一種含間隙解耦并聯機構動力學分析與混沌現象辨識

侯雨雷， 張占葉， 李明洋， 汪　毅， 曾達幸， 李慧劍(.燕山大學 機械工程學院，河北 秦皇島　066004；. 燕山大學 河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室，河北 秦皇島　066004)

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一種含間隙解耦并聯機構動力學分析與混沌現象辨識

侯雨雷1， 張占葉1， 李明洋1， 汪毅1， 曾達幸1， 李慧劍2(1.燕山大學 機械工程學院，河北 秦皇島066004；2. 燕山大學 河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室，河北 秦皇島066004)

摘要：以自主提出的一種兩轉動解耦并聯機構為研究對象，闡述機構結構組成，并針對其運動副存在間隙狀況，建立含間隙機構動力學模型；基于ADAMS軟件進行動力學仿真，并分析在有無運動副間隙、不同間隙和驅動速度下，機構位移、速度、加速度以及運動副接觸力的變化；借助Poincare截面映射法對解耦并聯機構動力學行為中的混沌現象予以辨識，繪制Poincare映射圖，揭示間隙對機構動力學特性的影響。研究結果表明含間隙解耦并聯機構存在混沌運動現象，對其更進一步的非線性動力學研究有一定指導意義。

關鍵詞：解耦并聯機構；間隙；動力學；混沌辨識

在實際機械系統中，運動副間隙是不可避免的，由于間隙的存在，使得機構的動力學系統為非線性系統，而混沌現象普遍存在于非線性系統中[1]，研究機構動力學混沌現象可以更好的揭示系統宏觀動力學特性。

混沌是確定的非線性動力系統所特有的復雜運動形態。混沌打破了確定性與隨機性之間不可逾越的分界線，初始條件的微小變化將導致系統運動狀態的巨大差異[2]。由于混沌在工程技術上的重大研究價值和極其誘人的應用前景，混沌理論及其應用已成為非線性科學研究的一個熱點[3-4]。James等[5]分析了直升機振動機制，探討了直升機振動中混沌行為存在的可能性及其對動力系統的影響。Zukovic等[6]分析了一種含間隙的非理想機械系統中的混沌現象，通過求解最大Lyapunov指數證明了系統中混沌的存在，并發現系統經倍周期分岔而進入混沌。

迄今為止，機構學中混沌現象的研究大多集中在機構動力學分析方面，尤其是帶間隙的運動副和有柔性構件的連桿機構、非線性齒輪傳動力和齒側間隙引起的非線性動力學分析等。金國光等[7]依據變胞機構全構態動力學模型，研究了雙柔性機械臂動力學中的混沌現象。李立等[8]通過分析混沌的數值方法，獲得平面串聯型運動冗余機器人自運動狀態與其零空間中矢量關系的統計規律。王國慶等[9]采用非線性彈簧阻尼模型分析了含間隙機構的非線性，證明了其運動中存在混沌現象。王三民等[10]分析了弧齒錐齒輪的非線性特性，得出隨支撐剛度變化弧齒錐齒輪系經擬周期分岔進入混沌振動。陳學森等[11]針對含間隙非線性單級齒輪系統，利用OGY混沌控制原理，通過對外激勵參數實施連續的小擾動，將系統的混沌吸引子內的不穩定周期軌道穩定化。馬洪濤等[12]分析了行星換向機構的分岔及混沌特性，通過增大轉速使系統由周期運動狀態統突變為混沌狀態，又通過增大扭矩使系統由混沌狀態轉為單周期運動狀態。謝進等[13]分析了驅動關節運動已知的平面2R欠驅動機械臂混沌運動，當機構受重力作用且驅動關節運動頻率較高時，機構將呈現混沌運動狀態。

混沌識別是研究混沌的前提和首要條件。準確而高效的對系統混沌進行辨識是實現混沌控制、利用的基礎。由于混沌運動具有復雜性和非周期性的特點，關于混沌理論的研究還處于探索階段，主要通過求解非線性系統動力學微分方程數值解，分析數值解在時域、空間等的特征來判斷系統是否處于混沌狀態。應用較廣泛的數值分析方法有：時間歷程和相圖法、龐加萊(Poincare)截面法、自功率譜密度分析法、分維數分析法以及最大李雅普諾夫(Lyapunov)指數法[14]等。

現有文獻中，機構的動力學及混沌現象分析已較普遍，而針對解耦并聯機構混沌現象的分析鮮有報道。相比其他機構而言，并聯機構運動輸出為各分支不同運動副共同作用結果，而對應某一特定任務，機構各運動副多為往復、交變運動，并非單一方向的運轉，在此情況下建立并聯機構合理的間隙副模型，分析運動副間隙對機械系統動力學特性的影響對機構的設計及應用具有重要的工程實際意義。

本文將以含間隙RU-RPR(R為轉動副，U為虎克鉸，P為移動副)解耦并聯機構為研究對象，建立機構動力學仿真模型，以并聯機構學和混沌理論為基礎，借助ADAMS軟件分析機構在不同間隙大小、不同工況下的動力學行為及相關特性，并對機構混沌現象予以辨識。

1解耦并聯機構動力學仿真建模的建立

1.1并聯機構結構組成

如圖1所示為RU-RPR并聯機構簡圖，該并聯機構具有兩轉動自由度[15]，可用于追蹤飛行目標，如天線座等。RU-RPR并聯機構由定平臺、動平臺以及連接兩平臺的兩條支鏈組成，從定平臺到動平臺，第一條分支鏈依次由轉動副(R)和虎克鉸(U)相連，第二條分支鏈依次由轉動副、移動副(P)和轉動副相連。其中，第二條分支中移動副的移動方向垂直于該分支兩個轉動副的軸線，兩分支中與固定平臺相連的兩轉動副軸線相互平行且與虎克鉸的一條軸線平行，虎克鉸的另一條軸線與第二分支中與動平臺相連的轉動副軸線重合。

圖1　RU-RPR 2自由度轉動并聯機構Fig.1 RU-RPR 2-DOF rotational parallel mechanism

在定平臺上固連定坐標系O-XYZ，其中，坐標原點O為與連線中點在定平臺平面的投影，Z軸豎直向上，Y軸與和定平臺相連的兩轉動副A、D軸線垂直并指向A；在動平臺上固連動坐標系o-xyz，其中，坐標原點o建立在動平臺幾何中心，y軸和分支2中與動平臺相連的轉動副的軸線共線，方向指向虎克鉸，z軸與動平臺平面垂直，方向向上。

1.2解耦并聯機構運動學分析

如圖1所示，將RU-RPR并聯機構第一分支的轉動副和第二分支與動平臺相連的轉動副作為主動副。符號定義如下：以θ表示第一分支的轉動副繞Z軸旋轉角度；γ表示第二分支與動平臺相連的轉動副繞Y軸旋轉角度；α和β分別表示動平臺繞動坐標系的z軸和y旋轉角度；L表示與固定平臺相連的兩個轉動副軸線間的垂直距離，l1和l2分別表示桿AB、BC的長度。根據機構位置與速度分析，可得其雅可比矩陣為[16]

(1)

RU-RPR并聯機構具有繞y軸和z軸的兩轉動自由度[15]，且其雅可比矩陣J為對角陣，故該機構為完全解耦，即兩轉動互不影響。因此，在研究轉動副D處的間隙時，可暫不考慮機構繞y軸的轉動，而只考慮動平臺沿z軸(鉛垂方向)的轉動，故可將RU-RPR解耦并聯機構視作一個平面四桿機構，其等效機構簡圖如圖2所示。

圖2　含間隙兩轉動并聯機構等效機構簡圖Fig.2 Schematic diagram of the equivalent mechanism of two rotation parallel mechanism with clearance

1.3機構動力學仿真模型的建立

針對等效的含間隙RU-RPR解耦并聯機構建立平面坐標系X′O′Y′，并對后續動力學分析所需相關參數定義如下：l1、θ1、J1分別表示桿AB的長度、轉角以及對轉動連接副A的轉動慣量；l2、ls2、θ2、m2、Js2分別表示桿BC的長度、質心S0距運動副B的距離、轉角(與X′軸正向的夾角)、質量以及對自身質心的轉動慣量；m3、ls3、Js3分別表示桿CE的質量、質心C0與C之間的距離以及對自身質心的轉動慣量；l表示CD之間的距離，l4表示機架的長度；x、y分別表示間隙(圖中小圓表示軸銷，大圓表示軸套)的橫向、縱向分量，即軸銷和軸套間的橫向、縱向相對位移分量。

機構桿件形狀如圖1所示，多選用長方形和圓柱形，其材料為45鋼，則可得到RU-RPR機構相關參數如下：l1=130 mm，l2=308 mm，ls2=0.154 mm，ls3=79.7 mm，l4=520 mm，J1=7.351×10-3kg·m2，Js2=6.16×10-2kg·m2，Js3=5.772×10-3kg·m2,J4=7.105×10-3kg·m2，m2=8.516 kg，m3=1.161 kg。

應用軟件對機構建模時，默認運動副都是理想約束，而在實際機構中，因設計時動配合的考慮以及加工裝配中的誤差，運動副之間存在間隙，進而導致運動過程中的沖擊和碰撞。為真實的反映現實中含間隙的運動副之間的碰撞情況，利用ProE軟件建立RU-RPR解耦并聯機構三維實體模型并設置間隙，之后導入ADAMS中，根據含間隙運動副的作用機理，結合軟件提供的約束聯合建立等效間隙約束。

將運動副之間的碰撞模型等效為彈簧阻尼模型，采用沖擊函數法計算碰撞力，即通過Impact函數計算兩構件之間的接觸力，該接觸力由兩部分組成：① 兩構件之間相互切入，表面發生細微變形而會產生相互作用的彈性力；② 由于相對速度的存在，產生阻尼力。彈簧接觸力根據Hertz接觸理論來計算，同時用阻尼器模擬接觸過程中的能量損失。

本文采用Gstiff積分器中的SI2積分格式進行求解，對非連續問題，SI2積分格式求解速度稍慢，但是穩定性較好。設置ADAMS中機構間隙模型建立所涉及的各項參數如表1所示。

表1　RU-RPR解耦并聯機構間隙模型碰撞參數

2解耦并聯機構動力學仿真分析

將D處轉動副含間隙RU-RPR機構和不含間隙RU-RPR機構的三維模型分別導入到ADAMS中。在不考慮含間隙時，D處將添加理想的轉動副約束；當D轉動副處有間隙時，對其施加接觸力約束。如下分別分析有無轉動副軸銷與軸套間的徑向間隙、徑向間隙不同、驅動速度不同時機構的動態性能。

2.1有無間隙機構動力學性能分析

設轉動副D處軸銷與軸套間的徑向間隙為0.3 mm，驅動角速度為ω=12π rad/s，模擬運行的時間選取為0.5 s，即運轉3個周期。RU-RPR解耦并聯機構在無間隙理想狀態與D轉動副處含間隙時，動平臺質心在定坐標系中的位移、速度變化曲線分別如圖3、圖4所示。鑒于含間隙機構初始碰撞時，碰撞深度較大，接觸力也較大，對機構動態特性影響也較劇烈，故在圖4中采用局部放大的方式以觀察機構在初始碰撞時速度曲線的變化過程，從而在一定程度上便于認識到間隙對機構動態特性的影響。文中后續其它圖中放大圖的作用類似，不再一一贅述。

圖3　考慮間隙與無間隙機構動平臺位移變化曲線對比圖Fig.3 Comparison diagram of displacement variation for the moving platform of the mechanism considering clearance or not

圖4　考慮間隙與無間隙機構動平臺速度變化曲線對比圖Fig.4 Comparison diagram of the velocity variation for the moving platform of the mechanism considering clearance or not

由圖3可知，含間隙與無間隙理想機構的位移曲線圖基本重合，位移穩定變化，說明間隙對機構動平臺位移的影響是很小的。

如圖4所示，含間隙機構運動初始階段，動平臺質心發生較大的速度變化，由此推斷，含間隙機構在運動之初，軸銷和軸套處于分離狀態，施加驅動后使得軸銷和軸套發生猛烈的沖擊，因此出現角速度突變，但由于接觸摩擦和阻尼作用，動平臺又很快穩定下來，逐步進入平穩狀態，后續中含間隙與無間隙機構速度曲線基本重合，說明間隙對機構動平臺速度的影響比較小。

圖5～圖7分別為考慮間隙與無間隙時，機構動平臺質心加速度和角加速度以及軸銷軸套接觸力變化曲線。

圖5　考慮間隙與無間隙時機構動平臺加速度變化曲線對比圖Fig. 5 Comparison diagram of the acceleration variation for the moving platform of the mechanism considering clearance or not

圖6　考慮間隙與無間隙時機構動平臺角加速度變化曲線對比圖Fig.6 Comparison diagram of the angular acceleration variation for the moving platform of the mechanism considering clearance or not

圖7　考慮間隙與無間隙時機構D處軸銷軸套接觸力變化曲線對比圖Fig.7 Comparison diagram of contact force for the shaft pin and sleeve on D point of the mechanism considering clearance or not

通過對圖5～圖7變化曲線對比分析可知，無間隙理想機構動平臺的加速度、角加速度以及軸銷與軸套之間接觸力的曲線變化平穩，沒有突變；而考慮間隙機構動平臺的加速度、角加速度和軸銷軸套之間的接觸力曲線突變明顯，運動不穩定，尤其是在運動初始階段，軸銷和軸套發生沖擊，使鉸關節瞬間產生一個很大的接觸力，并引起較大的初始加速度和角加速度，說明間隙對機構的加速度和角加速度影響比較顯著。

從接觸力變化曲線圖上可以看出，含間隙機構在運動初始的兩個周期內，出現了多個接觸力的峰值，分別為運動起始時的170 470 N和各個周期內的4 391 N、4 183 N、4 099 N等，由此可見，含有間隙時，不僅在起始時接觸力會突然變大，在每個運動周期也會出現偏離理想狀態數值的高次波，因此，在機構設計和制造時，需要考慮間隙對軸套軸銷接觸力的影響，在長期、往復作用情況下，接觸力變化對運動副疲勞磨損的影響不可忽視。

從圖4～圖7中的放大圖可以看出，在運動起始時，軸銷與軸套未接觸時，接觸力為0，速度、加速度以及角加速度曲線變化比較平穩；而當軸銷與軸套初始接觸時，接觸力迅速增大，與此同時，速度、加速度、角加速度曲線也顯著變化。對比接觸力的放大圖與原圖可以看出，初始運行時的接觸力峰值是運動過程中峰值的幾十倍，這是由于初始運行時，存在較大的沖擊所造成，因而不能忽略初始運行的影響。

綜合以上分析可知，由于間隙的存在，軸銷和軸套產生碰撞，對機構的運動性能，即位移和速度的影響較小，而對機構的動態特性，包括加速度、角加速度以及接觸力有較大的影響。

2.2徑向間隙不同時機構動力學性能分析

當驅動角速度為ω=12π rad/s時，改變軸銷和軸套之間徑向間隙的大小，進行機構的動力學仿真。

如圖8所示為徑向間隙分別為0.05 mm和0.5 mm時動平臺質心加速度對比曲線。兩種徑向間隙下，徑向間隙為0.05 mm時初始加速度為1.419×107mm/s2，徑向間隙為0.5 mm時初始加速度為1.369×107mm/s2，二者基本相同。同時由放大圖可以看出，徑向間隙為0.05 mm時，加速度曲線變化更迅速，這是因為間隙較小時，軸銷與軸套初始接觸所需要的時間更短。而在運動過程中，徑向間隙為0.05 mm時的加速度曲線與徑向間隙為0.5 mm時的加速度曲線相比，徑向間隙為0.5 mm時存在更多的波峰，波動更加劇烈。這與角加速度曲線以及接觸力曲線是一致的，如圖9，圖10所示。

圖8　不同徑向間隙下機構動平臺質心加速度變化曲線對比圖Fig.8 Comparison diagram the acceleration variation for the moving platform of the mechanism under different radial clearance

圖9　不同徑向間隙下機構動平臺質心角加速度變化曲線對比Fig.9 Comparison diagram of the angular acceleration variation for the moving platform of the mechanism under different radial clearance

圖10　不同徑向間隙時D處軸銷軸套接觸力變化曲線對比圖Fig.10 Comparison diagram of the contact force variation for the shaft pin and sleeve on D point under different radial clearance

通過對圖8～圖10的分析可知，隨著間隙的增大，曲線的波動幅值比較大，說明間隙越大，鉸關節處沖擊碰撞嚴重，將導致機構運動更加不穩定，產生較大的波動。

可見，間隙的變化會對機構的動態特性造成較大的影響，從這一角度出發，結構設計過程中，在零件選材、精度要求等方面要有針對性考慮。

2.3驅動速度不同時機構動力學性能分析

當轉動副D處的徑向間隙為0.3 mm，驅動角速度分別為12π rad/s和30π rad/s時，對含間隙解耦并聯機構進行動力學仿真。動平臺質心速度、加速度以及接觸力曲線分別如圖11～圖14所示。

圖11　驅動角速度不同時含間隙機構動平臺質心速度變化曲線Fig.11 Velocity variation curve for the moving platform of the mechanism under different driving angular velocities

圖12　驅動角速度不同時含間隙機構動平臺質心加速度變化曲線Fig.12 Acceleration variation curve for the moving platform of the mechanism under different driving angular velocities

圖13　驅動角速度不同時含間隙機構銷軸與軸套間接觸力在x方向分量變化曲線Fig.13 Contact force component along x direction variation curve for the shaft pin and sleeve on D point under different driving angular velocities

圖14　驅動角速度不同時含間隙機構銷軸與軸套間接觸力在y方向分量變化曲線Fig.14 Contact force component along y direction variation curve for the shaft pin and sleeve on D point under different driving angular velocities

從圖11可以看出，解耦并聯機構動平臺質心速度變化曲線比較光滑，說明驅動角速度的變化對動平臺質心速度無明顯的影響。圖12表明，驅動角速度的變化對動平臺質心加速度有顯著影響，驅動角速度越小，動平臺的質心加速度振動頻率越大，運動表現不穩定；而當驅動角速度較大時，動平臺加速度相比而言變得穩定，運動曲線相對光滑理想，表明在某一特定的間隙條件下，增大驅動角速度對機構動態特性是有利的。

由圖13、圖14可以看出在ω=30π rad/s時，銷軸和軸套間接觸力的曲線變化相比ω=12π rad/s時的曲線較為光滑，表明驅動角速度的變化會明顯影響銷軸與軸套間接觸力，即在一定的間隙條件下，增大驅動角速度使得機構的動態特性相對比較穩定。

3含間隙解耦并聯機構混沌現象辨識

圖15　徑向間隙為0.3 mm時解耦并聯機構Poincare映射圖Fig.15 Poincare maps of the decoupled parallel mechanism under radial clearance of 0.3 mm

通過圖15所示的Poincare映射圖可以看出，在Poincare截面上，大量的映射點呈現帶狀分布而非孤立點或閉合曲線，并且相鄰的映射點之間沒有關系，由此可以判斷此時RU-RPR解耦并聯機構處于混沌狀態，并且當系統處于混沌時，映射點數的多少并不會改變映射形狀，只是大量的映射點將使映射的形狀更為稠密[17]。

改變徑向間隙的大小，取r=0.05 mm，與前述類似作RU-RPR解耦并聯機構Poincare映射圖，其形狀如圖16所示。

圖16　徑向間隙為0.05 mm時解耦并聯機構Poincare映射圖Fig.16 Poincare maps of the decoupled parallel mechanism under radial clearance of 0.05 mm

通過對比分析圖15和圖16可以看出，隨著運動副間隙值的減小，機構Poincare映射點向直線趨勢收縮，說明RU-RPR解耦并聯機構混沌現象有所減輕；考慮極限或理想情況，當運動副無間隙時，Poincare截面上將只有一個點，此時機構沒有混沌現象。

4結論

本文以解耦并聯機構非線性動力學中的混沌現象為研究目標，分含間隙與不含間隙、不同徑向間隙大小、不同驅動速度三種情況，對含間隙RU-RPR解耦并聯機構進行動力學仿真和混沌現象辨識。對比分析結果表明：間隙運動副對機構動平臺的位移和速度影響較小，而動平臺加速度會產生比較大的波動；減小運動副徑向間隙，有利于減小運動副元素之間劇烈的接觸碰撞；增大驅動速度機構運動趨于穩定。

通過分析所繪制的Poincare映射圖，證實了含間隙RU-RPR兩轉動解耦并聯機構中確實存在混沌現象。不同間隙值時機構混沌現象的影響對比分析表明，混沌現象隨著間隙值的減小而減輕。

本文是對解耦并聯機構混沌現象研究的有益嘗試，有利于推進并聯機構動力學理論研究的深化，也是對混沌理論應用領域的拓展。

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Dynamics analysis and chaos identification of a decoupled parallel mechanism concerning clearance

HOUYu-lei1,ZHANGZhan-ye1,LIMing-yang1,WANGYi1,ZENGDa-xing1,LIHui-jian2(1. School of Mechanical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China；2. Key Laboratory of Mechanical Reliability for Heavy Equipments and Large Structures of Hebei Province, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

Abstract:Taking a two-rotational independent decoupled parallel mechanism as an object, the structure composition of the mechanism was described.Considering the clearance condition exists in the assembly and operational process, the dynamics model was established in this paper.The dynamics simulation was performed based on ADAMS software, and the variation conditions of the displacement, velocity, acceleration and contact force of the mechanism corresponding to the presence or absence of the kinematic pair clearance, different pair clearance and driving velocity were analyzed.The chaos phenomenon in the dynamics behavior of the decoupled parallel mechanism was identified with the Poincaré section-mapping method, the Poincaré maps were plotted, and the effects of the clearance on the dynamic characteristics of the mechanism were revealed.The results showed that there exists the chaos phenomenon in the decoupled parallel mechanism concerning clearance, which is certainly significant for further nonlinear dynamics research.

Key words:decoupled parallel mechanism; clearance; dynamics; chaos identification

中圖分類號:TH113

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.08.034

通信作者李慧劍 男，博士,教授,博士生導師，1960年生

收稿日期：2014-12-16修改稿收到日期：2015-04-30

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51205339;51305384)；中國博士后科學基金資助項目(2013M541199)

第一作者 侯雨雷 男，博士后，教授，1980年生