基于非線性隨機最優控制的大跨度斜拉橋地震響應Benchmark問題研究

余友熙， 劉中華， 余香林， 王守強(1.悉地國際設計顧問(深圳)有限公司,深圳　518057; .廈門大學 建筑與土木工程學院,廈門　61005;.同濟大學 土木工程學院,上海　0009;4.華盛頓大學 土木與環境工程系,西雅圖　98195)

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基于非線性隨機最優控制的大跨度斜拉橋地震響應Benchmark問題研究

余友熙1,2， 劉中華2， 余香林3,4， 王守強3(1.悉地國際設計顧問(深圳)有限公司,深圳518057; 2.廈門大學 建筑與土木工程學院,廈門361005;3.同濟大學 土木工程學院,上海200092;4.華盛頓大學 土木與環境工程系,西雅圖98195)

摘要：大跨度斜拉橋Benchmark問題的振動控制研究是當前國際結構控制研討會的重要議題之一。以美國Bill Emerson Memorial斜拉橋第二階段Benchmark模型為研究對象，在非線性隨機動力學與控制的擬哈密頓理論體系框架下，運用基于隨機平均法和隨機動態規劃原理的非線性隨機最優(NSO)控制策略，對地震作用下的Benchmark模型進行MATLAB仿真分析。將最優控制力和性能評價指標與線性二次型Gauss(LQG)控制的計算結果進行對比，得出非線性隨機最優控制策略能夠更加有效地抑制斜拉橋的地震響應，提高結構的動力穩定性和抗震能力，具有更好的控制效果，對實際橋梁工程的振動控制具有較強的指導意義和適用價值。

關鍵詞：非線性隨機最優控制；地震響應；斜拉橋；benchmark 模型；LQG控制

隨著大跨度橋梁的不斷興建，地震激勵下與結構主動控制相關的控制策略應運而生[1-4]。其中常見的控制策略包括線性二次型經典最優控制(LQR)、線性二次型Gauss(LQG)最優控制、模態控制、H2和H∞控制等[5]。然而，大跨橋梁的地震響應基本呈現多自由度、強非線性隨機振動。因此，在Hamilton理論體系框架下，朱位秋等[6]不斷發展并形成了以非線性隨機最優(NSO)控制策略為重點的非線性隨機動力學與控制理論。盡管非線性隨機最優控制研究，包括動態規劃方程求解、系統狀態部分可觀測、控制的時滯與有界性、系統模型與參數的不確定性等問題的研究進展甚微[7]，但NSO控制策略的出現無疑為解決多自由度強非線性隨機振動與控制問題提供了強有力的理論支撐。且已有結果表明，其控制效果明顯優于LQG控制[8-12]。

1大跨度斜拉橋Benchmark模型建立

地震激勵下斜拉橋第二階段Benchmark問題的研究對象為一座位于美國密蘇里州開普吉拉多(Cape Girardeau)的Emerson Memorial大橋[13]，如圖1所示。Emerson Memorial大橋為雙塔雙面索結構，共計128根斜拉索, Illinois方向引橋為有12個橋墩的連續梁橋。全橋長1 205.8 m，主跨為350.6 m，主橋邊跨為142.7 m，引橋長570.0 m。橋塔為H型橋塔，橋墩2處橋塔高度為102.4 m，橋墩3處橋塔高度108.5 m，每個橋塔有64根斜拉索。

圖1　Emerson Memorial斜拉橋模型(m)Fig.1 Emerson Memorial cable-stayed bridge model(m)

橋面板、橋塔等細部參數詳見文獻[13]。運用ABAQUS軟件對Emerson Memorial斜拉橋進行非線性靜動力分析，有限元模型如圖2所示。梁和塔采用三維梁單元B31模擬，斜拉索采用桁架單元T3D2模擬，斜拉索與主梁、主塔之間采用剛性連接。全橋共有579個節點，420個剛性連接，134個質量節點和162個Beam單元，128個索單元。其中橋塔有50個節點，43個Beam單元和74個剛性連接。以順橋向為X軸，橫橋向為Z軸，豎向為Y軸。有限元計算模型在墩2、墩3和墩4處約束其橋面結構橫向位移，在1號橋臺處僅允許縱向位移和繞Y、Z軸的轉動。有限元模型不包括Illinois方向的引橋，故墩4處不限制縱向位移和繞X軸的轉動。

圖2　Emerson Memorial大橋有限元模型Fig.2 Finite element model of Emerson Memorial cable-stayed bridge

在結構上布置14個加速度傳感器，4個速度傳感器。其中6個加速度傳感器布置于塔頂，8個加速度傳感器布置于橋面板位置，速度傳感器則布置于橋臺Ⅱ和橋臺Ⅲ與橋面板間。使用24個液壓控制器來加載徑向力，控制器布置位置為：4個位于橋面板與橋臺1之間；8個位于橋面板與橋臺2之間；8個位于橋面板與橋臺3之間；4個位于橋面板和橋臺4之間。典型控制器于橋臺處的平面示意圖如圖3所示[13-14]。控制器所能提供的最大控制力為F=1 500 kN。

圖3　典型控制器示意圖Fig.3 Diagram of typical tower actuator

選取了4個降階模型，降階后的階數分別為323階，63階，45階，23階，并選取伯德圖與單位階躍響應曲線與原模型進行比較，伯德圖與單位階躍響應均選擇在1號橋臺處輸入，輸出取橋塔Ⅱ基礎剪力作為比較。通過比較原模型與各降階模型的幅頻曲線和相頻曲線發現，323階模型和63階模型與原模型曲線吻合得很好，而降階模型在小于60階之后，幅頻曲線與相頻曲線則跟原模型發生了比較大的差別，不再符合使用要求，故本文選取63階模型作為最終計算模型。

2非線性隨機最優(NSO)控制理論

2.1NSO控制問題的建立

地震激勵下斜拉橋Benchmark模型的運動方程[6]為

(1)

式中,M，C，K分別為n×n系統質量、阻尼及剛度矩陣；Γ，Λ為地震力與控制力位置矩陣，U=[U1U2…Uk]T，Uj為第j個控制執行機構產生的控制力。

(2)

式中,W(t) 為單位強度高斯白噪聲；cj，dj為常數，與aj，bj之間的關系為

(3)

引入模態變換

X=ΦQ

(4)

式中,Φ為n×n歸一化系統實模態矩陣，式(1)可解耦為

(5)

dZ=(AZ+Bu)dt+CdB(t)

Z(0)=Z0

(6)

dV=(DZ+Gu)dt+σ1(τ)dB1(t)

V(0)=0

(7)

式中,dV/dt=[aTdT]T，B1(t)是m維標準Wiener過程，與B(t)及Z0獨立。假設σ(τ)和σ1(τ)分別為常數與常數矩陣，則受控系統有遍歷平穩解，且

(8)

D為測量矩陣。式(7)即為所研究控制問題的觀測方程。

對于半無限長時間區間控制，性能指標為

(9)

2.2等價的完全可觀測隨機最優控制問題

(10)

(11)

對半無限長時間區間無界控制，有

(13)

2.3隨機平均法

(14)

它表示第i個模態能量的條件均值。引入變換

(15)

(17)

(18)

(19)

2.4最優控制力

設性能指標為

(20)

其中

(21)

式中,R為n1×n1正定對稱矩陣。

對半無限時間區間無界遍歷控制，可導出如下動態規劃方程

(22)

式中

(23)

由式(22)左邊對U的極小的必要條件得最優控制律

(24)

(25)

(26)

(27)

則可得如下多項式解

(28)

式(27)中，s1i、s3i及s2ij可預定，而其他系數需由式(26)確定。將式(28)代入式(24)得最優控制力，且知其為非線性的。

3NSO控制實例分析

在地震力輸入時，需考慮行波效應的影響，數值模擬時，考慮地震波傳輸速度及橋墩基礎間的距離，此處橋臺Ⅰ與橋墩Ⅱ距離為142.7 m，橋墩Ⅱ與橋墩Ⅲ距離為350.6 m，橋墩Ⅲ與橋墩Ⅳ距離為142.7 m。考慮地震初始速度為3 km/s則在橋臺Ⅰ處先輸入地震力，之后在橋墩Ⅱ、橋墩Ⅲ及橋墩Ⅳ處分別考慮滯后時間為0.05 s、0.16 s及0.20 s。

以模態價值分析準則為依據，出于完備性準則原理與工作量考慮，選取前五階進行隨機動態規劃控制，則前五階模態所占的模態能量占總能量的90.6%，基本滿足完備性準則，其相關系數為：n1=5，σ=10，R=50I5×5，s1i=0.5，s2i=1，s3i=0.8，s212=1，s213=1，s223=1，s2ij=0.5，

i=1，2,…,5，j=4，5，其它系數均需由式(26)確定。

為評價控制算法的魯棒性，建立了一個替代的相似模型，將雪荷載的影響考慮在內。雪荷載50年重現期為73.3 kg/m2，則在整個區域上增加24.4 kg/m2的雪荷載，橋面板上另加載97.7 kg/m2的雪荷載，以此來影響模型的質量矩陣，大約增加了總質量的3.5%，原模型前十階自然頻率為：0.290，0.370，0.468，0.516，0.581，0.649，0.669，0.697，0.710，0.720。經過變換的相似模型前十階自然頻率為：0.279，0.356，0.449，0.497，0.559，0.623，0.641，0.681，0.682，0.697 Hz，與原模型前十階自然頻率相比，最大的頻率振幅為4.38%。通過對原模型與雪荷載相似模型在地震荷載工況下的控制效果進行比較，當結構動力特性發生較大變化時，為確保控制效果仍然有效，故在振動分析中考慮雪荷載作用，以評價控制系統的魯棒性。

19個性能評價指標的表達式和物理意義見表1，基于LQG算法和NSO算法的Benchmark問題分析結果見表2。

表1　性能評價指標說明

基于LQG算法和NSO算法的Simulink控制仿真模型對比如圖4所示。5號控制器的控制力時程圖對比如圖5所示。

圖4　基于LQG算法和NSO算法的Simulink仿真模型對比Fig.4 Comparison of Simulink models based on LQG and NSO algorithms

4結論

本文圍繞大跨度斜拉橋的振動特性，以美國Bill Emerson Memorial大橋的第二階段Benchmark模型為研究對象，應用基于擬哈密頓系統隨機平均法與動態規劃原理的非線性隨機最優控制策略，研究其在地震作用下采用LQG主動控制與NSO控制策略的評價指標并進行對比，得出以下結論：

表2　Benchmark問題的性能評價指標分析結果

圖5　基于LQG算法和NSO算法的5號控制器控制力時程圖對比Fig.5 Comparison of control force time history for No. 5 controller based on LQG and NSO algorithms

(1) 從評價指標可看出，與LQG控制方法相比，NSO控制策略的總體控制效果更佳。

(2) 斜拉橋雪荷載模型驗證了控制策略的魯棒性，表明總體控制效果穩定，有力地提高了大跨斜拉橋的抗震能力。

(3) 對比NSO與LQG的關于控制器輸出的指標(即J12～J15)發現,雖然NSO算法所得控制力最大值和瞬時輸出功率都較LQG算法大，但其總能量輸出卻比LQG算法少，這可以從圖5看出，兩個圖均為安裝在橋墩II與橋面板之間的5號控制器的控制力輸出時程，控制力峰值前者較后者大，但控制力均值卻是后者大，這也保證了在提高控制效率的同時，并未因增加控制器輸出而提高整體造價。

(4) LQG控制僅適用于線性結構系統，而NSO控制策略不僅適用于線性結構系統，而且適用于非線性系統。

(5) 從控制資源來看，非線性隨機最優控制在主要的5個模態的控制資源僅為10，保證了在實際使用時可以實時地輸出計算結果，節省計算時間。

參 考 文 獻

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Benchmark-problem investigation for seismic response of a large-span cable-stayed bridge based on nonlinear stochastic optimal control

YUYou-xi1,2,LIUZhong-hua2,YUXiang-lin3,4,WANGShou-qiang3(1.CCDI Group，Shenzhen 518057，China； 2.School of Architecture and Civil Engineering，Xiamen University，Xiamen 361005，China； 3.College of Civil Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China；4.Department of Civil & Environmental Engineering，University of Washington，Seattle 98195，USA)

Abstract:Investigation of vibration control for benchmark problems on large-span, cable-stayed bridge is one of the most important research topics in the current International Symposium on Structural Control.This paper studied second-stage benchmark problems on the Bill Emerson Memorial cable-stayed bridge.In terms of Hamiltonian theory for nonlinear stochastic dynamics and control, the benchmark model under seismic excitations was investigated using MATLAB simulation analysis, based on the stochastic averaging method and stochastic dynamic-programming principle.Comparison of analysis results for optimal forces and performance-evaluation indices between the nonlinear stochastic optimal (NSO) control strategy and the linear quadratic Gaussian (LQG) control strategy revealed that the former control strategy mitigates the seismic response of the cable-stayed bridge more effectively than the latter, thereby enhancing structural dynamic stability and earthquake resistance.In conclusion, the NSO control strategy demonstrates better control effect and presents instructive references and practical significance for vibration control of bridge-engineering applications.

Key words:NSO control; seismic response; cable-stayed bridge; benchmark model; LQG control

中圖分類號:O328；U448.27

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.08.007

通信作者余香林 男，博士生,1984年3月生

收稿日期：2014-12-16修改稿收到日期：2015-04-21

基金項目：福建省青年人才項目(2008F3100)

第一作者 余友熙 男，碩士,工程師,1986年7月生

E-mail:6yux@tongji.edu.cn