高中數學教材二次開發案例展示

劉祥波

【摘要】新課標理念下，教師的角色定位是學生課堂學習的組織者、引導者、合作者和課程、教材的二次開發者.如何開發教材，創造性地使用教材，使之更加符合不同的施教對象，本文從具體實例出發，給出了一種可行的方案.【關鍵詞】新課標；教材；二次開發

新課改在教師如何使用教材上賦予了更大的權力，要求教師轉變傳統“圣經式”的教材觀，形成結合學生實際需要和課程標準對教材進行深加工和創造性使用的“工具觀”或“材料觀”，即教師要進行“教材二次開發”.

從心理學角度講，教材二次開發是貫穿課前、課中、課后整個教學過程以思維為主導的智力活動，教師教材二次開發能力是指教師結合學生的實際情況和自身的經驗，在整個教學過程中，及時洞察學生的特點，運用不同形式思維，對教材的內容進行分析、生成和反思的能力.

附表：教師教材二次開發能力評價指標[1]

構成成分[]評價指標[]含義

分析能力[]深刻性[]準確理解教材意圖；抽象知識本質；多角度舉例.[BH]

全面性[]深入把握各知識點之間的內在關系和聯系.[ZB）]

生成能力[]適宜性[]

教學設計（教學目標、情境創設、內容編排、練習設置、舉例）適合學生情況.[BHG11mm]

獨特性[]

創造性使用教材，形成自己獨特的教學設計.[BH]

靈活性[]

課堂教學中根據學生的狀況及時調整教案.[ZB）]

反思能力[]

深刻性[]

及時反思，發現教材加工產品（教學設計）的優缺點.[BG）F]

依筆者淺見，對教材的例、習題進行重新（二次）設計是實現教材二次開發的有效途徑.下面依據個人的教學經歷，把人教B版教材必修四《倍角公式》一節的例題、習題進行重新設計.若有不當，敬請指正.1例題和習題設計的指導思想

1.1本節在教材中的地位和教學要求

（1）從本節在教材中的地位來看，它是上節課“和角公式”的繼續和深化，同時又是下一節“半角公式”學習的基礎和鋪墊.

（2）從本節的教學要求上看，本節要求能從兩角和的三角公式推出倍角公式，體驗公式的推導過程，體會蘊含其中的數學思想方法，發展學生的邏輯推理能力和運算能力.

1.2 例、習題設計的指導思想

（1）適當注意例題數目.現行教材上只有兩個例題，我們覺得少了一點，可以增加到三個.可以讓師生有相對更多的選擇余地.

（2）通過例題、習題，突出對運算能力和恒等變形能力的考查，以培養學生的運算能力和邏輯推理能力.

（3）重視對含有重要數學思想方法能一題多解的例題的選編.這樣的例題，能發揮引領和帶動作用，提高學生的思維發展水平，促進學生數學素養的形成.2例題設計

例1已知sin α=513，α∈（π2，π），求sin 2α、cos 2α、tan 2α的值.

解因為sin α=513，α∈（π2，π），所以

cos α=-1-sin2α=-1-（513）2=-1213，

sin 2α=2sin αcos α=2×513×（-1213）=-120169，

cos 2α=cos2α-sin2α=（-1213）2-（513）2=119169，

tan 2α=sin 2αcos 2α=-120169÷119169=-120119.

設計意圖本例題選自于課本例1.

選擇這道例題的原因是：

1. 5，12，13是一組勾股數，學生比較熟悉，利于學生運算，利于培養學生的運算能力，特別是口算能力；

2.求tan 2α，還可以直接利用正切的倍角公式，體現了一題多解，利于培養學生的發散思維能力.

例2已知cos（α-β）=-45，cos（α+β）=45，且（α-β）∈（π2，π），（α+β）∈（3π2，2π），求cos 2α.

解：因為cos（α-β）=-45，（α-β）∈（π2，π），所以

sin（α-β）=1-cos2（α-β）=1-（-45）2=35，

因為cos（α+β）=45，（α+β）∈（3π2，2π），所以sin（α+β）=-1-cos2（α+β）=-1-（45）2=-35，

所以cos 2α=cos（α+β）+（α-β）

=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）

=45×（-45）-（-35）×（35）

=-1625+925

=-725.

設計意圖這個例題選自課本課后練習B第2題.

選擇這個例題的原因是：

1.角的變換是三角恒等變換的關鍵和核心.抓住條件中的角和結論中角的等量關系，是解題的關鍵.這里，通過（α+β）+（α-β）=2α，把求cos 2α的問題，轉化為求兩角和的余弦問題.

2.解題過程體現了轉化與化歸的重要數學思想和整體代換的重要數學方法.

這個例題是三角恒等變形的經典例題，建議選用.

例3證明等式：sin 2θ+sin θ2cos 2θ+2sin2θ+cos θ=tan θ.

證明：左邊=sin 2θ+sin θ2（cos2θ-sin2θ）+2sin2θ+cos θ=sin θ（2cos θ+1）cos θ（2cos θ+1）=tan θ=右邊.

設計意圖這個例題選自課本例2.

選擇這個例題的原因是：

1.通過本例題意在向學生展示：證明這個三角恒等式，其實就是體現化弦為切、化倍角2α為單角α、化分式為整式、化復雜為簡單的轉化思想；

2.根據等式左邊分母的結構，強調cos 2α公式的選擇性，體現了對學生觀察問題、分析問題能力的考查.

3.本題還可有別的更多證法，建議通過設立“思考與討論”欄目的形式鼓勵師生探究.3課后習題設計

練習A

1.求下列各式的值：

（1）2sin 67°30′·cos 67°30′； （2）cos2π8-sin2π8；

（3）2cos2π12-1；（4）1-2sin275°；

（5）2tan 22.5°1-tan222.5°；（6 ） sin 15°cos 15°.

選用原因這組求值題來自于教材，建議保留.

（1）題中的角都是常見特殊角的半角，化簡出來的三角函數值都是常用的，有利于學生對這些重要三角函數值的復習和鞏固；

（2）求值的過程體現了對公式的逆用和變形用，有利于考查學生的逆向思維能力和發散思維能力，發展其邏輯思維能力和運算能力.

2.已知cos α=-1213，且α∈（π2，π），求cos 2α，sin 2α的值.

3.已知tan α=12，求tan 2α，cot 2α的值.

4.求函數y=cos2x-sin2x的最小正周期、最大值和最小值.

選用原因這三個題目都是保留了教材上原題.它們的難度較小，直接利用公式就可計算出來.非常適合于新授課的練習.

練習B

1.化簡：

（1）（sin α-cos α）2；（2）sinθ2cosθ2；

（3）cos4φ-sin4φ；（4）11-tan θ-11+tan θ.

選用原因對公式進行變形是掌握公式、鞏固公式的重要方法，并且這些變形結果也是今后學習要經常用到的.

2.已知sin 2α=513，π4<α<π2，求sin 4α、cos 4α、tan 4α的值.

設計意圖

（1）幫助學生理解“倍角”的含義，體會倍角關系的相對性；

（2）培養學生的特殊數據處理能力（特別是常見的勾股數）；

（3）可以通過嘗試一題多解，培養學生的發散思維能力.

3.已知α、β為銳角，sin α=817，cos（α-β）=2129，求cos β.

設計意圖

（1）考查角的整體代換的熟練程度和方法的選擇性（如果不用整體代換，應該怎樣做？簡練程度怎樣？）；

（2）考查了較為復雜的數據計算，培養學生的運算能力；

（3）進一步讓學生體會和領悟轉化和化歸的數學思想.4本節例、習題設計的體會與建議

4.1兩點體會

（1）本節課公式多，公式的變形多，歷來是學生學習的難點.我們的例、習題設計遵循了先易后難、循序漸進的原則，力爭利用有限的例題和習題涵蓋常見題型，體現了教材對師生的人文關懷，同時也便于師生使用；

（2）注重選用內涵豐富的例、習題，如數值特殊、方法重要（如角的等值代換）、思想深刻的題目，力爭使所選的例、習題能促進學生對公式及其變形的掌握，促使學生知識系統和方法系統的完善.

4.2一個建議：

課本P144 B 第3題和第4題，從我們多年來的新授課教學實踐看，學生接受起來比較困難.

第3題：求cos 20°cos 40°cos 80°的值.（提示：乘以并除以2sin 20°）

第3題的結構特殊，解法相對固定、單一，體現了一定的技巧性，如果沒有教材的提示，學生更是無從下手，即便是按照課本上的提示，學生做對了，以后遇到可能還是不會.

第4題：圓心角為60°的扇形AOB 的半徑為1，C 是AB 弧上一點，作矩形CDEF，如右圖，當C 點在什么位置時，這個矩形的面積最大？這時的∠AOC 等于多少度？

第4題是個函數“應用題”，沒有給出具體的面積表達式，要學生自己推導，而這個建模的過程并不容易！并且，得到的面積函數要求出最大值，還要經過降冪、合并（利用輔助角公式）等工作，顯然，這是一個綜合題，放在新授課課后的位置，難度太大.

建議把這兩個題目放在習題32B或章末的“鞏固與提高”欄目中，供學生選做.

教學實踐的經驗告訴我們，教師只有根據學生的實際情況，在理解課標精神、教材編寫意圖的基礎上，合理取舍教學內容，設計有自己個性的、符合學生實情的教學方案，實現對教材的二次開發，才能更好地促進我們的教與學.

參考文獻

[1]張莉，李西營.中小學教材二次開發能力評價指標體系的構建[J].課程·教材·教法，2015（10）

2.普通高中課程標準實驗教科書數學（4）人民教育出版社2007年4月第二版

3.普通高中數學課程標準（實驗）

4.章建躍.中學數學課改的十個論題 .中學數學教學參考20103

5.涂榮豹.談提高對數學教學的認識——兼評兩節數學課.中學數學教學參考 20061-2