基于偽隨機特征向量的二次修改的結構拓撲重分析

何建軍, 陳享姿(長沙理工大學 汽車與機械工程學院，長沙　410114)

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基于偽隨機特征向量的二次修改的結構拓撲重分析

何建軍, 陳享姿(長沙理工大學 汽車與機械工程學院，長沙410114)

摘要：研究了連續兩次修改的結構動力學拓撲重分析問題。基于我們提出的特征向量偽隨機初始化方法，獨立和耦合質量正交化處理措施，再結合瑞利-里茲分析法，形成了適用于兩次修改的增加自由度的結構拓撲大修改的快速動力學重分析方法。該方法減少了兩次直接分析所需要的大量計算量，且操作簡單，易于實現。數值算例結果表明，對于這類涉及兩次修改的拓撲大修改重分析問題，該方法是十分有效和高精度的。

關鍵詞：連續兩次修改；偽隨機；動力學拓撲重分析；質量正交化

優化設計往往是一個不斷重復的迭代過程。有理論分析表明，大型復雜結構拓撲構型可能有無窮多，這導致結構拓撲優化設計迭代次數多，計算時間長，嚴重影響了結構拓撲優化設計的效率和其在工程實際中的實用性[1]。其中，重復的結構直接分析計算又占據了結構優化設計中主要的計算量和時間，而相比直接分析，結構近似重分析卻能夠有效的減少結構優化設計中的計算量，顯著的加快拓撲優化設計的進度，從而有利于結構拓撲優化設計在工程實際中的廣泛應用和普及，因此開展結構拓撲優化設計重分析方法的研究仍然是一項很有意義的工作。

目前，結構重分析方法的研究拓展到了區間參數結構修改的特征值重分析[2]，規則結構局部修改的特征值重分析[3]，復特征值的近似重分析[4]和線性結構隨機分析的重分析方法[5]等一些新的重分析問題[6-7]上來，這些都表明結構重分析方法的研究仍然是結構優化設計中一項很值得關注的重要內容。

現有的結構近似重分析方法對于一次拓撲修改，可能具有良好的精度，那么對于兩次(這里的兩次是指第一次修改重分析以初始結構的特征信息為基礎，而第二次修改后的新結構重分析又以第一次近似重分析的結果為基礎)或者多次修改卻難以繼續保持好的近似性。假設對于第二次修改，采用第一次修改近似重分析的結果作基礎獲得的再次重分析結果不理想，設計者又不得不反過來再對第一次修改后的新結構進行完整或直接的重分析，這樣近似重分析方法減少的計算時間就比較有限，其實際實用就會受到限制。因此，本文基于我們提出的獨立和耦合質量正交化處理措施和特征向量偽隨機初始化方法，再結合瑞利-里茲分析法，對一類新的涉及連續兩次修改的拓撲大修改重分析問題進行了研究，數值算例結果表明了方法的有效性。

1動力學方程

假設拓撲修改前初始結構的自由度為m，其廣義特征方程為

(1)

同理，再令增加了n自由度的拓撲優化后新結構的特征值問題表述如下

Km+nΨi=λiMm+nΨi

(2)

式中，Km+n和Mm+n分別表示拓撲修改后結構的剛度矩陣和質量矩陣；而λi和Ψi分別表示其第i階特征值及相應的特征向量,m+n表示拓撲優化結構的有限元離散自由度數。

顯然，依據初始結構和新增加結構之間的連接關系，對矩陣分塊，式(2)中拓撲優化結構的Km+n、Mm+n可寫成

(3)

(4)

也可以將上式表示為更簡潔的形式

(5)

以上及接下來的表達式中，下標“m”表示初始結構的自由度數，而“n”表示新增加的自由度數。

于是，動力學拓撲重分析構造的問題就是在不直接求解式(2)和節省計算量的前提下，通過間接的方法獲得拓撲修改結構的近似特征值及特征向量。

2連續兩次修改的結構動力學拓撲大修改重分析方法

2.1新增加自由度上特征向量的初始化

對于自由度增加的結構拓撲修改，可先將拓撲優化后新結構的自由度分為獨立的兩部分，其對應的特征向量也分為兩部分

Ψi=[(Ψmi)Τ(Ψni)Τ]，(i?m)

(6)

式中，Ψmi和Ψni分別對應初始結構自由度和新增加自由度上的特征向量。

(7)

2.2獨立質量正交化處理

現有的重分析方法都忽略了初始自由度和新增加自由度之間的獨立關系，因此為了突出兩者的獨立性質和效果，我們提出了獨立質量正交化處理的新策略，簡稱解耦質量正交化處理。數值計算結果表明，這一策略對于改善近似拓撲重分析方法的精度具有非常顯著的作用。

初始自由度：

(8)

新增加自由度：

ΚnnΨni=ΜnnΨni

(9)

2.3整個自由度上的瑞利-里茲分析

本質上，單元由于彼此之間的連接關系組成了一個整體-結構，結構初始自由度和新增加自由度上特征向量的耦合作用才是決定整個模態特征的主要因素，因此，為了獲得整個自由度上特征向量的優良近似結果，再對整個自由度上的特征向量進行質量正交化處理和瑞利-里茲分析。

(1) 通過質量正交化處理改善由式(8)，(9)得到的拓撲修改結構整個離散自由度上的初始特征向量

Κm+nΨi=Μm+n[(Ψmi)T(Ψni)T]T

(10)

(2) 基于式(10)得到的近似基向量，計算投影子空間

Κr=(Ψr)TKm+n)Ψi

(11)

Mr=(Ψr)TMm+n)Ψi

(12)

(3) 進行瑞利-里茲分析

ΚrΨri=λriMm+n)Ψi

(13)

(4) 通過上述一系列的改善策略和里茲分析過程，最終由下式可得到拓撲修改結構的高精度的近似特征值和特征向量

λi=λri, Ψ=[(Ψm)T(Ψn)T]T[Ψr]

(14)

從該方法的整個流程可以看出，所有環節簡單、易懂和通用，而且其中包含一些相似的分析部分，因此，該方法實際的操作和計算機編程實現將非常容易和可行。

2.4連續兩次修改

由式(14)得到第一次修改結構的近似特征值和特征值向量，并將其作為第二次修改重分析的初始特征值和特征向量，然后再執行式(6)～式(14)，就可得到第二次修改后結構的近似特征值和特征向量。粗略分析，第一次修改近似重分析的誤差會累積到第二次修改的近似重分析中。兩次重分析之間顯然存在誤差的轉移和累積，但由于偽隨機初始特征向量措施的實施，從第二次修改的近似重分析結果來看，誤差并沒有明顯的增加，表明本文所提出的特征向量偽隨機初始化方法一方面簡化了以往新增加自由度上特征向量的初始化措施，另一方面有效的避免了兩次近似重分析誤差的累積。

2.5誤差定義

定義特征值相對誤差(Relative error)：

(15)

式中,精確特征值λei是直接求解拓撲修改結構的特征方程得到的，λai是采用所提出的獨立耦合質量正交化處理近似方法計算得到的特征值, 同時給出近似特征向量與精確特征向量的夾角余弦值α, 也即模態置信因子(Model Assurance Criterion,MAC )來衡量近似特征向量和精確特征向量的相關性[8]，公式如下

(16)

式中,x，y分別表示直接計算得到的精確特征向量和CA方法間接求解得到的近似特征向量。MAC的值越接近1，表明兩向量的相關性就越好；反之，MAC的值越接近0，表明兩向量的相關性越差，也即近似特征向量的逼近質量越差。Massa[6]曾指出，MAC的值在0.7～1之間就表明近似特征向量與精確特征向量具有良好的相關性。

3數值算例

圖1　初始結構Fig.1 The original

圖2 148桿拓撲結構(第一次修改)Fig.2148-bartopologystructure(thefirstmodification)圖3 161桿拓撲結構(第二次修改)Fig.3161-bartopologystructurestructure(thesecondmodification)

表1　采用不同方法得到的連續兩次拓撲修改結構前五階特征值及特征向量的比較

對于算例1，從表1可以看出，即便是對于連續兩次修改的拓撲大修改的動力學重分析問題，采用本文方法也能得到修改后新結構的高精度的近似特征值和特征向量。

在相同的計算環境和平臺下，經多次運算，直接重分析分析和近似重分析平均計算費用的比較如下：整個精確直接重分析計算需用時0.166 4 s，本文整個近似方法重分析計算需用時0.003 768 s，節省近97.8%的計算費用。由于采用了特征向量偽隨機初始化方法，將使得重分析計算在優化設計中的可操作性大大簡化和加強。而且可以預見，本文所提出的方法對于減少拓撲優化設計的計算量將是相當可觀的。

例3-2考慮如圖4所示的彎曲薄板結構，假定板的材料參數為彈性模量E=2.1×1011Pa，質量密度為ρ=7 800 kg/m3。板的厚度為0.01 m, 泊松比為0.3。整個板長0.8 m, 寬0.4, 左端固支，其余端自由，有限元離散成3 321個節點和3 200個矩形單元。假設第一次拓撲修改的結果是增加1 640個節點及1 600個矩形單元，如圖5所示；第二次拓撲修改的結果是增加820個節點及800個矩形單元，其它材料或者物理參數保持不變，如圖6所示。

對于算例2，從表2可以看出，即便是對于連續兩次修改的拓撲大修改的動力學重分析問題，采用本文方法也能得到修改后新結構的高精度的近似特征值和特征向量。

圖4　初始的懸臂彎曲板結構Fig.4 The original cantilevered bending plate structure

圖5　第1次修改的拓撲結構Fig.5 The topology structure by the first modification

圖6　第2次修改的拓撲結構Fig.6 The topology structure by the second modification

模態λeiλciRe1λuiRe2λdiRe3λtiRe4MAC417.47E+2007.86E+2005.177.60E+2001.697.49E+2003.31E-0017.48E+2001.15E-0020.821722.92E+4004.35E+40049.093.83E+40031.273.55E+40021.472.95E+4001.020.820533.80E+4005.05E+40032.974.02E+4005.874.54E+40019.543.86E+4001.580.769442.30E+5007.15E+500210.285.37E+500133.013.80E+50065.292.34E+5001.730.8092

在相同的計算環境和平臺下，經多次運算，直接重分析分析和近似重分析平均計算費用的比較如下：整個精確直接重分析計算需用時1.832 6 s，本文整個近似方法重分析計算需用時0.537 8 s，節省近70.6%的計算費用。

4結論

本文針對這類新的涉及連續兩次修改的結構拓撲大修改的動力學重分析問題，基于我們提出的獨立和耦合質量正交化處理措施和特征向量偽隨機初始化方法，再結合瑞利-里茲分析法，形成了一種高效、高精度的近似動力學拓撲重分析方法。數值算例的結果表明，所提的方法對解決新問題是十分有效的，且方法簡便易實施，而且該近似重分析方法在保證計算精度的同時，近似結果又具有隨機性。

參 考 文 獻

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Structural topology reanalysis for twice continuous modifications based on pseudo-random eigenvector

HEJian-jun,CHENXiang-zi(School of Automobile and Mechanical Engineering, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410004, China)

Abstract:According to the problem of structural dynamic topological reanalysis for two continuous modifications, a new method for dynamic reanalysis of topological modified structure with added degrees and twice-continuous modifications was proposed in this paper.This method is a combined independent mass-orthogonalization strategy and a pseudo-random numbers initialization eigenvector method with Rayleigh-Ritz analysis.Compared with the direct finite element analysis, computational cost can be significantly reduced by this method, which is also easy to operate and implement.The numerical example shows that the proposed method for dynamic topological reanalysis of twice-continuous modifications is effective and has high precision.

Key words:twice continuous modifications; dynamic topological reanalysis; pseudo-random; mass orthogonalization

中圖分類號:O342

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.08.033

收稿日期：2014-12-25修改稿收到日期：2015-03-25

基金項目：國家自然科學基金項目(51305048);湖南省高等學校科學研究一般項目(11C0045);謝億民“湖湘學者”子課題資助

第一作者 何建軍 男，博士, 講師，1979年生

E-mail: hezhengde8@163.com