二維晃動自然頻率與阻尼比系數的試驗識別

王立時， 李遇春， 張　皓(同濟大學 土木工程學院，上海　200092)

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二維晃動自然頻率與阻尼比系數的試驗識別

王立時， 李遇春， 張皓(同濟大學 土木工程學院，上海200092)

摘要：液體的晃動模態(自然頻率、振型與阻尼比系數)是貯液結構設計以及振動控制的重要參數。在液體晃動的模態試驗中，需要激發液面的模態運動，但液面的對稱模態運動一般較難激發出來，使得對稱模態參數(特別是阻尼比系數)難以精確識別。采用參數激振的方法對矩形、U形和圓形截面容器進行豎向激振，容易激發出液體表面的前四階模態(包括對稱模態)運動，撤除激勵后液體表面按某一特定的振型作自由衰減振動，通過激光測量液體表面波高的自由衰減曲線，從而精確得到液體晃動的自然頻率與對應的阻尼比系數，測得晃動頻率與理論頻率結果吻合良好，表明該試驗識別方法有效。

關鍵詞：二維晃動；參數振動；實驗；液體；模態參數

液體晃動問題在工程領域中十分常見，是一種非常復雜的流體運動現象，它會對載體運動產生重要影響，例如：攜帶液體燃料的航天或航空器，當液體晃動時可能對航天或航空器的正常飛行產生影響；又如：大型儲液罐在地震作用下，會引起液體的強烈晃動，由此可能造成儲液結構的破壞。考慮液體晃動所帶來的不利影響是結構系統設計所必須考慮的重要問題，而液體晃動的模態參數(頻率、振型、阻尼系數)是結構系統設計以及晃動控制的重要依據，因而液體晃動的模態識別具有重要的工程意義。

晃動的模態識別包括理論與實驗兩個方面。Dodge等[1-3]在他們的專著中對液體晃動模態的一般理論及工程應用進行了全面而系統的闡述，對于一些幾何不規則的容器，模態的理論求解會遇到較大的困難，而且液體計算理論中的一些假設往往與實際情況有差別，理論計算的結果需要實驗驗證，因此液體晃動的實驗模態識別對于理論與實際工程而言都極為重要。相對于液體晃動的理論研究而言，晃動的實驗研究相對要少得多，夏益霖等[4-5]采用理論與試驗的方法研究了液體等效力學模型的參數。王為等[6]對半球形容器中液體自由晃動的非線性行為進行了實驗研究。

對于任意形狀(截面)的二維晃動問題，Hasheminejad等[7]采用保角映射的方法研究了半橢圓截面內液體晃動模態的求解方法，但其計算公式只能適合半橢圓容器。最近Li等[8]基于Ritz方法提出了一個針對任意截面內的二維晃動自然頻率的簡單近似解析方法，與其它解析與數值解的誤差在5%的范圍內，但這個方法無法得到可靠的振型。為了得到更高精度的晃動頻率及振型，李遇春等[9]針對一般二維晃動問題，提出了一個統一Ritz計算方法來識別晃動模態。然而模態分析的理論結果仍需要實驗驗證，且液體晃動的阻尼一般也需要實驗來確定。

液體的模態識別需要激發液面的晃動，然后通過對液面運動的測量來確定模態參數，在實驗中液面的反對稱模態通常比較容易激發出來，而純粹的對稱模態比較難以激發出來，本文擬采用參數激振的方法對三種不同容器進行豎向激振，可容易激發出液體表面的前幾階反對稱與對稱晃動模態，撤除激勵后液體表面按某一階模態作自由衰減晃動，從而可以較精確地測量晃動的頻率與對應的阻尼比系數。本文的模態試驗識別方法可供相關的液體晃動研究參考。

1實驗裝置與模型

如圖1所示，本文實驗裝置由激振器(HEV-1000)、信號發生器(SPF05A)、功率放大器(HEA-1000)、加速度計(LC0115 SNW121)、動態信號分析儀(IOTECH 650U)、激光位移傳感器(SUNX-ANR 1215)、數據采集儀(INV306U-A)以及數據分析儀(INV306U)組成，試驗模型為有機玻璃制作的貯液容器，固定安裝在激振器上。

實驗時，首先由信號發生器產生一個正弦信號，該信號經由功率放大器放大，然后傳送給激振器，從而驅動激振器，給貯液容器(含水)施加一個豎直方向的正弦加速度，容器的豎直加速度由加速度計采集，通過動態信號分析儀進行分析后再由計算機記錄下來，激光位移傳感器固定在容器上，用于測量液體自由表面的波高隨時間的變化歷程，激光信號通過數據采集儀、信號分析儀以及電腦監測與記錄。

圖1　晃動實驗裝置簡圖及設備Fig.1 Experiment diagram and devices

實驗所用模型為扁平狀容器，以模擬液體二維晃動，圖2顯示三種不同截面形式的實驗模型，分別是矩形、圓形和U形容器。矩形容器的內寬為200 mm，圓形容器的內半徑為125 mm，U形容器的底部內半徑為100 mm，三個容器內腔厚度均為20 mm。容器內的水深因實驗工況而有所不同。試驗水體中加入了微量的白色染料，以使液體自由表面能反射激光傳感器所發射的激光，染料對液體動力學特性的影響很小，可忽略不計，此外，液體中加入了少許清潔劑，以減小液體表面張力對晃動的影響。

圖2　三個試驗容器Fig.2 Three test tanks

2自由液面波高、頻率與阻尼的測量

首先采用近似理論方法[8]，近似估算各種不同形狀容器中液體的前四階晃動自然頻率f0j(j=1,2,3,4)，然后對試驗模型進行主參數激振[2]，即把激振頻率調整為fexitation≈2f0j，這時容器內的液體會發生第j階模態的主參數晃動(共振)，然后停止激勵，液體表面將以第j階模態作自由衰減運動，根據這個自由衰減運動的時程曲線就可得到第j階晃動自然頻率及阻尼比系數。

晃動的波高可由固定在容器上的激光位移傳感器測量，一個典型的實測波高時程響應曲線見圖3，波高曲線可包括三部分：① 參數失穩過程，② 穩態響應，③ 停止激勵后的自由衰減過程。其中第①部分可用于研究參數晃動的不穩定性質，第②部分用于研究參數晃動的極限環運動(非線性晃動)，關于第①、②的研究將另文討論。第(3)部分為波高自由衰減曲線，這一部分的測量結果可用于識別晃動的自然頻率及阻尼比系數。

需要說明的是，根據參數晃動理論[2]，對于某一固定幅值的激勵加速度，在(激振頻率=2×自然頻率)附近的一個激勵頻率范圍內(即：不穩定區域內)均可激發出液體的第j階模態的主參數晃動，因此只要理論估計的頻率f0j與實際自然頻率相差不是太大，通常可容易地激發出第j階模態的主參數晃動，采用現有的近似理論方法(如文獻[8]的方法)得到的近似自然頻率完全滿足實驗的計算精度需求。當發生參數晃動時，這時激勵頻率嚴格等于二倍的液面晃動響應頻率，液面穩態響應幅值較大(見圖3的第②部分)，呈現一種常見的非線性特征，即：(上部)波峰的幅值明顯大于(下部)波谷的幅值，這時液面晃動響應頻率一般情況下并不等于自然頻率，當停止激勵后，液面按其第j階振型作自由衰減運動，當液面晃動幅值逐步減小趨于線性時，液面的晃動頻率會略有改變，趨向于(線性)自然晃動頻率。

從圖3可以看出，自由衰減曲線前一部分晃動振幅較大，在實驗數據處理中，為了去掉波形的非線性影響，以獲得較精確的晃動自然頻率與阻尼比系數ζ，可在衰減曲線中截取一段振幅較小(線性)的時間段(見圖4，波峰與波谷的幅值大致相同)進行數據處理，通過對該段衰減曲線進行FFT變換，就可容易得到晃動的自然頻率，而阻尼比系數可由下式估計：

(1)

式中：h1及hN+1分別為第1及N+1個振動循環的波高，見圖4所示。

圖3　典型的實測波高時程響應Fig.3 A typical measured time-history response of wave-height

圖4　實測波高自由衰減曲線Fig.4 A measured free-decay curve of wave height

3晃動模態的試驗結果

3.1矩形容器實驗結果

圖5為水深h=120 mm，容器半寬a=100 mm的矩形容器前四階晃動模態。實驗按照上述步驟測出了矩形容器內液體的前四階晃動頻率，每階晃動模態測得六組頻率值，求得平均晃動頻率，將實驗結果列于表1，同時將文獻[9]Ritz方法得到的計算結果也列于表1進行對比，從表中看出實測頻率與預估的理論頻率最大相對誤差為2.31%，預估頻率與實際頻率吻合良好。將每階模態自由晃動的平均阻尼比系數也列于表1，可以看到阻尼比總體上隨模態階數的增加而略有增大。

圖5　矩形容器內前四階晃動模態Fig.5 The first four sloshing modes in rectangular tank

階數激振頻率/Hz實測頻率/HzRitz方法/Hz阻尼比系數/%13.761.8881.9302.0125.472.7282.7912.3836.663.3973.4202.3547.833.9403.9492.71

3.2圓形容器實驗結果

圖6為水深h=160 mm，容器半徑R=125 mm的圓形容器前四階晃動模態。實驗按照上述步驟測出了圓形容器內液體的前四階晃動頻率，每階晃動模態測得六組頻率值，求得平均晃動頻率，將實驗結果列于表2，同時將文獻[9]Ritz方法得到的計算結果也列于表2進行對比，從表中看出實測頻率與預估頻率最大相對誤差為4.76%，實驗與理論結果吻合良好。將每階模態自由晃動的平均阻尼比系數也列于表2，可以看到阻尼比系數比較分散。

圖6　圓形容器內前四階晃動模態Fig.6 The first four modes in circular tank

階數激振頻率/Hz實測頻率/HzRitz方法/Hz阻尼比系數/%13.341.6811.7652.5324.922.5172.5472.7436.013.0873.1222.1447.003.5133.6052.40

3.3U形容器實驗結果

圖7為水深h=115 mm，容器半徑R=100 mm的U形容器前四階晃動模態。U形容器內液體的前四階晃動頻率的實驗與理論預估值列于表3，從表中看出實測頻率與預估頻率最大相對誤差為2.65%，兩個結果吻合良好。將每階模態自由晃動的平均阻尼比系數也列于表3，可以看到阻尼比總體上隨模態階數的增加而略有增大。

圖7　U形容器內前四階晃動模態Fig.7 The first four modes in U-shaped tank

階數激振頻率/Hz實測頻率/HzRitz方法/Hz阻尼比系數/%13.621.8491.8982.1025.342.7322.7812.2036.613.3453.4182.2647.753.8753.9492.37

4結論

本文制作了矩形、U形和圓形容器，利用參數振動的原理，激發各階穩定晃動模態后撤除加載，從而測量不同容器內液體各階自由晃動頻率與阻尼比系數，測得晃動頻率與Ritz方法得到的頻率值進行了比較，實驗與理論結果吻合良好，實驗結果令人滿意。限于實驗條件的限制，本文沒有給出液面晃動振型的測量結果，在實驗條件允許的情況下，仍可采用本文的方法，布置多個激光位移傳感器同時測量液面的晃動，可容易獲得液體自由表面的振型曲線。

致謝：本文工作得到了王莊博士的協助，特此致謝。

參 考 文 獻

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WANG Wei, XIA Heng-xin,LI Jun-feng,et al. Experimental investigation on the nonlinear phenomenon of liquid free sloshing in a hemisphere container[J].Journal of Tsinghua University,2008,48(11):1833-1836.

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LI Yu-chun, ZHANG Hao. A unified Ritz algorithm for two-dimensional slosh modes[J].Journal of Vibration and Shock,2014,33(19): 85-89.

Experimental identification for the natural frequencies and damping ratios of two-dimensional sloshing

WANGLi-shi,LIYu-chun，ZHANGHao(College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract:The modal parameters of sloshing fluid are essential to the design of liquid tanks and vibration control.In the modal experiment of fluid sloshing，the modal motions of free liquid surface should be excited.However, the symmetric-mode motions of free surface are difficultly stimulated, therefore the modal parameters (especially for the damping ratios) of the symmetric modes cannot be accurately measured.This paper applied parametric vibration method to excite two-dimensional (parametric) sloshing in rectangular, U-shaped and circular tanks.The first four mode motions (including the symmetric-mode motions) of free surface were easily aroused.After stopping the external excitation, a free damped-vibration response of a certain mode on the free liquid surface could be obtained with the laser displacement sensor.The sloshing natural frequencies and the corresponding damping ratios were precisely obtained.The experimental and theoretical frequency results agree well, which validates the present experimental method.

Key words:two-dimensional sloshing; parametric vibration; experiment; liquid; modal parameter

中圖分類號:O353.1

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.08.027

通信作者李遇春 男，博士，教授，博士生導師，1962年2月生

收稿日期：2014-11-27修改稿收到日期：2015-04-21

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51279133)

第一作者 王立時 男，博士生,1987年9月生