界面掀起和軸力對(duì)組合梁動(dòng)力彎曲特性的影響

楊　驍， 李曉偉， 汪德江(上海大學(xué) 土木工程系，上海　200072)

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界面掀起和軸力對(duì)組合梁動(dòng)力彎曲特性的影響

楊驍， 李曉偉， 汪德江(上海大學(xué) 土木工程系，上海200072)

摘要：考慮組合梁界面的法向/切向部分相互作用以及各子梁軸力的二階效應(yīng)，利用Hamilton原理得到了位移描述的Euler-Bernoulli組合梁非線性動(dòng)力彎曲及一階近似的初邊值問(wèn)題，并應(yīng)用微分求積法研究了考慮界面法向/切向部分相互作用組合梁的臨界荷載和固有頻率。在通過(guò)與已有解析解和有限元結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證本文微分求積法正確性和適用性的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了參數(shù)分析，研究了組合梁界面剛度對(duì)組合梁動(dòng)力特性和穩(wěn)定性的影響以及軸力對(duì)組合梁固有頻率的影響。數(shù)值結(jié)果表明：組合梁的固有頻率與臨界荷載隨界面剛度的增加而增加，并逐步趨于完全作用組合梁的固有頻率與臨界荷載；當(dāng)軸向壓力逐漸增加并趨于臨界載荷時(shí)，組合梁的一階固有頻率逐漸減小并趨于零，并且臨界載荷隨法向和切向剛度的增加而增加。

關(guān)鍵詞：組合梁；穩(wěn)定性與動(dòng)力特性；界面滑移和掀起；二階效應(yīng)；微分求積法

目前，由兩種不同材料子梁構(gòu)成的組合梁，如鋼-混凝土組合梁、鋁-塑組合梁和CFRP板-混凝土組合梁等[1-2]已廣泛應(yīng)用于各種新建或既有建筑結(jié)構(gòu)加固改造等工程中，這些組合梁可充分發(fā)揮兩種材料的優(yōu)勢(shì)，形成強(qiáng)度高、剛度大、自重輕、延性好的結(jié)構(gòu)形式[3]，具有顯著的經(jīng)濟(jì)效益。

早期，在組合梁界面無(wú)相對(duì)水平滑移和豎向掀的假定下，可采用截面換算剛度法分析組合梁的彎曲變形，即界面完全相互作用的組合梁分析。然而，由于組合梁剪力連接件(如栓釘、彎筋等)的變形，通常組合梁界面存在水平滑移和豎向掀位移，導(dǎo)致截面換算剛度法不能準(zhǔn)確刻畫(huà)組合梁的彎曲變形，其計(jì)算結(jié)果偏于不安全，為此，考慮組合梁界面滑移效應(yīng)，即界面部分相互作用，Newmark等[4]首先建立了界面部分作用組合梁彎曲變形的一維數(shù)學(xué)模型，得到了較嚴(yán)密的界面部分作用組合梁彎曲數(shù)學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，考慮界面滑移效應(yīng)部分作用組合梁的力學(xué)性能得到了深入廣泛的研究[5-13]。

對(duì)于組合梁的界面掀起效應(yīng)，Adekola[14]首次推廣Newmark模型，以界面豎向力和界面剪力為基本未知量，研究了考慮界面滑移和掀起效應(yīng)的鋼-混凝土組合梁彎曲變形，而Ranzi等[15]建立了界面滑移和掀起共同作用組合梁小撓度彎曲的邊值問(wèn)題，并利用有限元法研究了組合梁界面部分作用對(duì)其撓度的影響。Gara等[16-17]建立了組合梁的一種新型位移有限元法，數(shù)值研究了剪力連接件剛度以及組合梁溫度分布對(duì)界面縱向滑移和豎向掀起位移的影響，給出了剪力連接件的破壞準(zhǔn)則。Kroflic等[18]則研究了幾何非線性對(duì)組合梁界面滑移和豎向掀起的影響，而Chakrabarti等[19-21]則研究了高階組合梁的界面滑移和掀起效應(yīng)。

可見(jiàn)，盡管組合梁力學(xué)性能研究日趨完善和豐富，但考慮界面縱向滑移、豎向掀起以及軸力二階效應(yīng)共同作用組合梁彎曲動(dòng)力特性的研究并不豐富。為此，本文基于Euler-Bernoulli梁的變形假定，研究組合梁界面切向抗剪剛度、法向抗拉剛度以及軸力二階效應(yīng)等對(duì)其彎曲動(dòng)力特性和失穩(wěn)臨界載荷的影響。首先，將組合梁界面的剪力連接件等效為具有縱向和豎向剛度的分布彈簧，基于Hamilton原理，建立了以組合梁子梁軸線水平位移和豎向撓度為基本未知量的組合梁非線性動(dòng)力彎曲及其一階近似的控制方程，給出了邊界條件的嚴(yán)格提法。其次，本文首次給出了組合梁自由振動(dòng)與穩(wěn)定性分析的微分求積法公式，并驗(yàn)證了其正確性和有效性。最后，數(shù)值分析了組合梁界面抗剪和抗拉剛度、軸力以及子梁彈性模量比等對(duì)其固有頻率的影響，研究了組合梁臨界載荷與組合梁界面抗剪和抗拉剛度的依賴(lài)關(guān)系。

1非線性初邊值問(wèn)題

如圖1所示，設(shè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的組合梁由不同材料的子梁Ⅰ和子梁Ⅱ通過(guò)剪力連接件連接而成。子梁Ⅰ的上表面和子梁Ⅱ的下表面分別承受橫向載荷qⅠ(x)和qⅡ(x)的作用，其中，子梁Ⅰ的彈性模量為EⅠ，橫截面面積和形心軸慣性矩分別為AⅠ和IⅠ，形心到底面的距離為rⅠ，高為hⅠ；子梁Ⅱ的彈性模量為EⅡ，橫截面面積和形心軸慣性矩分別為AⅡ和IⅡ，形心到頂面的距離為rⅡ，高為hⅡ。為簡(jiǎn)化分析和計(jì)算，將連接子梁Ⅰ和子梁Ⅱ的剪力連接件等效為子梁Ⅰ與子梁Ⅱ連接界面處的連續(xù)分布彈簧，且記彈簧的水平抗剪剛度和豎向抗拉剛度分別為Kx和Ky。

圖1　組合梁模型Fig.1 Model of a composite beam

假定子梁Ⅰ和子梁Ⅱ?yàn)榫鶠榫€性彈性體，且其變形滿足Euler-Bernoulli梁假定，即子梁Ⅰ和子梁Ⅱ的橫截面在變形后仍保持為平面，并垂直于各自子梁變形后的軸線，且忽略剪切變形。

如圖1所示建立坐標(biāo)系oxy，記子梁Ⅰ和子梁Ⅱ軸線的水平位移分別為uⅠ(x,t)和uⅡ(x,t)，豎向撓度分別為wⅠ(x,t)和wⅡ(x,t)。同時(shí)，記子梁Ⅰ和子梁Ⅱ中任意一點(diǎn)的水平位移和豎向撓度分別為ui(x,y,t)和wi(x,y,t)(i=Ⅰ,Ⅱ)，則由Euler-Bernoulli假定，子梁Ⅰ和子梁Ⅱ中任一點(diǎn)的位移為

(1)

于是，子梁Ⅰ下表面和子梁Ⅱ上表面的位移為

(2)

記Δu(x)和Δw(x)分別為子梁Ⅱ上表面相對(duì)于子梁Ⅰ下表面的水平位移(即界面滑移位移)和豎向位移(即界面掀起位移)，則有

(3)

由于將組合梁的剪力連接件等效為子梁Ⅰ與子梁Ⅱ界面間縱向和豎直剛度分別為Kx和Ky的連續(xù)分布彈簧，則子梁Ⅰ與子梁Ⅱ相互作用的縱向和豎向分布力分別為

qx=KxΔu,qy=KyΔw

(4)

考慮軸力的二階效應(yīng)，則子梁Ⅰ和子梁Ⅱ橫截面上的彎矩MⅠ和MⅡ，剪力FSⅠ和FSⅡ以及軸力FNⅠ和FNⅡ分別為

(5)

對(duì)Euler-Bernoulli梁，忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣性效應(yīng)，則組合梁的動(dòng)能為

(6)

而其應(yīng)變能為

(7)

考慮軸力二階效應(yīng)，則組合梁的外力功為

(8)

(9)

以及邊界條件

i=Ⅰ,Ⅱ

(10)

補(bǔ)充初值條件，就得到考慮界面滑移位移、掀起位移和軸力二階效應(yīng)組合梁靜動(dòng)力彎曲的非線性初邊值問(wèn)題。

2動(dòng)力特性與穩(wěn)定性

2.1穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)方程

(11)

(12)

采用變量分離法，設(shè)

(14)

(15)

2.2微分求積法離散

微分求積法(DQM)是一種求解微分方程的有效數(shù)值方法[22-24]，它利用定義域上節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的加權(quán)求和近似各節(jié)點(diǎn)處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值，這樣可將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，從而簡(jiǎn)化微分方程的求解。

對(duì)于定義于區(qū)間[0,L]的函數(shù)f(x)，設(shè)xi(i=1,2,…,N)為區(qū)間[0,L]內(nèi)的互異節(jié)點(diǎn)，則函數(shù)f(x)在節(jié)點(diǎn)i處n階導(dǎo)數(shù)的微分求積法近似公式為

(17)

將微分求積法的近似公式(17)應(yīng)用于邊值問(wèn)題式(15)和(16)，可得考慮二階效應(yīng)具有界面滑移和掀起位移的組合梁在平衡位置附近自由振動(dòng)的微分求積法近似方程

(18)

(19)

3簡(jiǎn)支組合梁固有頻率的特征方程

(20)

圖2　軸向荷載作用下的簡(jiǎn)支組合梁(cm)Fig.2 A simply-supported composite beam subjected to a axial load(cm)

此時(shí)，邊界條件式(16)化為

(21)

其微分求積法近似公式為

可見(jiàn)，式(18)和(22)共有(4N+12)個(gè)方程，而未知量?jī)H有4N個(gè)，因此，式(18)和(22)存在多余約束方程。為此，考慮到邊界條件(22)，應(yīng)將式(18)中第i=1,N,N+1,2N,2N+1,2N+2,3N-1, 3N,3N+1,3N+2,4N-1,4N個(gè)方程刪除[25]，從而得到封閉線性代數(shù)方程

比如，某房屋發(fā)生火災(zāi)，房屋主發(fā)現(xiàn)時(shí)火勢(shì)處于起步階段可以輕易撲滅，但房屋主聽(tīng)之任之，火勢(shì)迅速蔓延，最終整個(gè)房屋毀損。本次事件中，房屋主發(fā)現(xiàn)火災(zāi)前產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)損失可以認(rèn)定為風(fēng)險(xiǎn)意義上的損失，但之后房屋毀損是其可預(yù)見(jiàn)，可防控的，則不能認(rèn)定為損失。

A(ω，F(xiàn))X=0

(23)

式中，A為4N4N階的系數(shù)矩陣。限于篇幅，這里不給出A具體表達(dá)式。

由式(23)存在非零解的條件得確定簡(jiǎn)支組合梁固有頻率的特征方程

G(ω，F(xiàn))=det[A(ω，F(xiàn))]=0

(24)

若給定軸向壓力F，式(24)關(guān)于ω的根即為簡(jiǎn)支組合梁的近似固有頻率ωi(i=1,2,…)；若令ω=0，則式(24)關(guān)于F的最小根F1即為簡(jiǎn)支組合梁的失穩(wěn)臨界載荷Fcr=F1。

4數(shù)值結(jié)果

4.1數(shù)值驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文微分求積法(DQM)近似解的準(zhǔn)確性和有效性，首先，取軸向壓力F=0，沿梁長(zhǎng)L選取30個(gè)微分求積節(jié)點(diǎn)，利用Mathematica求式(24)的根，從而得到上述無(wú)軸力時(shí)簡(jiǎn)支組合梁微分求積法(DQM)的固有頻率近似解，其結(jié)果列于表1中。同時(shí)，表1亦給出了沈旭棟等[26]基于狀態(tài)空間列式求解方法以及MIDAS有限元軟件的相應(yīng)計(jì)算結(jié)果。其中，MIDAS有限元分析時(shí)沿梁長(zhǎng)選取400個(gè)梁?jiǎn)卧Ｓ杀?可見(jiàn)，微分求積法的前十階近似固有頻率與MIDAS有限元軟件以及沈旭棟等[26]的固有頻率結(jié)果吻合良好，具有足夠的精確度。

表1　簡(jiǎn)支組合梁的前十階固有頻率

下面分析圖2所示簡(jiǎn)支組合梁界面抗剪剛度，抗拉剛度和軸向壓力二階效應(yīng)等對(duì)其固有頻率的影響。

4.2參數(shù)分析

圖3給出了當(dāng)軸向壓力F=0時(shí)，不同水平抗剪剛度Kx下，豎向抗拉剛度Ky對(duì)簡(jiǎn)支組合梁固有頻率前五階ωi(i=1,2,…,5)的影響。可見(jiàn)，對(duì)給定的抗剪剛度Kx，隨著抗拉剛度Ky的增加，固有頻率ωi逐漸增加，最后趨于穩(wěn)定，且低階固有頻率較早達(dá)到穩(wěn)定。

圖4給出了當(dāng)F=0時(shí)，不同的抗剪連接件豎向抗拉剛度Ky下，水平抗剪剛度Kx對(duì)該組合梁固有頻率的影響。從圖4可知，對(duì)給定的抗拉剛度Ky，隨著抗剪剛度Kx的增加，固有頻率亦逐漸增大，最后也趨于穩(wěn)定，且隨著抗剪剛度Kx的增加，低階固有頻率的增加幅度較小，而高階固有頻率增加的幅度較大。

圖3　不同抗剪剛度Kx下抗拉剛度Ky對(duì)固有頻率的影響Fig.3 The influence of the tensile stiffness Ky on the natural frequency for different shear stiffness Kx

圖4　不同抗拉剛度Ky下抗剪剛度Kx對(duì)固有頻率的影響Fig.4 The influences of the shear stiffness Kx on the natural frequency for different tensile stiffness Ky

對(duì)比圖3和圖4可見(jiàn)，相比于抗剪剛度Kx，抗拉剛度Ky對(duì)組合梁固有頻率的影響更為顯著，即隨著抗拉剛度Ky的增加，固有頻率增加更快。同時(shí)，圖3(d)和圖4(d)中的虛線為由截面換算剛度法得到的界面完全相互作用組合梁的前五階固有頻率，可見(jiàn)，當(dāng)組合梁剪力連接件抗剪剛度Kx=5×1010Pa和抗拉剛度Ky=5×1010Pa時(shí)，界面部分相互作用組合梁的前五階固有頻率已非常接近界面完全相互作用組合梁的固有頻率。這是由于當(dāng)組合梁剪力連接件剛度足夠大時(shí)，界面部分相互作用組合梁退化為界面完全相互作用的組合梁，因此，它們的固有頻率幾乎相等。

圖5　不同抗剪剛度Kx下軸向壓力F對(duì)基頻的影響Fig.5 Influences of the axial compressive force F on the fundamental frequency for different shear stiffness Kx

圖5給出了不同水平抗剪剛度Kx下，端部軸向總壓力F對(duì)不同豎向抗拉剛度Ky的組合梁一階固有頻率ω1的影響。可見(jiàn)，對(duì)給定的軸向壓力F，一階固有頻率ω1隨著水平抗剪剛度Kx和豎向抗拉剛度Ky的增加而增加， 并且， 組合梁一階固有頻率ω1隨外部軸向總壓力F變化趨勢(shì)是相同的。當(dāng)軸向壓力F較小時(shí)，隨著軸力F增加，一階固有頻率ω1緩慢減小。當(dāng)軸向壓力F增加到一定程度后，一階固有頻率ω1迅速減小，最終減小為零，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的軸向壓力F即為部分相互作用組合梁的失穩(wěn)臨界載荷Fcr。

圖6為給定連接件抗剪剛度Kx或抗拉剛度Ky時(shí)，抗拉剛度Ky或抗剪剛度Kx對(duì)組合梁臨界載荷Fcr的影響。可見(jiàn)，隨著連接件剛度的增加，臨界荷載增加，且最后趨于一個(gè)定值。同時(shí)，抗拉剛度Ky對(duì)臨界載荷的影響區(qū)域大于抗剪剛度Kx的影響區(qū)域。

圖6　界面剛度Kx與Ky對(duì)組合梁屈曲載荷Fcr的影響Fig.6 Influences of the interfacial stiffness Kx and Ky on the buckling load Fcr

為了考察子梁剛度對(duì)簡(jiǎn)支組合梁固有頻率和振型的影響，本文引入彈性模量比nE=E1/E2。對(duì)于圖2所示結(jié)構(gòu)，假設(shè)E2恒為8 GPa，Ky=2 000E2，且梁端無(wú)軸力作用。圖7給出了組合梁界面切向剛度與彈性模量比對(duì)簡(jiǎn)支組合梁前三階固有頻率的影響。圖7表明隨著界面切向剛度的增加，組合梁的前三階固有頻率均隨之增大，趨向于完全作用組合梁的情形，并且，隨著頻率階次的提高或彈性模量比nE的增加，對(duì)固有頻率影響顯著的界面切向剛度范圍變大。

取Kx=20E2，Ky=2×105E2，而其余參數(shù)不變，圖8給出了界面切向剛度與彈性模量比對(duì)簡(jiǎn)支組合梁子梁Ⅱ前三階自振模態(tài)的影響。從中可見(jiàn)，對(duì)于較低階次的自振模態(tài)，彈性模量比對(duì)組合梁自振模態(tài)的影響不顯著，然而隨著模態(tài)階次的提高，彈性模量比對(duì)自振模態(tài)的影響愈顯著。

圖7　彈性模量比nE和界面剛度Kx對(duì)固有頻率的影響Fig.7 Influences of the elastic modulus ratio nE and interfacial stiffness Kx on the natural frequencies of the composite beams

圖8　彈性模量比nE和界面剛度Kx對(duì)自振模態(tài)的影響Fig.8 Influences of the elastic modulus ratio nE and interfacial stiffness Kx on the modes of free vibration of the composite beams

5結(jié)論

本文將組合梁的剪力連接件等效為子梁連接界面處具有抗剪和抗拉剛度的連續(xù)分布彈簧，考慮組合梁軸力的二階效應(yīng)，建立了以組合梁子梁水平位移和豎向撓度為基本未知量的組合梁動(dòng)力彎曲非線性初邊值問(wèn)題，給出了組合梁自由振動(dòng)近似求解的微分求積法公式，研究了兩端簡(jiǎn)支部分相互作用組合梁的動(dòng)力特性及其臨界載荷，結(jié)果表明：

(1) 對(duì)給定的軸向壓力，組合梁固有頻率隨組合梁界面水平抗剪剛度和豎向抗拉剛度的增加而增加，并且，趨于由截面換算剛度法得到的界面完全相互作用組合梁的固有頻率；

(2) 一階固有頻率首先隨軸向壓力的增加緩慢減小；當(dāng)軸向壓力達(dá)到某一值后，一階固有頻率迅速減小為零，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的軸向壓力即為組合梁的失穩(wěn)臨界載荷；

(3) 隨著剪力連接件剛度的增加，組合梁的臨界載荷增加，且抗拉剛度對(duì)臨界載荷的影響區(qū)域大于抗剪剛度的影響區(qū)域；

(4) 隨著模態(tài)階次的提高，彈性模量比對(duì)自振模態(tài)的影響愈顯著。

參 考 文 獻(xiàn)

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Influences of the interfacial uplift and axial load on dynamic bending characteristics of composite beams

YANGXiao,LIXiao-wei,WANGDe-jiang(Department of Civil Engineering, Shanghai University, Shanghai 200072, China)

Abstract:Taking into account the normal/tangential interfacial partial interaction and the second-order effect of axial load of each sub-beam, displacement-based nonlinear and first-order approximate initial-boundary value problems for the dynamic bending of the Euler-Bernoulli composite beam are formulated by virtue of Hamilton’s principle, and then the buckling load and natural frequencies of the composite beam with partial interaction are investigated by the differential quadrature method (DQM).On the basis of the correctness and validity of the proposed DQM verified via the comparisons with the analytical and FEM solutions available, a parameter study is conducted, and the influences of the interfacial stiffness on dynamic characteristics and stability and the effects of the axial force on the natural frequencies are studied.The numerical results show that the natural frequencies and buckling load of the composite beam increase as interfacial stiffness increases, and they eventually approach those of a full-composite beam.The first natural frequency decreases to zero as the axial load increases and approaches the buckling load.Furthermore, the critical load increases as the interfacial normal and tangential stiffness increase.

Key words:composite beams; stability and dynamic characteristic; interfacial slip and uplift; second-order effect; differential quadrature method

中圖分類(lèi)號(hào):O343.9;TU323.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.08.019

通信作者汪德江 男，博士，講師，1970年7月生

收稿日期：2015-01-12修改稿收到日期：2015-03-28

基金項(xiàng)目：國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(2009AA032303-2)

第一作者 楊驍 男，博士，教授，1965年4月生

E-mail:djwang@shu.edu.cn