內嵌傾斜壓電柱復合材料板的壓電振動特性分析

成建聯， 劉含文， 王　越， 陳　煒(長安大學 公路養護裝備國家工程實驗室，道路施工技術與裝備教育部重點實驗室，工程機械學院，西安　710064)

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內嵌傾斜壓電柱復合材料板的壓電振動特性分析

成建聯， 劉含文， 王越， 陳煒(長安大學 公路養護裝備國家工程實驗室，道路施工技術與裝備教育部重點實驗室，工程機械學院，西安710064)

摘要：針對1-3型內嵌傾斜壓電柱復合板結構，建立壓電復合板結構的有限元模型，并推導出變形關系和形函數;應用拉格朗日方程，建立了單元結構的運動方程。針對不同傾斜角度壓電柱復合板進行有限元仿真分析，研究了復合壓電板的正壓電特性，并對復合壓電板的能量損耗因子進行分析。研究結果表明：在相同壓力下，壓電柱的傾斜角度對復合板的彎曲模態頻率影響較大。隨著壓電柱體傾斜角度的增大，模態頻率降低，彎曲變形增大；同時，傾斜柱體棱長變長，產生電壓增大。懸臂板在壓力作用下，沿寬度方向產生反對稱電勢。在壓電陶瓷柱的傾角達到57°時，損耗因子達到最大。采用內嵌式傾斜壓電柱復合板結構，降低了壓電板的脆性，保證大尺寸壓電板的結構均勻性和應用。

關鍵詞：內嵌傾斜壓電柱；壓電復合板；壓電效應；損耗因子

壓電材料具有正逆壓電效應，即可作為傳感器又可作為作動器，并且具有低質量、寬頻帶,高靈敏度和容易安裝等特點,非常適合于空間結構的振動控制。壓電類智能結構是一個新興的多學科交叉的前沿研究領域,在機器人、航天器、潛水器等領域具有廣闊的應用前景,關于壓電元件的致動與傳感機理的研究在國際上受到廣泛關注。目前已經研制出了0-3型、2-2型、1-3型等多種結構的壓電復合材料。其中1-3型壓電復合材料是由一維的壓電陶瓷柱平行地排列于三維連通的聚合物中而構成的具有壓電效應的兩相壓電復合材料。采用這種方式，壓電陶瓷柱在黏彈性材料中產生剪切和壓縮雙重作用，可以提升復合材料的阻尼作用。這種壓電陶瓷復合材料既可以粘貼在結構表面也可以嵌入在結構的內部用以控制結構的振動。

復合材料的阻尼特性采用壓電陶瓷柱的縱向應變調整來控制，用以提高能量的耗散和控制系統的動力學行為。1-3型壓電復合材料由于在某種程度上克服了純壓電陶瓷在強度、脆性方面的缺陷，同時大大增大了其在縱向的耦合系數。有限元分析方法的應用也使壓電陶瓷在理論方面分析大大加強。Tzou等[ 1 ]提出了一種包含電勢自由度的壓電有限元模型,并采用該有限元模型分析了一個具有分布式壓電傳感器和作動器平板的動力學性能。Ha等[2]利用8節點三維體單元,研究了承受力學和電載荷的包含分布式壓電陶瓷片的層狀復合結構的動力學和靜力學問題。Hauke等[3]采用有限元方法模擬了1-3型壓電復合材料的性能并和實驗數據進行了比較分析。Hossack等[4]用有限元方法分析了1-3 型壓電復合材料中壓電柱為方形、圓柱形、三棱柱時機電耦合系數及其波速特性，得到了壓電柱在幾何界面不同情況下的等效機電耦合系數及等效波速曲線。Reynolds等[5]采用有限元的方法結合實驗數據分析了1-3 型壓電復合材料陶瓷柱的高頻徑向諧振，結果證明陶瓷柱間的諧振模式是由于拉姆波(Lamb waves)通過柱間的聚合物傳播而形成。Steinhausen[6]用有限元模型分析了1-3 型壓電復合材料，在不同陶瓷相含量和不同纖維分布模式下的等效彈性常數、電場參數，并與實驗值和理論值進行了比較，經過一定的修正就可以按所需的參數設計1-3型壓電復合材料的模型。Arafa等[7]研究了1-3型壓電復合材料用于梁的非線性行為的控制，得到較好的減振效果。

壓電復合材料在國內受到很多學者的廣泛關注，對壓電復合材料理論和工藝方面的研究也開展得比較廣泛。仲林建等[8]研究了1-3 型壓電復合材料各性能參數隨PZT體積比變化的曲線、通過有限元軟件對1-3型壓電復合材料進行了振動模式分析，包括壓電材料振動的共振、反共振頻率、諧振動以及靜水壓分析，利用割模-澆鑄法制作了1-3 型壓電復合材料，并對其性能進行了測試及分析。李莉等[9]根據Chan的1-3型復合材料理論模型和Newnham的復合材料串并聯理論,提出了一種用于計算新型1-3-2型壓電陶瓷/聚合物復合材料的介電常數和壓電常數的理論模型。并進行了實驗與理論分析對比，具有較好的符合精度。周勇等[10]進行了壓電復合材料層合板彎曲變形及脫粘損傷的有限元分析，提出的四節點壓電復合材料層合矩形板彎曲單元,對表面粘貼有壓電驅動器的復合材料層合板在外加電場和外載荷作用下的彎曲變形進行了分析。在大量的研究工作中，1-3型壓電復合材料大多數采用的是垂直壓電陶瓷結構與聚合體之間的復合，這種結構往往主要考慮壓縮應變[11]。

本文針對板殼型結構, 研究了使用壓電復合材料的自適應結構的振動控制。建立傾斜壓電陶瓷柱復合材料板的三維有限元模型，考慮壓電陶瓷與聚合體之間的耦合效應，得出單元的運動方程和能量耗散因子。通過數值模擬，研究壓電復合板的壓電振動特性和能量耗散因子，即結構參數對壓電復合材料板阻尼特性的影響，體現壓電復合板用于結構振動控制的有效性。

1壓電復合材料板的有限元模型

1.1模型與變形關系

圖1為復合壓電材料板的單元模型，壓電陶瓷與z方向的夾角為β，壓電復合材料板為薄板，用u,v,w分別表示x,y,z方向的位移，θx和θy分別表示板沿x和y方向的角位移。下標1、2、3分別表示上、中、下各層結構。假設底板和上覆板的中面不產生變形，復合板在彎曲時厚度的變化忽略不計；壓電陶瓷和上下板在變形時無能量損失；聚合體為線性黏彈性材料且縱向應力忽略不計?？紤]結構能耗的剪切彈性模量表示為G=G*(1+iη)，其中G*為剪切貯能模量，η為耗能因子。所有的各層被牢固地黏接在一起，不存在松動現象。

根據變形關系，板的角位移為：

(1)

圖1　壓電復合材料板的單元模型Fig.1 Finite element model of piezoelectrical composite

圖2　壓電復合材料板單元的幾何變形Fig.2 Geometric distortion of piezoelectric composite plate element

對于壓電復合材料板單元，上、下板的運動參數沿縱向、橫向和轉動方向發生運動，如圖2所示變形過程。壓電陶瓷聚合體沿中面的剪切變形可以表示為：

y方向：

x方向：

式中，下標x和y表示對各自的偏微分、考慮到壓電聚合體相對于板后較薄，假設壓電聚合體的橫向位移w2沿厚度方向線性變化，可表示為:

(4)

1.2單元自由度和形函數

考慮采用四邊形單元，每個單元有4個節點，對每個節點采用10個自由度進行描述，上下兩層板的中點分別用兩個縱向、一個橫向和兩個角轉動位移表示，如圖3所示。

圖3　復合材料單元節點自由度Fig.3 Freedom degree of the composite material node

采用多項式表示縱向和橫向的位移如下：

(5)

考慮扭轉位移，綜合式(5)得到

{u1v1u3v3w1θx1θy1w3θx3θy3}T=

[P]{a}T

(6)

式中，[P]=[1xyx2xyy2x3x2yxy2y3x3yxy3]，{a}={a1a2a3…a40}T。

通過式(5)可以表示節點的自由度矢量為：

{δe}=[C]{a}

(7)

式中,[C]為系數矩陣。應用式(6)和式(7)，得到

{u1v1u3v3w1θx1θy1w3θx3θy3}T=

[P][C]-1{δe}=[A]{δe}

(8)

式中,[A]稱為形函數矩陣。為了便于計算，將矩陣[A]的十列作為10個矢量，用來表示節點自由度矢量。于是就有

u1={A1}{δe},v1={A2}{δe}

u3={A3}{δe},v3={A4}{δe}

w1={A5}{δe},θx1={A6}{δe}

θy1={A7}{δe},w3={A8}{δe}

θx3={A9}{δe},θy3={A10}{δe}

(9)

壓電聚合體層的橫向應變可以表示為

(10)

橫向剪切應變也可表示為

(11)

(12)

綜合式(10)～式(12)，可以得到壓電聚合體的應變矢量{S}為

(13)

2結構單元運動方程

2.1上、下層板的應變能

上、下層板的應變能由彎曲、扭轉和拉伸三部分產生的應變能組成。根據彈性理論，由彎曲和扭轉產生的應變能可表示為

UB+UT=

(14)

式中，E和μ分別表示彈性模量和泊松比。用式(9)，上述公式可以表示為

2μ1{A5,yy}T{A5,xx}+{A5,yy}T{A5,yy}+

2(1-μ1){A5,xy}T{A5,xy}]dxdy{δe}+

2μ3{A8,yy}T{A8,xx}+{A8,yy}T{A8,yy}+

2(1-μ3){A8,xy}T{A8,xy}]dxdy{δe}

(15)

上、下層板在應力作用下產生的應力-應變關系為

(16)

{σ}=[D]{ε}

(17)

則應變能可以表示為

(18)

將式(16)和(17)代入式(18)，得

(19)

將式(19)擴展開來，可以得到

(20)

將式(9)代入式(20)，得到

2μ1{A2,y}T{A1,x}+{A2,y}T{A2,y}+

(21)

式中，{A1,y;2,x}={A1,y}+{A2,x},{A3,y;4,x}={A3,y}+{A4,x}。

2.2壓電陶瓷聚合體應變能

根據Yang[12]得出的壓電陶瓷聚合體的本構關系:

{T}=[R]{S}-g0ggggggEz

(22)

式中，{T}表示應力，{S}表示應變，[R]為系數矩陣，g0gggggg為位移，Ez為電場。壓電聚合體單元的應變能表示為

(23)

將式(22)代入式(23)可得

Ez{R}-1g0ggggggEz]dV=

(24)

從式(24)可以看出，壓電聚合體的應變能由正應變、剪切應變能，能量耗散和電場做功三部分構成。

壓電復合層板單元的總應變能為

(25)

式中，[Ke]為單元的剛度矩陣，其表達式為

(26)

2.3壓電復合材料板單元的動能

單元的動能可以為

(27)

式中，ρ為各層材料的密度，壓電聚合體層的密度為ρ2=ζcρc+(1-ζc)ρp，ζc為壓電陶瓷所占的百分比，ρc和ρp分別為壓電陶瓷和聚合體的密度。由式(9)可以將動能表達式簡寫為：

(28)

式中，[Me]為質量矩陣，其表達式為

{A4}T{A4}+{A5}T{A5}]dxdy+

{A5}T{A8}+{A8}T{A8}]dxdy

(29)

2.4單元運動方程

系統的拉格朗日方程

(30)

式中，

(31)

求式(30)中的各項，其結果如下：

(32)

(33)

因此，可以得出單元的運動方程為

(34)

式中，{Fe}表示由壓電陶瓷聚合體單元產生的力和力矩矢量，其表達式為

(35)

最終，可以得到壓電復合材料板單元的運動方程為

(36)

如果考慮不同的結構單元、邊界條件和控制策略，可以將運動方程式(36)應用于整個壓電復合材料層板系統。其運動方程可以表示為

(37)

采用式(37)可以預測結構在開環或閉環控制作用下的動態響應。在閉環控制時，電場Ez需要根據反饋控制作用下的位移大小來確定。電場能被表示為

Ez=-{Kg}{δ}=-gds{C}{δ}

(38)

式中，{Kg}為增益矩陣，gd為微分控制增益系數，s為拉氏算子，s=iω。系統的運動方程可以表示為

(39)

則系統的有效剛度為

[Keff]=[K]+{f}(gdiω){C}

(40)

因此，系統總的能量可以表示為

(41)

其中壓電復合體儲存能量耗散系數η定義為

(42)

考慮損耗系數并結合壓電復合材料本構關系，可以確定結構設計參數，并根據最大能量耗散特性可以對參數進行優化設計。

3仿真分析

3.1材料選用與邊界條件

為了解內嵌壓電陶瓷板的壓電特性，采用100 mm×20 mm×7 mm，頂板和底板之間的距離為5 mm。壓電柱采用2 mm×2 mm的方柱，柱之間的間隔為4 mm，傾斜角度β在0°～90°變化，頂板作用0.1 MPa的壓力，壓電材料選用常用的PZT-5H，上下板之間采用聚合體—軟性聚丙烯填充，密度為0.86×103kg/m3。壓電板采用懸臂結構，忽略非線性因素，其邊界條件為：在y=0處，u=v=w=0，θx=θy=0；在z=1 mm處，V=0；并且電場Ex=Ey=0，在xy，xz平面剪切應變為Sxy=Sxz=0；同時考慮聚合體與陶瓷柱，在yz平面具有相同的剪切應變，在z方向具有相同的電場，在y方向電位移均為零。選用材料特性如表1、表2所示。

3.2分析結果

根據節點的位移變化，用以區分橫向振動、面內振動和扭曲振動。圖4所示為懸臂板的模態頻率，從表中可以看出，板沿厚度方向的1階、3階和6階橫向振動模態頻率隨著壓電柱的傾斜角度增大而逐漸降低，頻率越高降低幅度越大；而沿板的寬度方向面內振動和扭曲振動，壓電柱的傾角影響不大。

圖5是針對板長方向在力的作用下位移的變化曲線，圖中顯示出隨著壓電柱傾斜角度的增加，同一位置點處懸臂板的位移變形也在增大，但其變化的幅度相對較小。圖6顯示壓電柱沿其棱邊的高度方向在力的作用下產生電勢的變化，由于受傾斜影響，壓電柱的棱長各不相同，角度越大，棱邊越長，其產生的最大電壓越高，沿棱柱長度呈現非線性變化。圖中顯示現象可解釋為，零電位點確定為中間平面，材料沒有發生應變，中間平面在棱柱中點偏下位置。在中間平面下部，壓電陶瓷柱承受剪切和受壓，產生負電壓，數值變化較小，同時各角度棱柱中間平面距離底面高度變化較小，使最大應變位置和對應的反轉點位置變化較小；而在中間平面上部，隨著傾斜角度的加大，棱柱的邊長加長，壓電陶瓷柱承受剪切和拉伸作用比較明顯，產生正電壓，應變和系數值比較大，使電壓數值變化較大，同時，最大應變位置點距離中間平面位置變高，相對應的正壓反轉點也變高。

表1　壓電柱材料的物理特性

表2　軟性聚丙烯材料物理特性

圖4　不同傾角壓電柱下板的模態特征頻率Fig.4 Modal frequency of plate with different incline angle piezo-pillar

圖5　壓電懸臂板沿長度方向的位移變化Fig.5 The displacements of piezoelectric cantilever plate along the direction of length

圖6　壓電柱沿棱柱高度的電勢變化Fig.6 Electric potential of piezo-pillar along height of side

圖7　沿板的寬度方向壓電柱側棱的電勢對稱變化Fig.7 Symmetrical electric potential of piezo-pillar along the width direction of plate

在仿真分析過程中發現有趣的現象，就是對由內嵌傾斜四棱柱復合板，在壓力作用下，板的兩邊在棱柱上產生反對稱的電勢(如圖7、8所示)，沿著板的寬度方向，產生的電勢呈現對稱狀態。也就是說，在板寬度方向的中面上，其電勢為0。這是由于在x方向剪切應變導致的結果，而在中面位置的剪切應變為零。因此，對于這種復合結構的壓電板在使用時需要注意此特征，以確定電極的連接位置。并且通過多尺寸仿真分析，隨著板的寬度增大，復合板的抗彎剛度增大，相同長度位置處，板邊沿的傾斜棱柱產生的電勢越低。根據板的彎曲特點，在其長度方向，越靠近端部，其應力越小，其產生的電勢也越小，體現了壓電材料在力的作用下產生電勢的特性，其電勢的產生主要依靠剪切和壓縮的共同作用，端部只有壓縮作用，因此，電勢也越低。分析可知，在其端部壓電柱的最大電勢僅有5 mV。

圖8　在壓力作用下壓電復合板產生的電勢云圖Fig.8 Electric potential contour of composite plate under pressure

圖9是壓電柱傾斜角度對壓電復合板的損耗因子影響變化曲線，圖中顯示在三種不同控制增益下損耗因子的變化曲線，其增益考慮其無量綱化,Gd=gdω/L，取Gd={1010,5×1010,1011}。從圖中數據顯示，在現有結構下壓電陶瓷柱的傾斜角度達到57°時，損耗因子達到最大，在這個角度下，由于壓縮和剪切的綜合作用，使總的能量損失達到最大。傾斜角度在小于20°范圍內，損耗因子變化較小，在超過最大值后，損耗因子隨著傾斜角度的增大快速下降。在增益為1011下，θ=0°時壓電柱承受純壓縮作用，這時的損耗因子約為0.154；θ=90°時壓電柱承受純剪切作用，損耗因子約為0.077，而綜合作用下損耗因子最大約為0.205。從圖中三種增益控制顯示，增益越大能量損耗也隨之增大。

4結論

(1) 應用拉格朗日方程，建立內嵌傾斜壓電柱體復合板的有限元模型，結合壓電陶瓷本構關系，得出單元的剛度矩陣[Ke]和質量矩陣[Me]的表達式，得到復合材料板單元的運動方程。

(2) 壓電復合板沿板厚方向的模態頻率隨著壓電柱傾斜角度的增大而降低，而側向振動的模態頻率幾乎不受影響。

(3) 在同樣作用力下，壓電柱的傾斜角度越大，其抵抗變形的能力越差。在壓力作用下，壓電復合板的壓電棱柱沿厚度方向產生反對稱電動勢，棱柱距離中間平面越遠，其產生的電勢越高。

(4) 能量損耗受壓電柱傾斜角度和控制增益的影響，隨著增益的增大，損耗因子變大。數值模擬結構的最大損耗因子發生在壓電柱傾斜角度57°處。通過結構參數設計可以有效控制壓電復合陶瓷板的阻尼。

(5) 本文采用此結構形式的壓電復合板，作為一種新結構壓電復合材料，在使用上與常規的壓電板沒有差異。采用傾斜棱柱結構，傾斜角在一定的數值范圍內復合板壓電性能優于傾斜角零度(垂直柱)的結構。但新結構使柱面只受垂直壓力變為同時受垂直壓力和切向力，從而增加了復合板正向和切向被破壞的風險；此外，傾斜結構使高度增大的尺寸轉化為橫向增大,這樣占用空間并未減少，而使結構穩定性變差。

總之，本文提供了一種能權衡壓電效率和負面影響綜合結果的壓電板結構設計途徑。

參 考 文 獻

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Analyzing characteristics of composite-plate-embedded sloping piezoelectrical pillars

CHENGJian-lian,LIUHan-wen,WANGYue,CHENWei(Highway Maintenance Equipment National Engineering Laboratory, Key Laboratory of Road Construction Technology and Equipment Ministry of Education, School of Construction Machinery, Chang’an University, Xi’an 710064, China)

Abstract:Piezo-composite plate consists of 1-3 type piezoelectrical pillars that are obliquely embedded in a viscoelastic soft polypropylene matrix.The finite element model (FEM) is developed to investigate the positive piezoelectrical properties and the energy-dissipation characteristics of active piezoelectric composites.The strain vectors and shape functions of composite plates are derived from the displacement relations.The motion equations of elements were obtained by using Lagrange’s equation.The loss factor is expressed by the ratio of the dissipation of the stored energy.The effects of the sloping angle of the piezoelectric pillars on the positive piezoelectric properties are shown.The bending mode frequencies and deflections and the positive potentials are analyzed.The antisymmetrical potential appears along the width of a composite plate under pressure.The loss factor of the composite plate is presented for the effect of the sloping angle of the piezoelectric pillars and the control gains considered.The results indicate that the loss factor reaches its maximum at an angle of 57 for the different control gains, and effectively high loss factors may be attained by proper selection of the design parameters of the composite plate.Using the composite plate-embedded sloping piezoelectric pillar can decrease the brittleness of the piezoelectrical plate and ensure homogeneity as well as the application of a larger piezoelectrical composite plate.

Key words:embedded sloping piezoelectric pillars; piezoelectrical composite plate; piezoelectric effect; loss factor

中圖分類號:TB381；O326

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.08.030

收稿日期：2015-01-14修改稿收到日期：2015-03-23

基金項目：國家留學基金委資助項目(201306565032)

第一作者 成建聯 男，博士，副教授，1969年9月生