一節嵌入搜索引擎設計的教學課例：平面向量的數量積

林夢蝶++張維忠

【摘要】將搜素引擎設計中的簡單數學原理融于課堂教學，通過兩則能夠引發數學學習興趣的時事新聞，創設觸及學生生活經驗的教學情景，激發學生的數學探索意識，同時拓展學生的數學視野，提高學生的數學應用能力.

【關鍵詞】教學課例；平面向量的數量積；搜索引擎設計

數學學習過于注重理性傳授，而忽略人文關懷，未將貼近學生的事物很好地融合進數學教學設計之中.因此，數學教學需要感性的情景設計、活動體驗等來彌合學生的情感需求，從而提高數學教學中學生主動思維的參與程度.適宜的數學情境的創設是引導學生進入數學活動的良好開端，教學活動的設計其本身也體現了教師自身的教學智慧.1課例：平面向量的數量積

1.1創設情景

新聞一：2016年2月19日本周播出的《了不起的挑戰》中，上演了一出“環境保衛戰”，為了籌資出游，MC們瘋狂購物，然而在沙溢的眼皮底子下，同伴的“錢包”不翼而飛，引發關注.

節目中，以“環境保衛戰”為主題，六位MC本周將赴“北極”和“馬爾代夫”，為了獲得最佳裝備，MC們來到“免稅店”進行采購.需要對抗嚴寒或酷暑，眾人紛紛出手，買棉襖、買潛水裝備，什么都想買入，無奈手頭“錢”太緊張.

此前，沙溢曾順走撒貝寧的錢，遭小撒分析“案情”.但在本期節目，案情逆轉，有人在“白展堂”沙溢身邊下手，施展高超技法，化身新“盜圣”，這個人就是撒貝寧[1].

新聞二：2015年11月12日，美國海軍羅納德-里根號CVN-76航母戰斗群在中國南海東邊的菲律賓海進行實戰訓練.當天，里根號頻繁起降超級大黃蜂艦載戰機升空進行戰術訓練.

中美2015年11月18日圍繞“中國在永興島部署導彈”展開激烈的隔空辯論.當地時間17日，美國國務院、參議院、眾議院眾口一詞職責中國此舉是“增強在南海的軍事化”.此外，中國在奧巴馬召集東南亞領導人舉行會議的同時做出這一部署，更令美國惱火不已.美國國務卿克里宣稱將要就此同中方進行“嚴肅對話”.雖然中國國防部此前已經表明“相關島礁的防衛部署很多年前就已存在”，但美國一些政客仍固執宣稱中國“傲然無視對美國曾做出的（南海非軍事化）的承諾”[2].

教師：這則新聞，不知道你們是否有關注呢？

學生1：看到啦，我每天都會看一下時事新聞的.

教師：我想，肯定還是有一部分同學沒有關注到，因為每個人的關注點是不同的.若是學生2她沒有看到新聞一，我又知道她特別喜歡看《了不起的挑戰》，我想學生2課后肯定會在手機或者電腦上搜索一下相關新聞的.

學生2：是的是的.

教師：在百度等中輸入“了不起的挑戰”作為關鍵詞，出來的條目都是與之相關程度極高的新聞.搜索引擎是怎樣將與《了不起的挑戰》相關的信息，而不是將新聞二的相關信息呈現給我們呢？這其間的奧秘與我們今天將要學習的內容有關.在學習今天的內容之后，我們來揭示向量的數量積與搜索引擎設計之間的聯系吧.

1.2復習回顧

教師：首先我們回顧一下平面向量的加減法運算.已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），

給出2a+3b，3a-4b的坐標.

學生：2a+3b=（2x1+3x2，2y1+3y2），3a-4b=（3x1-4x2，3y1-4y2）.

教師：不錯！在學習過向量間的加法和減法運算后，你們認為接著會學習向量的什么運算呢？

學生：乘除法運算.

教師：很好，首先我們來解決向量間的乘法運算.

1.3導入新知

教師：在學習前面幾節向量的知識的時候，我們知道向量在物理中有著重要的運用.其實向量除了與物理有著緊密的結合，在我們的購物中一樣可以派上用場.

假設某人購買了x支鋼筆，y支鉛筆.鋼筆每支價格為m元，鉛筆每支價格為n元.問：購買鋼筆、鉛筆的總價格P是多少？若視（x，y）為數量向量，（m，n）為價格向量，此時P的意義如何[3]？

學生3：很顯然，總價格為mx+ny.

教師：總價是很好計算的.但是，我們若是將其放在向量中考慮，你們可以得到什么樣的發現呢？

學生4：總價格P=（x，y）·（m，n）=mx+ny，可能是這樣得到的.

教師：可以看出來學生4的預習很到位.他用數量積的坐標表示來解釋購買鋼筆、鉛筆的總價格，得到的答案與學生3是相同的，顯然是合情的，但是你們覺得合理嗎？第二個等號這里，左邊是兩個什么相乘？

學生：向量.

教師：那右邊的結果是？

學生：是標量！

教師：兩個向量相乘的結果是一個標量，這樣的結論是否合理呢？我們同樣借助物理中的知識來探討吧.向量數量積的物理背景就是物體在力F的作用下產生位移S.即力F所做的功為W=|F||S|cosθ.（多媒體展示外力做功的動態圖示）這里的功W根據你們學過的物理知識，是有方向的向量還是無方向的標量呢？

學生：標量.

學生5：|F|，|S|以及cosθ都是沒有方向的標量，所以乘積W肯定也是沒有方向的標量.

教師：學生5講得很好.數學由來是一門抽象的學科，它將特殊性升華為一般性，使之更具有普遍價值.向量也是的.外力對物體做功的時候，向量力F與位移S共同作用的結果是標量W，為了體現出是F與S共同作用結果，我們令W=F·S=|F||S|cosθ.第二個等號兩端有什么特點？

學生6：與剛才學生4說的其實是一樣的，左邊是兩個向量相乘，右邊是三個標量相乘.

教師：學生6說到關鍵的地方了，從做功的這個式子我們可以看出兩個向量的乘積是？

學生：標量.

教師：我們現在將其一般化.（給出兩個向量數量積的概念，及坐標表示等基本性質.）

1.4思考與探究

引導學生解決課本103頁的思考以及104、106頁[4]的探究.同時完成例題.筆者注重將搜索引擎的設計引入此節的教學，故省略一般無二的一些教學過程.

1.5解決情境問題

教師：學習完平面向量的數量積，現在我們來解決在課堂開始的時候提出的問題.我們先從較為簡單的情況開始討論.考慮新聞一和二中的實詞A與B，我們計算一下它們的單文本詞匯率/逆文本頻率值TF/IDF（可以簡單地理解為出現的頻率），按照這些實詞在詞匯表的位置對他們的TF/IDF值排序：

單詞編號[]漢字詞[]TF/IDF值（新聞一）[]TF/IDF值（新聞二）[BHDWG6mm]1[]A[]x1[]y1

2[]B[]x2[]y2

那么這兩個數組組成2個向量，即設實詞A與B在新聞一與二中出現的次數分別組成向量a=（x1，x2），b=（y1，y2）.我們就用這個兩個向量分別來代表這兩篇新聞，從而成為新聞的特征向量（或者說代表向量）.從而可以計算它們夾角的余弦值

cosθ=x1y1+x2y2x21+x22·y21+y22，

cosθ越接近與1，則代表兩則新聞相關程度越高；越接近于0則代表兩則新聞相關程度越低，此時學生2搜索新聞一時，新聞二的內容就不會出來了.所以，當代表兩則新聞的兩個向量的夾角的余弦值等于1時，這兩則新聞完全重復（用這個方法可以刪除重復的網頁）；當夾角的余弦值接近于1時，兩則新聞相似，從而可以歸為一類；夾角的余弦值越小，兩則新聞越不相關.

再假設新聞中有3個實詞，那么在新聞一、二中出現的次數組成的向量可以分別寫成？

學生7：a=（x1，x2，x3），b=（y1，y2，y3）.

教師：那我們請學生7上來把這種情況下兩個向量夾角的余弦值寫出來吧.

學生7：（板書）

cosθ=〈a，b〉|a||b|=x1y1+x2y2+x3y3x21+x22+x23·y21+y22+y23

教師：你們是這樣的嗎？

學生：是的.

教師：一則新聞可能不止有兩三個實詞而已，假設有n個實詞，那么你們可以寫出這種情況下的，n個實詞分別在兩則新聞里出現的次數組成的向量a，b的夾角的余弦值嗎？在草稿紙上寫出來.

學生：（在草稿紙上寫出來）

cosθ=〈a，b〉|a||b|=x1y1+x2y2+…+xnynx21+x22+…+x2n·y21+y22+…+y2n.

1.6教師總結

向量是具有非凡的應用價值的，在數學中可以解決平面、立體幾何中的繁雜問題.在物理中的運用，你們已經有所了解了.其次，在搜索引擎的設計中，向量也是功不可沒的.2課例簡析

數學知識在教材之中往往呈現出一種高冷美，它往往是基于數學家們正確地計算、證明后得到的邏輯無誤的知識體系，力求簡潔完美.但這總是給學生帶來疏遠感，從而失去學習興趣或動力.數學教師的作用便是起承轉合，將數學知識出現時、應用時的生動活潑、蜿蜒曲折在教學之中體現出來，將數學知識最本真的發展、運用展現給學生，讓學生感受數學知識的基礎性和應用性[5].

同時知識用于“為學”，而智慧用于“為道”，這也是《老子》中的思想.數學知識是對科學規律的抽象概括，數學智慧則是對現實問題的具體解決.因此，數學學習要充分增強學生的內生驅動力，發揮其主觀能動性，教師也要考慮學生的認知基礎，挖掘有益于激發學生數學學習興趣的因素，使學生主動構建數學知識結構，掌握數學知識，形成數學智慧，真正發揮數學的育人價值.

參考文獻

[1]http：//www.chinanews.com/yl/2016/02-19/7764192.shtml

[2]http：//www.chinanews.com/mil/2016/02-19/7764252.shtml

[3]許利群.新課標理念下“平面向量數量積”的教學設計與反思[J].數學教學通訊，2006（12）

[4]劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書人教A版必修4[M].北京：人民教育出版社，2007：103-107

[5]張維忠.基于課程標準的數學教學研究[M].杭州：浙江大學出版社，2013：73-74