一道調研題的解法研討

李濤

題目（武漢市2016屆高三四月調考理科數學第16題）記min{a，b}為a，b兩數的最小值，當正數x，y變化時，令t=min2x+y，2yx2+2y2，則t的最大值為.

評析本題屬于給出新定義，運用不等式的相關性質求解最值問題，學生測評的結果非常不理想，正確率極低，為便于講評，考后與學生交流了解到流行于學生中的思路大致有兩種.

思路1既然t的意義為表示兩者中的較小者，那就分類討論當t分別取2x+y或2yx2+2y2時，即而再求兩類情形的最大值，最后大中取大即可，但具體到若t=2x+y再如何求t的最大值呢？學生們就戛然而止了，筆者經過思考得出此思路的處理.

解法1（1）若2x+y≤2yx2+2y2，則t=2x+y≤2yx2+2y2=2yx2+y2+y2≤2y2xy+y2=22x+y，得（2x+y）2≤2t2≤2，t≤2，

從而可得此時t的最大值為2（當且僅當x=y時取到此最大值）.

（2）若2x+y>2yx2+2y2，則t=2yx2+2y2.

①當2x+y≤2時，得t=2yx2+2y2<2x+y≤2；

②當2x+y>2時，可得t=2yx2+2y2≤22x+y<22=2.

綜上可知，t的最大值為2.

評析上述處理從學生熟知的想法入手，通過對算式的有效放縮與分類討論，雖最終獲解，但技巧性太強，學生不易操控，難以駕馭.

思路2由于學生之前在資料書上做過一道習題：設f（x）=min{2x，x+2，10-x}（x≥0），則f（x）的最大值為，此題的處理是分別畫出三個函數y1=2x、y2=x+2、y3=10-x在第一象限的圖象，取其三者的較矮部分即為f（x）的圖象，容易觀察出f（x）圖象的最高點的縱坐標即為所求最大值，可聯立y2與y3的方程組求出其交點縱坐標，易知f（x）最大值為6，正是由于有此題解題經驗的鋪墊，數形結合的觀點能否在本題中得到運用呢？而又因為2x+y與2yx2+2y2均為二元參數表達式，并不符合函數的特征，圖象也無從畫起，于是這種考慮又一次受阻.

解法2可設x=my（m>0），得

2x+y=（2m+1）y，2yx2+2y2=2y（m2+2）y2=2（m2+2）y.

所以t=min（2m+1）y，2（m2+2）y，將y換作x，視x為自變量，記y=（2m+1）x，y=2（m2+2）x（x>0），容易知道它們分別為正比例函數和反比例函數，畫出其在第一象限的圖象，易知兩圖象交點縱坐標即為t，聯立y=（2m+1）x，

y=2（m2+2）x后，可求得交點的縱坐標y滿足y2=2（2m+1）m2+2≤2（m2+1+1）m2+2=2y≤2，當且僅當m=1即x=y時t取到最大值2.

評析上述的處理是基于學生現有的解題積累之上的一種迎合，雖談不上容易，但很好地運用了數學中的思想方法，隨著解題的步步深入，使其一步一步回到學生可控可為的解題意愿上來，.本題的源頭取自人教版選修45（不等式選講）第10頁第15題：已知a>0，b>0，且h=mina，ba2+b2求證：h≤22，由于此習題為《基本不等式》的課后練習，而且要證的形式是一種放大的需求，因此運用不等式的的基本性質進行合理的放縮成為解題的又一途徑.

解法3由題意得，t≤2x+y，

t≤2yx2+2y2t2≤4xy+2y2x2+2y2≤2（x2+y2）+2y2x2+2y2=2，得t≤2，當且僅當t=2x+y，

t=2yx2+2y2，

x=y，即x=y=23時，t取最大值2.

評析形式上不夠，放縮法來湊，把一個求最值的問題借助不等式的放縮來處理也是一種常用方式，但放縮的尺度如何把握是關鍵，有學生提出為什么是將不等式組相乘而不是相加來求其上界的最大值呢？筆者沒有急于在課堂上給予答復，而是借機給出一個變式供學生思考：

記t=max{a，b}為a，b兩數的最大值，當正數a變化時，令t=maxa，1a，則t的最小值為.

課堂上學生立刻就給出了兩種思路：一是由t≥a，

t≥1at2≥1，進而可得當且僅當a=1時t取最小值1；二是將上述不等式相加得2t≥a+1a≥2t≥1，進而可得當且僅當a=1時t取最小值1.

此時學生已大致感悟出將所得的不等式組加或者乘都只是形式的選擇，重要的是選擇之后的結構是否有利于不等式的性質運用和推進，從而最終生成的常數才可能是整個解題追求的目標（須檢驗這個最值能否取到）.

數學是思維的體操，問題是數學的心臟，試題的講評不能只是各種方法的簡單羅列，而是依據學生應有的思路與困惑為生長點，不斷調整教學預設，同時注重充實完善課本例題習題的二次挖掘與開發，用好用足課本，只有這樣我們的習題教學才能做到最少的投入最大的產出，學生的思維品質才能不斷得到優化.

是從1到n+k-1中取出的按由小到大次序排列k-1個數（yk=k+n已確定不用選）.由于（x1，x2，…，xk）與（y1，y2，…，yk）對應關系是一對一的，因此不定方程x1+x2+…+xk=n（k，n∈N+）的非負整數解的個數便是從n+k-1個數中取出的k-1個數的組合數，即Ck-1n+k-1=Cnn+k-1.