基于有效獨立-總位移法的水工結構振測傳感器優化布置

張建偉， 劉軒然， 趙　瑜， 毋　淦， 劉曉亮(華北水利水電大學 水利學院，鄭州　450000)

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基于有效獨立-總位移法的水工結構振測傳感器優化布置

張建偉， 劉軒然， 趙瑜， 毋淦， 劉曉亮(華北水利水電大學 水利學院，鄭州450000)

摘要：為了更好地解決大型水工結構振測傳感器優化布置問題，以拉西瓦拱壩為研究對象，針對有效獨立法所選測點能量較小的不足，提出基于有效獨立-總位移法的傳感器優化布置方法。運用模態保證準則、最大奇異值比、Fisher信息矩陣值和總位移幅值等評價方法對有效獨立法、有效獨立-總位移法和距離系數-有效獨立法三種方法進行評價。研究表明，有效獨立-總位移法可以使所測得的模態之間正交性、可觀性更好，提高剩余測點的應變能，是一種有效實用的傳感器優化布置方法。

關鍵詞：大型水工結構；拱壩；傳感器優化布置；有效獨立-總位移法；模態保證準則

大型工程結構的設計使用年限達七八十年，有的甚至上百年，由于荷載的疲勞效應、材料老化等因素，結構損傷不可避免的成為了一個研究熱點。通過動態測試來獲取結構的動力特性，從而判斷結構的損傷位置、損傷程度的無損檢測技術是結構損傷識別的一個重要方法。由于經濟和技術的限制，技術人員不可能在高拱壩所有自由度上布置傳感器，因此，如何用有限的傳感器來獲取更全面準確的信息就顯得十分重要[1]。

目前在工程結構振測的傳感器優化布置方面已有不少學者進行了研究，優化布置的方法分為傳統方法和非傳統算法，其中，有效獨立法(Effective Independence method，EI法)和能量法都屬于傳統的傳感器優化布置方法，非傳統算法主要包括遺傳算法，模擬退火算法等。在傳統算法中，有效獨立法[2]是目前應用最為廣泛的傳感器布置方法之一，其基本思想是保留對模態向量線性無關貢獻最大的測點，用有限的傳感器得到盡可能多的模態信息，從而獲得對模態的最佳估計。有效獨立法在實際工程中應用廣泛，何龍軍等[3]提出了基于距離系數修正矩陣的距離系數-有效獨立法，該方法有效避免了測點間的信息冗余問題；李東升等[4]等比較了較常用的傳感器布置方法，揭示了各種方法間的內在聯系，利用一梯形結構考察了不同傳感器布置方法結果的異同；楊雅勛等[5]利用能量系數改進有效獨立法，選擇能量較大的測點布置傳感器，避免了信息丟失的問題；劉偉等[6]提出的有效獨立-模態動能法，其核心思想是在考慮截斷模態線性獨立的同時選擇具有較高模態動能的測點位置，有較強的抗噪聲性能。在非傳統優化算法方面，黃維平等[7]通過遺傳算法，解決了香港青馬大橋的健康監測問題； Kirkpatrick等[8]依據模擬退火模仿物質體系的冷卻固化過程，考慮到大規模組合優化問題的求解與物質體系的退火過程有很多相似性，將其應用到傳感器優化布置問題上，取得了一定的進展。

有效獨立法致力于獲得對模態空間估計獨立性最好的測點，通過計算測點之間的協方差矩陣，找到相互之間獨立性最好的傳感器布置位置。但是傳感器不一定分布在能量較大測點，可能丟失結構重要信息。本文針對有效獨立法這一局限性，從測點能量的角度出發，把測點的總位移以權重的方式加入傳感器優化布置過程中，同時保留有效獨立法的優點，提出有效獨立-總位移法(Effective Independence-Total Displacement method，EI-TD法)，并與傳統有效獨立法，距離系數-有效獨立法相比較。本文以高拱壩為例，分別用這三種方法進行傳感器優化布置，并運用模態置信準則，Fisher信息矩陣值，最大奇異值比以及總位移等評價準則評價各傳感器布置方法的優劣。

1傳感器優化布置方法

1.1有效獨立法

有效獨立法是由Kammer[9]最早提出的一種方法，也是應用最廣泛的傳感器優化布置方法之一。它的核心思想是從所有可能的測點出發，依次消除對使Fisher信息矩陣行列式變化最小的自由度，保留對目標模態線性無關貢獻最大的點，最終得到對模態空間估計最佳的傳感器優化布置方案。

設結構的動力響應方程為

(1)

式中：U為傳感器的輸出響應；Φ為測得的n×m階模態矩陣；n為自由度數；m為模態階數；q為目標模態坐標向量；φi為第i階模態振型向量。

由式(1)得q的最小二乘估計表達式為

(2)

考慮結構響應中的噪聲S，式(1)可化為

(3)

則可得到q的協方差矩陣為

(4)

(5)

式中：Q稱為Fisher信息矩陣，當Q最大值時，協方差矩陣最小，也就可以得到q的最小二乘估計。而A取最大值時，Q也取得最大值，因此，可以用A來反映Q。矩陣A的特征方程為：

(A-λI)ψ=0

(6)

式中：λ和ψ為矩陣A的特征值和特征向量，則有

ψTAψ=λ

(7)

ψTλ-1ψ=A-1

(8)

構建矩陣E，令E=Φiψλ-1(Φiψ)T，則

(9)

式中：E為冪等矩陣，其對角線上第i個元素Eii表示第i個自由度對模態矩陣線性無關的貢獻。

1.2距離系數-有效獨立法

距離系數-有效獨立法是由何龍軍等于2013年在有效獨立法基礎上提出測點優化算法，該方法引入歐式距離來評價兩個測點或自由度的信息獨立性，即：

(10)

式中:dkl表示k測點與l測點的信息矩陣的空間差異，所需識別的模態振型數目為m。假定在一組候選測點中的最大歐式距離為dmax，標準化的歐式距離Dkl可表示為:

(11)

對于布置方案中的任意兩個測點，均滿足:

0≤Dkl≤1,?k,l

(12)

對于任一測點k，其對Fisher信息矩陣的距離系數定義為:

Rk=min(Dks), ?s

(13)

式中:s為總的傳感器測點數。將距離系數Rk引入式(5)中，可得修正后的Fisher信息矩陣:

(14)

1.3有效獨立-總位移法

有效獨立-總位移法(EI-TD法)是在有效獨立法的基礎上，在選擇測點時考慮測點總位移的傳感器優化布置方法。

通過有效獨立法的推導過程可以發現，有效獨立法只考慮了剩余測點對目標模態獨立性的貢獻，可能會造成選取的測點能量較低，丟失重要信息的結果。而大型結構中，出現損傷破壞的點，偏離其原有位置的位移一般都比較大。為了彌補這一不足，本文提出EI-TD法，考慮每個測點的總位移。測點的總位移大，其相應的應變能也就比較大，用EI-TD法選取的測點綜合了二者的優點，使優化測點的總位移較大，保留了響應較大的測點，同時保持了剩余測點之間較好的獨立性。

EI-TD法進行傳感器優化布置的步驟為：

步驟1建立結構有限元模型，進行模態分析，提取結構的模態矩陣Φ。

步驟2求出每個自由度在各階模態的總位移Di以及所有自由度的總位移和D。并計算出每個Di所占的百分比ηi：

(15)

步驟3由所選模態向量求有效獨立信息矩陣。

(16)

式中，E為有效獨立信息矩陣對角線元素之和，i為自由度數目。計算Eii所占的百分比δi：

(17)

步驟4記θi=ηi+δi，刪除最小的θi所對應的自由度。

步驟5將剩余的傳感器組成新的模態矩陣，重復步驟2～4直至得到預定的傳感器數目。

注意：結構每個自由度的總位移在循環操作時不會發生改變。

2算例分析及效果評價

以拉西瓦拱壩為研究對象，應用有效獨立法、有效

獨立-總位移法及距離系數-有效獨立法三種方法對壩體下游面振測傳感器進行優化布置，以達到利用較少傳感器準確識別拱壩各目標模態參數的目的。該壩體結構形式為雙曲拱壩，壩體建基面高程為2 210.0 m，壩頂高程2 460.0m。拱冠處最大底寬49.0 m。拱壩的有限元模型如圖1所示，壩體采用三維塊體單元SOLID45單元，上游水體以附加質量的方法進行模擬[10]，采用mass21質量單元，模型共計52 400個節點，46 240個單元，壩體下游面2 628個節點。混凝土材料密度取2 400 kg/m3，彈性模量取33 GPa，泊松比取0.167，地基為無質量彈性地基，彈性模量取22 GPa，泊松比取0.250，模態分析時取動彈模為靜彈模的1.2倍。

圖1　拱壩的有限元模型Fig.1 Finite element model of arch dam

2.1模態分析

用ANSYS對拱壩結構進行濕模態分析，選取前五階振型，如圖2所示。

圖2　拱壩的前五階振型Fig.2 The first five order modes of arch dam

大型水工建筑物的低階模態具有較大的振型參與系數，通常能夠描述結構系統的動態特性[3]，選取高階模態的意義不大，因此，選擇該高拱壩的前五階模態作為目標模態。由于拱壩順河向振動較為強烈，本文將重點研究壩體下游面順河向位移傳感器的優化布置。理論上，傳感器的個數應不小于選取的模態階數，即最少需要5個，但考慮到壩體尺寸較大及有限元模型的誤差，本文選擇要布置的傳感器數目為30個。

2.2傳感器優化布置方案

提取候選自由度組成的模態矩陣，分別運用有效獨立法、有效獨立-總位移法和距離系數-有效獨立法進行測點位置的優化，得到的最終測點如圖3所示。

圖3　不同方法測點布置圖Fig.3 Scheme of sensor placement based on different methods

2.3方案評價

通過以下四種方法對所得方案進行評價。

(1) 模態置信準則

由結構動力學原理知，結構完備的模態向量應該是一組相互正交的向量。實際上由于測量自由度小于結構模型的自由度并且受到其他因素的影響，測得的模態向量不能保證正交性，可能出現模態向量空間交角過小而丟失重要信息的情況。模態保證準則矩陣[11]是評價模態向量交角的一種數學工具，可用來判別結構實測模態向量的獨立性，其公式表達如下：

(18)

式中：φi和φj分別為第i階和第j階模態向量。查看MAC矩陣的非對角元素，MAC矩陣的元素Mij等于1的時候，說明第i向量與第j向量交角為零，兩個向量獨立性最差；當Mij等于0時，說明第i向量與第j向量相互正交，獨立性最好。所以通過MAC矩陣，可以知道所測模態向量的相互獨立程度。本文取MAC矩陣非對角線元素的最大值和平均值作為評價指標，二者數值越小越好。

EI法、EI-TD法和距離系數-有效獨立法的MAC矩陣三維柱狀圖如圖4所示。

圖4　不同方法的MAC矩陣圖Fig.4 MAC matrix of different methods

圖4中兩水平軸代表模態階數，垂直軸代表MAC矩陣各元素的值，各對角線元素為1。有效獨立法、有效獨立-總位移法和距離系數-有效獨立法的MAC矩陣非對角元素最大值分別為0.799,0.815和0.821，平均值分別為0.533,0.594和0.600。本文的有效獨立-總位移法，MAC矩陣非對角線元素最大值與平均值在有效獨立法和距離系數-有效獨立法之間，說明它基本保持了有效獨立法的優點，得到的最終測點之間獨立性較好。

(2) Fisher信息矩陣值

由式(5)可知，Fisher信息矩陣Q是為了探求模態向量協方差的大小而構造的矩陣，Q最大等價于協方差最小。Fisher信息矩陣Q行列式值最大時的估計是模態坐標的無偏估計，這也與有效獨立法的初衷相吻合。從統計角度分析，Fisher信息陣等價于待估參數估計誤差的最小協方差矩陣，Fisher信息陣也同時度量了測試響應中所包含信息的多少，信息陣的值是越大越好。三種方法得到的Fisher信息矩陣的值見表1。

由表1可知，用有效獨立-總位移法得到最終測點的Fisher信息矩陣的值在三種方法所得的測點中最大，有效獨立法的值次之，而距離系數-有效獨立法得到的最終測點Fisher信息矩陣值最小，說明本文方法在保留結構信息量方面同樣具有較好的表現。

表1　三種方法Fisher信息矩陣值

(3) 最大奇異值比

模態矩陣的奇異值分解可以作為衡量傳感器布置位置好壞的一個尺度，其計算公式就是模態矩陣奇異值的最大值與最小值之比，該比值越小，傳感器位置越優。模態矩陣的最大奇異值比的下限是1，此時是最理想的情況，所選擇的傳感器位置所定義的結構模態矩陣完全規則正交。有三點理由說明采用此準則的必要性：①模態正交性的要求。在模態測試時各階模態要求盡可能線性獨立，當得到的模態矩陣完全正交時，其模態保證準則矩陣的最大非對角元為0，模態矩陣的所有奇異值都為1，因而其最大比值為1，二者都達到最理想狀態，因此，在模態正交性的意義上，這兩個準則是等價的。②模態擴階的要求。試驗識別的結構模態維數一般小于有限元的理論模態，因此如果想利用試驗模態對理論模態進行驗證就需要將試驗模態進行擴階或者理論模態進行縮聚。而試驗模態擴階通常需要計算模態矩陣的廣義逆，如果該模態矩陣的最大奇異值比較大，則這樣計算的矩陣廣義逆或者得到的模態擴階結果誤差會相對較大。因此，試驗模態擴階要求模態矩陣的最大奇異值比盡可能小。③模態可觀性的要求。當一個結構的運動方程寫成狀態方程的形式后，結構的模態可觀性或者是模態的識別性是由系統可觀性矩陣的秩來決定的，如果模態矩陣的最大奇異值比太大，則計算機截斷誤差會導致可觀性矩陣的數值秩小于其理論秩，而使結構模態不可識別。

有效獨立法、有效獨立-總位移法、距離系數-有效獨立法得到的奇異值比分別為9.33、9.07和10.67，三種方法的比值都不是很大，但是本文的有效獨立-總位移法的奇異值比在三者中是最小的，奇異值比越接近于1，表明矩陣的性態越良好。說明有效獨立總位移法在滿足模態正交性，可觀性，以及模態擴階的要求上表現優良。

(4) 總位移值

總位移值能保證傳感器布置在具有較大應變能的自由度，可在一定程度彌補有效獨立法忽略自由度能量的問題。在選擇最佳布置測點時，應該使測點有較大的總位移值，這是本文提出的一個傳感器評價準則，有效獨立法、有效獨立-總位移法和距離系數-有效獨立法剩余測點的總位移值見圖5。

圖5　三種方法的總位移值Fig.5 The total displacement values of different methods

有效獨立法、有效獨立-總位移法和距離系數-有效獨立法所得的最終測點的總位移分別為0.003 68、0.004 25和0.002 78。有效獨立-總位移法在三者中的總位移幅值最大，說明用本文的方法選擇的測點有較大的應變能，可以很好的彌補有效獨立法的局限性，更好的反映結構狀況。

3結論

為解決傳統有效獨立法在大型空間結構的傳感器優化布置過程中容易去除能量較大測點的問題，提出了一種能夠同時滿足所選測點模態獨立性和保證測點應變能的傳感器空間優化布置方法，即有效獨立-總位移法。主要結論如下：

(1) 針對傳統有效獨立法在大型空間結構的傳感器優化布置問題時，容易去除響應較大測點的缺點，從提高測點應變能的角度出發，提出了一種解決該問題的有效獨立-總位移法的傳感器優化布置方法，將本文方法與有效獨立法、距離系數-有效獨立法應用到大型水工結構的傳感器優化布置中，分別得到了傳感器數目為30個時的三種布置方案；

(2) 運用模態保證準則、Fisher信息矩陣、最大奇異值比和總位移準則對三種布置方案進行了全面評價，其中總位移準則是本文提出的以保證最終測點應變能的評價準則。研究結果表明：有效獨立-總位移法在解決拱壩結構的傳感器優化布置問題時，能夠保證更加合理的測試信息獨立性和測點的能量，保證模態之間的正交性、可觀性，保留更多重要信息；

(3) 有效獨立法在許多大型結構的傳感器優化布置中的應用效果己得到證明，而本文方法在解決高拱壩的傳感器優化布置問題時取得了不錯的效果，是一種值得信賴的傳感器優化布置方法。

參 考 文 獻

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Optimal sensor placement for hydraulic structures based on effective independence-total displacement method

ZHANGJian-wei,LIUXuan-ran,ZHAOYu,WUGan,LIUXiao-liang(College of Water Conservancy, North China University of Water Resources and Electric Power, Zhengzhou 450000, China)

Abstract:In order to solve the problem of large hydraulic structure sensor optimization better, the Laxiwa arch dam was considered as the research subject.In view of the shortcomings of the effective independence method for getting the points with less energy, the effective independence-total displacement method was proposed.Modal assurance criterion, maximum singular-value ratio, Fisher information matrix and total displacement were used to evaluate the sensor optimization effect with an effective independence method, effective independence-total displacement method and distance coefficient-effective independence method.This study shows that the proposed effective independence-total displacement method can improve the independence and observability of the measured modes, and can improve the strain energy of the remaining points, so it is an effective and practical method for optimal sensor placement.

Key words:large hydraulic structure; arch dam; sensor-placement optimization; effective independence-total displacement method; modal assurance criteria

中圖分類號:O329；TV31

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.08.023

收稿日期：2015-07-17修改稿收到日期：2015-11-04

基金項目：國家自然科學基金(51009066)；河南省高等學校青年骨干教師資助計劃(2012GGJS-101)；河南省科技攻關(142102310122;132102310320)

第一作者 張建偉 男，博士，副教授，1979年生

E-mail：zjwcivil@126.com