)行跟蹤調(diào)查，并用國(guó)家課程測(cè)試進(jìn)行測(cè)量，分為非常有效、有效、一般有效.所得數(shù)據(jù)顯示那些主張用聯(lián)結(jié)主義模式的教師教學(xué)效果最明顯，那些主張用傳授法或發(fā)現(xiàn)法的教學(xué)效果僅一般有效，堅(jiān)持用折中方法教學(xué)的則大多數(shù)有效.因此，教師教學(xué)時(shí)要作為輔導(dǎo)者幫助學(xué)生將知識(shí)壓縮成可想像的概念，并促使他們建立起知識(shí)之間的聯(lián)結(jié).

講授法和聯(lián)結(jié)主義教學(xué)法及發(fā)現(xiàn)教學(xué)法的比較對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)方法基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力教學(xué)學(xué)生如何學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)教師如何教授基礎(chǔ)知識(shí)

講授法依賴于口頭闡述然后按固定步驟依次進(jìn)行.學(xué)生將講授的知識(shí)“輸入”腦中經(jīng)過(guò)反復(fù)記憶達(dá)到熟識(shí)的目的.利用語(yǔ)言給學(xué)生引導(dǎo)性解釋，通過(guò)分類練習(xí)建立知識(shí)體系.

聯(lián)結(jié)主義教學(xué)用有效運(yùn)算、優(yōu)化方法提高能力.學(xué)生把新舊知識(shí)進(jìn)行聯(lián)結(jié)再加之互動(dòng)交流，逐步深入，從而克服挑戰(zhàn)性問(wèn)題.教學(xué)相長(zhǎng)，師生對(duì)話探索答案，運(yùn)用知識(shí)推導(dǎo)挑戰(zhàn)性問(wèn)題.

發(fā)現(xiàn)法任意方法尋找答案，更多依賴于實(shí)踐.學(xué)生是整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體，利用知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行探索，尋找解決問(wèn)題的最佳方案.教師起促進(jìn)作用，學(xué)習(xí)先于教學(xué)，學(xué)生在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.

4聯(lián)結(jié)主義教學(xué)法嘗試課例

筆者運(yùn)用聯(lián)結(jié)主義教學(xué)法在《等差數(shù)列前n項(xiàng)和》第一課時(shí)中進(jìn)行嘗試，下面是教學(xué)過(guò)程的簡(jiǎn)述.

第一個(gè)故事教師：當(dāng)年青澀的我來(lái)到學(xué)校應(yīng)聘，校長(zhǎng)給出這樣的問(wèn)題來(lái)考我（如圖1所示）.以此情境拋出“等差數(shù)列求和”問(wèn)題.圖1圖2

第二個(gè)故事在講解等差數(shù)列求和公式之前先介紹高斯其人，近代數(shù)學(xué)史學(xué)家倍爾對(duì)高斯的成就評(píng)價(jià)道：“在數(shù)學(xué)世界里，高斯處處留芳.”教師娓娓道出耳熟能詳?shù)墓适拢焊咚股闲W(xué)時(shí)，有一次數(shù)學(xué)老師給同學(xué)們出了一道題：計(jì)算從1到100的自然數(shù)之和.這個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生自己解決（“高斯算法”學(xué)生小學(xué)時(shí)就知道了，在學(xué)生已有的認(rèn)知范圍內(nèi)），如圖2所示.

圖3圖4

教師引導(dǎo)學(xué)生從另一種視角來(lái)研究“高斯算法”（如圖2和3）.讓學(xué)生深刻體會(huì)“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”中的含義（如圖4）：前100個(gè)自然數(shù)的和可以表示為1001+1002，前99個(gè)自然數(shù)的和可以表示為991+992，剛好均為項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)+末項(xiàng)2，這是不是巧合呢？留給學(xué)生一定的時(shí)間小組討論或自主探究，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在本質(zhì)（如圖5和6）.

圖5圖6

如圖5和6的“逆過(guò)程”正是“倒序相加法”，由“高斯算法”演變到“倒序相加法”探究過(guò)程的創(chuàng)設(shè)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.由教師搭建認(rèn)知腳手架，學(xué)生充分舒展自身的思維空間，自然的生成“倒序相加法”.由特殊到一般，再引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“倒序相加法”推導(dǎo)探究（1）1+2+3+…+n=？（2）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+a3+…+an=？（如圖7所示）同時(shí)也滲透“合情推理”的思想.

在推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項(xiàng)和的兩個(gè)公式Sn=na1+an2和Sn=na1+nn-12d后，教師回應(yīng)之前的第一個(gè)故事，播放續(xù)集：（1）假設(shè)我2000年剛進(jìn)單位第一個(gè)月工資1000元，在現(xiàn)有工資基礎(chǔ)上以后每月增加20元.請(qǐng)問(wèn)2001年年底我的工資總和為多少？（2）假設(shè)我2000年剛進(jìn)單位第一個(gè)月工資1000元，在現(xiàn)有工資基礎(chǔ)上以后每月增加相同的量，到2001年年底我的月工資為1230元.請(qǐng)問(wèn)到2001年年底我的工資總和為多少？讓學(xué)生學(xué)會(huì)選用合適的公式解決問(wèn)題.

如圖8所示，進(jìn)入第三個(gè)故事環(huán)節(jié)：四面云山都入眼，人文史事總關(guān)心.在南北朝時(shí)期，張丘建始創(chuàng)等差數(shù)列求和解法.我國(guó)南北朝《張丘建算經(jīng)》中有這一問(wèn)題的記載：今有女子善織布，逐日所織布以同數(shù)遞增，初日織五尺，計(jì)織三十日，共織九匹三丈，問(wèn)日增幾何？（一匹為四丈，一丈為十尺）請(qǐng)學(xué)生將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)：已知？求？讓學(xué)生體會(huì)在等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式五個(gè)量Sn，an，a1，n，d中至少已知幾個(gè)量可以求出其他量？（課例其余環(huán)節(jié)省略）

我們的數(shù)學(xué)教學(xué)既要顧及學(xué)生的探究與發(fā)現(xiàn)，也要注重教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo).建構(gòu)主義的弊端其實(shí)已經(jīng)顯露，數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)建立在教師在新舊知識(shí)之間搭建適當(dāng)橋梁的基礎(chǔ)上再由學(xué)生去探究發(fā)現(xiàn)，若將學(xué)生的數(shù)學(xué)探究比喻為遨游在天空中的風(fēng)箏，則教師的教學(xué)指引就應(yīng)比喻為握在手中的風(fēng)箏線，教師掌握好手中的線，就能讓學(xué)生更有效的進(jìn)行數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn).因此，“聯(lián)結(jié)主義”為我們提供了比較合理的數(shù)學(xué)教學(xué)模式.

參考文獻(xiàn)

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