基于加速度二次協方差矩陣參數變化比法的環境振動下結構損傷識別

王立新, 李雪艷, 姜　慧, 朱嘉健(.中國地震局地震監測與減災技術重點實驗室 廣東省地震局，廣州　50070；.暨南大學 力學與土木工程系, 廣州　5063)

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基于加速度二次協方差矩陣參數變化比法的環境振動下結構損傷識別

王立新1, 李雪艷2, 姜慧1, 朱嘉健1(1.中國地震局地震監測與減災技術重點實驗室 廣東省地震局，廣州510070；2.暨南大學 力學與土木工程系, 廣州510632)

摘要：在白噪聲環境激勵下，結構加速度響應的自相關/互相關函數構成一個新的二次協方差(CoC)矩陣，組成這一協方差矩陣的元素經證明是結構模態參數(頻率、振型、阻尼)的函數；與提取模態參數的一般損傷識別方法相比，二次協方差矩陣包含結構振動的更多和更高階模態信息。利用結構損傷前和損傷后的二次協方差(CoC)矩陣參數的變化比，對只基于振動輸出的、環境振動下的結構進行損傷識別。對一個七層框架結構模型進行了數值模擬，首先對不同噪聲程度、不同損傷位置和程度的損傷結構進行損傷定位，再結合模型修正法，對結構損傷程度進行識別，展示了該方法的有效性。

關鍵詞：損傷識別；二次協方差矩陣；環境激勵

基于環境振動的工程結構健康監測，具有無須貴重的激勵設備，不中斷結構的正常使用，方便省時，價格低廉，只需測定響應數據等優點[1-6]；避免了在使用激振設備過程中對結構造成損傷，提高了安全性，測試環境符合結構的邊界條件和實際工況，能夠更為真實準確地反應結構在工作狀態下的振動特性[5,7]。Li等[8]提出了白噪聲激勵條件下的加速度響應二次協方差(CoC)矩陣，經證明該矩陣的元素僅是結構模態參數(頻率、振型、阻尼)的函數。這一方法的顯著優點表現在，首先，僅利用加速度響應即可計算，不需進行模態識別，避免了在模態參數識別中可能帶來的功率譜泄露、密集模態丟失、截斷誤差等問題；第二，該方法可以避免時域方法的系統定階問題；第三，理論上CoC矩陣所包含的模態階數只受限于數據采樣頻率，也就是可以盡量多地包含更多階數的模態信息，避免丟失響應信號中與損傷有關的高階模態，使得提取的損傷指標更加靈敏。本文將利用基于該二次協方差矩陣參數變化比的方法來對一環境激勵下的七層框架結構進行損傷識別。

1加速度響應二次協方差矩陣參數變化比方法的基本原理

支座激勵下的N自由度黏性阻尼結構系統的運動方程為：

(1)

(2)

從式(2)計算出矩陣u(p)·(u(p))T為[8]：

(3)

式中下標i×j表示為矩陣[u(p)·(u(p))T]的第i行j列的單元，i與j是結構的模態階數，Δt是采樣步長，S是反應白噪聲激勵能量水平的常數，其它參數的細節見參考文獻[8]。

假設加速度計安裝在監測結構上，在白噪聲激勵下連續記錄監測點的加速度響應，監測得到的加速度響應二次協方差矩陣通過下式計算為：

(4)

式中,E表示為期望值，式(4)中CoC矩陣Tp可以直接通過加速度響應的協方差矩陣Rp=[Rpl1(t)Rpl2(t) …Rplm(t)]T計算得到。

假設結構在位置r處發生了損傷，這個損傷在結構的剛度上用剛度矩陣的改變ΔK來表征，那么結構發生損傷后的第i個CoC矩陣參數的改變量ΔCi就是損傷的位置向量r和剛度矩陣的改變ΔK的函數[12]，

ΔCi=fi(ΔK,r)

(5)

把該函數對沒有損傷的情況(ΔK=0)進行展開，并忽略高階項，得到

(6)

當結構沒有發生損傷時，剛度矩陣的改變ΔK=0，所以對于所有可能的r來說，沒有損傷時，fi(0,r)=0，因此式(6)變為，

ΔCi≈ΔK×gi(r)

(7)

同樣的對第j個CoC矩陣參數的改變量ΔCj,有，

ΔCj≈ΔK×gj(r)

(8)

所以由式(7)和式(8)有，

(9)

由式(9)得出結論：當結構發生損傷后，任意某兩個CoC矩陣參數改變量的比值僅是損傷位置的函數，而與損傷的大小沒有關系，并且隨著損傷位置的不同，這個CoC矩陣參數變化比的比值也會變化，那么利用實測出的結構發生損傷后的“CoC矩陣參數變化比”便可以識別出結構發生損傷的位置。

需要注意的是，上述從式(5)～式(9)的推導過程中引入了近似，式(6)中截去了高階非線性項從而引入了截斷誤差。如果被截去的高階非線性項在函數ΔCi中占的分量不大的話，也就是說ΔCi是關于參數ΔK的線性或者弱非線性函數，那么式(6)對式(5)的近似誤差較小，后續式(7)中的誤差也在可接受的范圍內，這將會是一個影響后續基于該指標的損傷識別是否成功的關鍵因素。因此，在實際結構的分析中，需要事先研究ΔCi與ΔK的關系，從而確定所提出的方法是否適用，這一點在下文第2節會進一步討論。

2CoC矩陣參數變化比方法的數值模擬

基于CoC矩陣參數變化比方法，對一個七層框架結構模型進行損傷識別。結構模型如圖1所示，該結構被劃分為70個歐拉梁單元，共65個節點，節點排列如圖 1所示，其中左邊豎向柱(第1～第21單元)的橫截面積為2.425×10-4m2,截面慣性矩為4.753 5×10-10m4,密度為7 850 kg/m3；橫向梁(第22～第49單元)的橫截面積為4.46×10-4m2，截面慣性矩為2.957 2×10-9m4,密度為7 734.2 kg/m3；右邊豎向柱(第50～第70單元)的橫截面積為2.425×10-4m2，截面慣性矩為4.753 5×10-10m4,密度為7 850 kg/m3。材料的彈性模量E為2×1011N/m2。在節點23、25、26、28、29、31、32、34、35、37、38、40、41、43處添加一重為3.8 kg的鐵塊。結構底部為固支約束，理想白噪聲激勵施加在結構的支座上，大小為0.01 m2/s4。在該模擬計算中，節點2，5，8，11，14，17和20處的水平和豎直方向的加速度通過Newmark數值方法計算得出，用來模擬實際結構中測試得到的加速度響應，并用來計算實驗二次協方差(CoC)矩陣。

圖1　七層框架結構模型Fig.1 The 7-story frame structure model

首先模擬單元26的剛度依次下降 5%、10%、…、85%，計算出每種損傷程度狀態下的“CoC矩陣參數變化比”。由于CoC矩陣是對稱矩陣，為了簡化數據，只取其對角線上的元素進行分析，由此得到結構的“CoC矩陣參數變化比”與單元不同程度損傷所對應的曲線見圖2和表1，對單元49做同樣計算可得到圖3，圖中均采用結構CoC矩陣對角線上元素和第1個對角元素的比值。可見，雖然并不是所有的ΔCi/ΔCj隨損傷程度變化的曲線都是絕對水平線，但是大部分曲線在一定損傷大小內(圖2是50%，圖3是60%)都是接近水平線的，由此表明兩個CoC矩陣參數改變量的比值ΔCi/ΔCj在一定損傷程度內，主要是由損傷位置決定，損傷大小對它的影響較小。也即說明，對于該模型結構，第1節式(6)中引入的近似是在可接受的范圍內，從而可以應用本文提出的損傷識別方法。

圖2　單元26的剛度從5%減少到95%的CoC參數變化比曲線Fig.2 Curves of CoC parameters when the stiffness of Element 26 is reduced from 5% to 95%

圖3　單元49的剛度從5%減少到95%的CoC參數變化比曲線Fig.3 Curves of CoC parameters when the stiffness of Element 49 is reduced from 5% to 95%

圖4　單元26的剛度減少35%對應的“實測”CoC參數變化比向量與理論CoC參數變化比向量的的MAC值Fig.4 The‘measured’ and computed MAC values due to 35% stiffness reduction in Element 26

圖5　單元26的剛度減少35%時“實測”和理論CoC參數變化比向量的比較Fig.5 Comparison of the‘measured’ and computed CoC change ratios due to 35% stiffness reduction in Element 26

圖6　單元10的剛度減少35%對應的“實測”CoC參數變化比向量與理論CoC參數變化比向量的的MAC值Fig.6 The ‘measured’ and computed MAC values due to 35% stiffness reduction in Element 10

圖7　單元10的剛度減少35%時“實測”的CoC參數變化比向量與理論的變化比向量的比較Fig.7 Comparison of the ‘measured’ and computed CoC change ratios due to 35% stiffness reduction in Element 10

綜上所述，CoC矩陣參數變化比方法雖然無法識別出單元的損傷程度，但是可以識別出損傷位置；即使無法給出精確的損傷位置，也可以給出小范圍的可能損傷位置，這樣就能縮小潛在損傷單元的數目。本文再結合基于CoC靈敏度和模型修正方法便可以識別出損傷單元的損傷程度[8]。這里取損傷工況3為例進行計算，即單元10損傷30%和單元26損傷25%，在“實測”CoC矩陣參數變化比向量中加入15%的白噪聲。首先通過CoC矩陣參數變化比法，可以把損傷范圍從所有單元縮小到10個單元(根據MAC值的大小，取單元10,11，12，26, 38, 42, 48, 49, 51和52為最有可能損傷單元)，再利用CoC參數靈敏度和模型修正法，可以得出損傷向量如圖8所示，可以看出，損傷位置和大小都能準確識別出。

因此，本文提出的基于CoC矩陣參數變化比向量縮小損傷范圍，然后再精確識別損傷大小的二步法，可以提高模型修正法的耐噪聲能力和提高其收斂速度，提高了方法的有效性。

圖8　單元10的剛度減少30%和單元26的剛度減少25%時通過二步法所識別出的損傷向量Fig.8 The obtained damage vector from the two-step method due to 30% stiffness reduction in Element 10 and 25% reduction in Element 2

本文提出的方法直接基于輸出加速度響應進行結構損傷識別，計算簡單，也避免了模態識別過程中可能產生的誤差，但是應該看到，結構環境振動響應信噪比低，噪聲的影響不可忽略。為了降低噪聲的影響，本文在由加速度響應計算互相關函數Rpl(τ)時，要求有足夠時間長度的加速度響應數據。因為在計算時是假定結構處于白噪聲激勵下的，這樣才能把激勵大小從互相關函數中去掉。但實際的環境激勵不是理想的白噪聲激勵，所以對實際的環境振動響應數據，需要保證測試的加速度響應具有足夠長的時間才能達到所需要的精度，這樣的處理同時也降低了殘留在加速度響應中的噪聲影響。

另外需要說明的是，加速度響應協方差是結構模態參數(頻率，振型和阻尼等)的函數，它是個全局參數，理論上，在某測點處發生的損傷，是能反應到其它測點加速度響應的協方差中的。但在實際使用中，由于測試加速度信號本身帶有噪聲，再加上方法誤差，這些都會影響方法的準確性。采用更多測點可以在一定程度上糾正這些誤差帶來的誤判，從而提高識別的準確性，所以本文中使用了比較多的測點。

表1　第26個單元剛度不同程度減少時CoC參數變化比的變化

3結論

本文利用環境激勵下的結構加速度響應二次協方差(CoC)矩陣參數變化比法，對結構進行損傷定位；再基于準確的定位或者縮小了的損傷識別區域，結合參數靈敏度和模型修正法，對結構進行損傷識別，并把該方法應用在一個七層框架結構上，通過計算分析，得到了滿意的結果，展示了該方法的有效性和實用性。

參 考 文 獻

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Damage identification under ambient vibration based on change ratios of covariance of covariance matrix components of structural acceleration responses

WANGLi-xin1,LIXue-yan2,JIANGHui1,ZHUJia-jian1(1.CEA Key Laboratory of Earthquake Monitoring and Disaster Mitigation Technology, Earthquake Administration of Guangdong Province, Guangzhou 510070, China;2.Department of Mechanics & Civil Engineering, Jinan University, Guangzhou 510632, China)

Abstract:A new covariance of covariance (CoC) matrix is formed from the auto/cross-correlation functions of acceleration responses of a structure under ambient white noise excitation.The components of a CoC matrix are proved to be a function of modal parameters (modal frequency, mode shape and modal damping) only of the structure.Compared to the general damage-identification methods of extracting modal parameters, the formulated covariance matrix contains more information, especially the higher vibration modes of a structure.Using the change ratios of CoC matrix components, a method of damage identification is proposed for structures under ambient vibration based on vibration outputs in this paper.A seven-floor frame structure is studied through numerical simulation in two steps (namely, first damage location and then damage-extent identification) to demonstrate the efficiency of the proposed method.

Key words:damage identification; covariance of covariance matrix; ambient vibration

中圖分類號:TU375.4

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.08.022

收稿日期：2015-08-05修改稿收到日期：2015-11-01

基金項目：地震科技星火計劃(XH16031);國家自然科學青年基金(51208230);廣東省重大科技專項(2012A080102008);廣東省地震預警與重大工程安全診斷重點實驗室建設項目(2011A060901006)

第一作者 王立新 男，博士，副研究員，1976年9月生

E-mail:wlxustc@hotmail.com