Jensen不等式在處理一類競賽題不等式中的應用

楊晉

Jensen不等式[1]：若函數y=f（x）是（a，b）上的凸函數，則對任意x1，x2，…，xn∈（a，b）

都有f（x1+x2+…+xnn）≤f（x1）+f（x2）+…+f（xn）n.

其中等號當且僅當x1=x2=…=xn時成立.

Jensen不等式反映了凸函數的一個基本性質，它有著極其廣泛的應用.本文中我們利用此不等式可以較簡捷地解決近幾年來的一類競賽不等式，以供參考，學習之用.1證明不等式.

例1（2015年安徽省高中數學競賽題）

設正實數a，b滿足a+b=1，求證：a2+1a+b2+1b≥3.

證明構造函數f（x）=x2+1x（0

f′（x）=2x-1x22x2+1x，

f″（x）=12x+3x44（x2+1x）x2+1x>0，

從而函數f（x）=x2+1x在0，1上為凸函數，由Jensen不等式，可得

f（a）+f（b）2≥f（a+b2）=f（12）=32，即a2+1a+b2+1b≥3，所以原不等式成立.

例2（2014年安徽省高中數學競賽題）

已知正實數x，y，z滿足x+y+z=1，求證：z-yx+2y+x-zy+2z+y-xz+2x≥0.

證明由x+y+z=1，可得x+2y=1-（z-y），y+2z==1-（x-z），z+2x=1-（y-x），

從而原不等式化為z-y1-（z-y）+x-z1-（x-z）+y-x1-（y-x）≥0.

構造函數f（m）=m1-m，m∈（-1，1），

對f（m）求二階導數，則有f′（m）=1（1-m）2，f″（m）=2（1-m）3>0，

從而f（m）為m∈（-1，1）上的凸函數，由Jensen不等式，可得

f（z-y）+f（x-z）+f（y-x）3≥f（z-y+x-z+y-x3）=0，

從而原不等式成立.

評注通過上述兩例，可以看出這兩道不等式題目命制中的凸函數背景.

例3（2012年希臘奧林匹克競賽題）

設a，b，c均為正實數，且a+b+c=3，求證：

a2（b+c）3+b2（c+a）3+c2（a+b）3≥38.

證明構造函數f（x）=x2（3-x）3，x∈（0，3），對f（x）求二階導數，則有

f′（x）=6x-x2（3-x）4，f″（x）=2（9-x2）+12x（3-x）5>0，

從而f（x）為（0，3）上的凸函數，由Jensen不等式，可得

f（a）+f（b）+f（c）3≥f（a+b+c3）=f（1）=18，

故有a2（b+c）3+b2（c+a）3+c2（a+b）3≥38.

所以原不等式成立

例4（2011年甘肅省高中數學競賽題）

設a1，a2，…，an均為正實數，且a1+a2+…+an=1.求證：

（a1+1a1）2+（a2+1a2）2+…+（an+1an）2≥（n2+1）2n.

證明構造函數f（x）=（x+1x）2（0

f′（x）=2（x4-1）x3，f″（x）=2x4+6x4>0，

從而f（x）為（0，1）上的凸函數，由Jensen不等式，可得

f（x1）+f（x2）+…+f（xn）n≥f（x1+x2+…+xnn）=f（1n）=（n+1n）2，

即（a1+1a1）2+（a2+1a2）2+…+（an+1an）2≥（n2+1）2n.

所以原不等式成立

評注文[2]給出了例3和例4一種新證法，這里利用Jensen不等式證之，也不失為一種好方法.

2加強不等式.

例5（2012年克羅地亞奧林匹克競賽題）

設a，b，c均為正實數，且a+b+c≤3，求證：

a+1a（a+2）+b+1b（b+2）+c+1c（c+2）≥2.

證明構造函數f（x）=x+1x（x+2），x∈（0，3），對f（x）求二階導數，則有

f′（x）=-x2+2x+2（x2+2x）2，f″（x）=2（x+1）（x2+2x+4）（x2+2x）2>0，

從而f（x）為（0，3）上的凸函數，由Jensen不等式，可得

f（a）+f（b）+f（c）3≥f（a+b+c3），即a+1a（a+2）+b+1b（b+2）+c+1c（c+2）≥9（a+b+c+3）（a+b+c）（a+b+c+6）.

設u=a+b+c≤3，則只要證9（a+b+c+3）（a+b+c）（a+b+c+6）≥2，

即9（u+3）u（u+6）≥2（2u+9）（u-3）≤0，由0

從而原不等式成立.

注記從上面的證明中可以看出，原不等式加強為：

a+1a（a+2）+b+1b（b+2）+c+1c（c+2）≥9（a+b+c+3）（a+b+c）（a+b+c+6）≥2.

例6（2010年第一屆陳省身杯全國數學奧林匹克競賽題）

設a，b，c均為正實數，且a3+b3+c3=3，求證：

1a2+a+1+1b2+b+1+1c2+c+1≥1.

證明構造函數f（x）=1x2+x+1（0

f′（x）=-2x+1（x2+x+1）2，f″（x）=6x（x+1）（x2+x+1）3>0，

從而f（x）為（0，1）上的凸函數，由Jensen不等式，可得

f（a）+f（b）+f（c）3≥f（a+b+c3），

所以有1a2+a+1+1b2+b+1+1c2+c+1≥3（a+b+c3）2+（a+b+c3）+1，

又由冪平均不等式a3+b3+c33≥（a+b+c3）3，可得a+b+c3≤1，

故1a2+a+1+1b2+b+1+1c2+c+1≥3（a+b+c3）2+（a+b+c3）+1≥1.

所以原不等式成立.

注記從上面的證明中可以看出，原不等式加強為：

1a2+a+1+1b2+b+1+1c2+c+1≥3（a+b+c3）2+（a+b+c3）+1≥1.3推廣不等式

利用Jensen不等式不僅可以證明和加強不等式，還可以用來推廣不等式，如將例1、例3進行推廣，可得：

例7設x1，x2，…，xn（n≥2）均為正實數，且滿足x1+x2+…+xn=1，則有

x21+1x1+x22+1x2+…+x2n+1xn≥1+n3.

例8設a1，a2，…，an均為正實數，且a1+a2+…+an=n，求證：

a21（n-a1）3+a22（n-a2）3+…+a2n（n-an）3≥n（n-1）3.

證明的方法與上述證法類似，讀者可自證.

最后，提供兩題，作為訓練.

1.設a1，a2，…，an均為正實數，且a1+a2+…+an=1.求證：

a12-a1+a22-a2+…+an2-an≥n2n-1.

2.設銳角A，B，C滿足cos2A+cos2B+cos2C=1，求證：

1sin2A+1sin2B+1sin2C≥92.

參考文獻

[1]王向東等.不等式·理論·方法[M].鄭州：河南教育出版社，19945：253-259

[2]劉康寧.利用“一次函數逼近”證明一類不等式[J].中學數學教學參考（上旬），2015（10）：64-68