多跨的三種梁的橫向自由振動模型

劉向堯， 聶　宏， 魏小輝(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京　210016)

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多跨的三種梁的橫向自由振動模型

劉向堯， 聶宏， 魏小輝(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京210016)

摘要：運用了參數變易法對Timoshenko、Rayleigh和Shear梁的橫向自由振動模型進行了推導，分析了鉸支座、集中質量、轉動慣性、拉壓彈簧和扭轉彈簧的復雜邊界條件的情形，進而給出了帶有多個復雜邊界條件的三種梁的自由振動模型。在其簡化的Euler梁下對三個有一定工程實踐意義的模型進行了推導，分別是雙跨梁、雙跨梁帶有任意個集中質量和單跨梁帶有任意個拉壓彈簧的自由振動模型，三個模型的頻率方程的結果與已有文獻的結果相比具有很好的一致性。并運用Nastran將雙跨梁進行了算例分析，該方法提出的公式計算的一階頻率與有限元方法得出的一階頻率之差小于5%，表明提出的模型是合理可用的。

關鍵詞：自由振動； Timoshenko梁；Rayleigh梁；Shear梁；多跨梁

經典的飛機起落架的著陸動力學的相關分析中，將機身視為剛體，用二質量模型進行分析。朱齊丹[1]將此模型應用到艦載機彈射起飛和攔阻動力學的分析中，取得了良好的效果。

現代的大型民用客機由于其機翼尺寸大，新材料的使用使得機翼結構的剛度下降，將機翼甚至整個機體看成彈性體是近年來起落架著陸動力學研究的熱點之一。

McPherson等[2-3]將飛機機翼看成自由-自由的Euler梁模型，分析了機翼彈性對安裝在機翼的起落架的著陸性能的影響。其應用的對象是上單翼飛機，中單翼飛機如何處理尚未見文獻報道；中單翼飛機由于機翼不是整體貫通的，機翼與機身通過加強隔框進行連接，可將連接方式視為鉸接。這樣可以將單跨的自由-自由的Euler梁模型推廣到一般化的多跨梁。

在梁的邊界條件方面，現有的分析模型都沒有考慮翼吊式發動機的因素，而發動機可以看成帶有轉動慣性的集中質量。從更一般的角度看，在兵器工業領域，陸毓琪等[4-5]將火炮的身管看成含有集中質量和彈性支撐的彈性梁，給出了單跨梁上的Euler振動模型。王棟等[6]研究了梁附帶集中質量的固有頻率及其靈敏度計算問題。

在多跨梁研究方面，Гантмахер等[7-8]研究了帶有集中質量的多跨Euler梁的定性性質，但是沒有給出頻率方程，工程技術人員難以直接應用。Ariaei等[9]研究了移動的質量塊對多跨的Timoshenko梁動力響應的影響。

本文建立了三種常見的工程梁的自由振動模型，考慮了一些工程上常見的邊界條件。應用參數變易法對模型進行分析，推導了自由振動的頻率方程。通過簡化模型的頻率方程與已有文獻進行對比，發現兩者一致，先前的相關論文結果是本文的特例。該結果可以廣泛地應用到各個工程領域，方便工程技術人員使用。

1多跨的三種工程梁的橫向自由振動

一般的梁單元，是基于材料力學中的平面變形假定，在這個假定中認為彎曲變形是主要的變形，剪切變形是次要的變形，叫做Euler梁模型。在Euler梁的基礎上，只考慮梁繞中性軸的轉動慣量一方面因素的為Rayleigh梁模型；只考慮梁剪切變形一方面因素的為Shear梁模型；考慮上述兩方面因素的為Timoshenko梁模型[10]。

1.1模型中的基本假設

1) 軸向尺寸明顯大于其它兩個方向的尺寸；

2) 梁的材料是線彈性；

3) 不考慮泊松效應。

1.2三種工程梁的固有振動

(1)

式中，ρ為單位長度上梁的密度；A為梁的橫截面積；w為撓度；β為截面形狀系數；G為剪切彈性模量。E為梁的彈性模量；I為梁對截面慣性主軸的轉動慣量。

當不考慮剪切變形時，式(1)變為了Rayleigh梁的微分方程

(2)

當不考慮繞中性軸的轉動慣量時，式(1)變為了Shear梁的微分方程

(3)

三種梁均具有如下形式的橫向固有振動

w(x,t)=W(x)q(t)

(4)

式中，W(x)為梁的振形函數；q(t)為描述運動規律的時間函數。

三種梁的振型函數的通解均為

W(x)=a1chλ1x+a2shλ1x+a3cosλ2x+a4sinλ2x(5)

將式(4)代入式(1)～式(3)中可得對應梁的振形函數。

Timoshenko梁的頻率方程為

(6)

其中

α4=ρAω2/EI

(7)

τ=ρω2/E

(8)

σ=ρω2/βG

(9)

式中,ω為Timoshenko梁的固有頻率。

Rayleigh梁的頻率方程為

(10)

式中,ω為Rayleigh梁的固有頻率。

Shear梁的頻率方程為

(11)

式中,ω為Shear梁的固有頻率。

1.3邊界條件

梁的邊界條件主要分為兩類：簡單邊界條件和復雜邊界條件。簡單邊界條件指的是梁的約束條件，比如固支，簡支等；復雜邊界條件指的是安裝在梁上的一些力學元件或者其組合，比如集中質量，集中質量和拉壓彈簧的組合等。

測定項目包括植物的生長生理指標(生物量、株高、根長、根系活力)和超氧化物歧化酶指標。植物生物量的測定采用電子天平；株高、根長的測定采用卷尺；根系活力的測定采用紫外分光光度計[7]；SOD的測定采用氮藍四唑(NBT)法[8]。

1) 簡單邊界條件

一方面討論在梁兩端進行約束的情況，其基本的邊界條件可以分為固支、簡支、滑支和自由等四種，分別如下：

固支：撓度和轉角為0

W=0,W′=0

(12)

簡支：撓度和彎矩為0

W=0,W″=0

(13)

滑支：剪力和轉角為0

W?=0,W′=0

(14)

自由：剪力和彎矩為0

W?=0,W″=0

(15)

在兩端進行組合可以得到4×4=16種情況。

另一方面討論在梁中段有鉸支座的情況，其將單跨梁變為了多跨梁。

設梁在γ處有一個鉸支座，則鉸支座將梁分成了兩段，在γ處的撓度為0，轉角和彎矩分段連續

(16)

式中,下標1和2分別為梁被簡支座分成的兩段。

2) 復雜邊界條件

關注力學元件，比如集中質量、轉動慣性、拉壓彈簧和扭轉彈簧。

集中質量：設梁在a處有一個集中質量，則集中質量將梁分成了兩段，在a處的剪力為集中質量的慣性力

(17)

式中，m為集中質量的質量，Q為剪力。

分離變量，可得

-mω2W(a)=EIW?(a)

(18)

在a處的撓度，轉角和彎矩分段連續

(19)

轉動慣性：設梁在e處有一個轉動慣性項，則轉動慣性項將梁分成了兩段，在e處的彎矩由轉動慣性項提供

(20)

式中，J為轉動慣性項的轉動慣量，M表示彎矩。

分離變量，可得

Jω2W′(e)=EIW″(e)

(21)

在e處的撓度，轉角和剪力分段連續

(22)

拉壓彈簧：設梁在c處有一個拉壓彈簧，則拉壓彈簧將梁分成了兩段，在c處的剪力為拉壓彈簧的彈性力

(23)

式中，kt為拉壓彈簧的拉壓剛度。

分離變量，可得

ktω2W(c)=EIW?(c)

(24)

在c處的撓度，轉角和彎矩分段連續

(25)

扭轉彈簧：設梁在d處有一個扭轉彈簧，則扭轉彈簧將梁分成了兩段，在d處的彎矩為扭轉彈簧的扭矩

(26)

式中，kθ為扭轉彈簧的扭轉剛度。

分離變量，可得

-kθW′(d)=EIW″(d)

(27)

在d處的撓度，轉角和彎矩分段連續

(28)

1.4帶有多個復雜邊界條件的多跨梁的自由振動模型

設梁的長度為1，用下標0表示梁的起點，1表示梁的終點；中間的鉸支座有k個，每個鉸支座的坐標為αi(i=1，2，…，k)；集中質量有n個，每個坐標為bi(i=1，2，…，n)，質量為mi(i=1，2，…，n)，轉動慣量為Ji(i=1，2，…，n)；拉壓彈簧有f個，每個坐標為ci(i=1，2，…，f)，拉壓剛度為ki(i=1，2，…，f)；扭轉彈簧有h個，每個坐標為di(i=1，2，…，h)，扭轉剛度為kθi(i=1，2，…，h)。

1) 邊界條件

中段的鉸支座：設中間的第i個鉸支座前有nu(0≤nu≤n)個集中質量，fu(0≤fu≤f)個拉壓彈簧，hu(0≤hu≤h)個扭轉彈簧。

令

u=nu+fu+hu

(29)

則

(30)

(31)

集中質量：設中間的第i個集中質量前有kv(0≤kv≤k)個鉸支座，fv(0≤fv≤f)個拉壓彈簧，hv(0≤hv≤h)個扭轉彈簧。

令

v=kv+fv+hv

(32)

則

(33)

(34)

拉壓彈簧：設中間的第i個拉壓彈簧前有kx(0≤kx≤k)個鉸支座，nx(0≤nx≤n)個集中質量，hx(0≤hx≤h)個扭轉彈簧。

令

x=kx+fx+hx

(35)

則

(36)

kiω2W(ci)=EIW?(ci)

(37)

扭轉彈簧：設中間的第i個扭轉彈簧前有kz(0≤kz≤k)個鉸支座，nz(0≤nz≤n)個集中質量，fz(0≤fz≤f)個拉壓彈簧。

令

z=kz+fz+hz

(38)

則

(39)

-kθiW′(di)=EIW″(di)

(40)

其它的復雜邊界條件的組合按照上面的思路可以類似得出。

2) 頻率方程

頻率方程由兩端的邊界條件確定，將式(12)～式(15)進行組合可以得到4×4=16種情況。

令

s=k+n+f+h

(41)

根據線性系統的疊加性，可以將帶有多個復雜邊界條件的多跨梁看成由鉸支座、集中質量、拉壓彈簧和扭轉彈簧分開的s+1段梁，即

Wk(x)=ak1chλ1x+ak2shλ1x+

ak3cosλ2x+ak4sinλ2x

(42)

式中，k的取值從1到s+1。

可得4s+4階的方程組，根據該方程組有非零解可得出頻率方程。

2特例

已有論文側重在Euler梁上進行討論，根據上文的推導將三種工程梁模型簡化到相應的Euler梁模型，通過與已有文獻的對比，說明本文建立的模型是合理可用的。特例中的模型是通過Euler梁進行推導得出的，通過本文方法對三種工程梁進行推導也可得出相應結果。

2.1雙跨梁情形

令k=1，n=f=h=0，可將模型轉換成雙跨梁的情形，即梁中間只有一個鉸支座，位置是α，將長度為1的Euler梁分成了兩段的情形。

特別地，考慮懸臂梁上帶有鉸支座的情形，其它情形類似可得。其可用于中單翼飛機機體彈性的分析上。根據對稱性取一半機體，機翼與機身的連接方式視為鉸接。

1) 固支-自由的邊界條件

(43)

2) 鉸支座的邊界條件

(44)

(45)

3) 頻率方程

由鉸支座分成的每段梁都符合公式

(46)

將式(43)～式(45)代入式(46)中，可得個6階的方程組，根據該方程組有非零解可得出頻率方程

(47)

將上式運用Laplace定理展開，可得頻率方程為

(1+ch(1-α)λ·cos(1-α)λ)[shλα·cosλα-

chλα·sinλα]=[sh(1-α)λ·cos(1-α)λ-

ch(1-α)λ·sin(1-α)λ)[1-chλα·cosλα]

(48)

4) 模型驗證

將α→1，式(48)變成

tanλ=tanhλ

(49)

式(48)為一端固支，一端鉸支的頻率方程[10]。

將α→0，式(48)變成

(50)

當α→0時，式(50)是個0/0型的不等式，由三角函數的性質可知，式(50)的右邊的分子是比分母更高階的無窮小量，則

1+chλ·cosλ=0

(51)

式(50)為懸臂梁的頻率方程[10]。

5) 算例分析

有限元法是一種工程上常用的數值計算方法。在工程應用領域，常常需要求解各類微分方程，而許多微分方程的解析解有時很難得到，使用有限元法將微分方程離散化后，可以編制程序，使用計算機輔助求解。MSC.Nastran是一款具有可靠性的結構有限元分析軟件, 在航空航天領域有廣泛的應用。

將Nastran中的數值仿真計算結果與理論推演結果進行對比，證明結果的正確性。

令式(48)中的α=0.5，則鉸支座的位置位于梁的中點。

梁的材料為某型合金鋼，彈性模量為206 GPa,泊松比為0.3，密度為7 850 kg/m3。梁的截面為實心的矩形截面，長寬均為0.1 m，梁的長度為1 m。

步驟1計算理論解

計算式(48)時，可以先將等式左右的曲線通過MATLAB繪出，明確交點的大致范圍，進而可以通過給定個小的允許誤差，比如0.01，通過在上面確定的范圍進行窮舉，逼近理論解。

通過上述方法計算，α=0.5時，λ1=π。代入Euler梁的頻率方程可得一階頻率為

f1=233 Hz

步驟2計算數值解

在Patran中進行幾何建模，以0.05 m為步長布置網格點，畫網格，起始端三個平動和轉動自由度全部約束，中點約束三個平動的自由度，賦予材料和梁屬性，進行模態分析，讀取結果文件，可得一階頻率為

步驟3計算誤差

經計算，兩者的誤差為3%，小于5%。

2.2雙跨梁帶有任意個集中質量情形

令k=1，f=h=0，可將模型轉換成雙跨梁帶有任意集中質量的情形，即梁中間只有一個鉸支座，位置是α，集中質量有n個，每個坐標為bi(i=1，2，…，n)，質量為mi(i=1，2，…，n)，轉動慣量為Ji(i=1，2，…，n)，將長度為1的Euler梁分成了n+2段的情形。

特別地，考慮懸臂梁上帶有鉸支座，鉸支座的外側有任意個集中質量的情形，即bi>α(i=1，2，…，n)，其它情形類似可得。其可用于中單翼飛機機體彈性的分析上。根據對稱性取一半機體，機翼與機身的連接方式視為鉸接。發動機和掛彈可以視為集中質量。

1) 固支-自由的邊界條件

(52)

2) 鉸支座的邊界條件

同式(44)～式(45)。

3) 集中質量的邊界條件

(53)

(54)

4) 頻率方程

由鉸支座和集中質量分成的n+2段梁都符合式(61)

Wk(x)=ak1cosλx+ak2sinλx+ak3chλx+ak4shλx,

(k=1,…，i，…，n+2)

(55)

將式(52)～式(54)代入式(55)中，可得個4n+6階的方程組，根據該方程組有非零解可得出頻率方程。

5) 模型驗證

令n=1，可用于分析翼吊式發動機對機體彈性的影響，則按照先前的方法遞推，可得其頻率方程為

8+8chλ·cosλ+8pλ(cosλ·shλ-chλ·sinλ)+

(56)

其中

(57)

將表示轉動慣量的q=0，可得

1+chλ·cosλ+pλ(cosλ·shλ-

chλ·sinλ)=0

(58)

這與文獻[11]給出的結論相同。

2.3單跨梁帶有任意個拉壓彈簧和集中質量的情形

令k=h=0，可將模型轉換成帶有單跨梁帶有任意個拉壓彈簧和集中質量的情形，即梁中間有n個集中質量，位置是bi(i=1，2，…，n)，質量為mi(i=1，2，…，n)，轉動慣量為Ji(i=1，2，…，n)；并且梁中間有f個拉壓彈簧，每個坐標為ci(i=1，2，…，f)，剛度為ki(i=1，2，…，f)。

特別地，當集中質量和拉壓彈簧具有相同的數量，且成對的出現在在同一個位置時，即bi=ci(i=1，2，…，n)，n=f時，可以用此模型分析火炮的身管的彈性問題。

1) 兩端的邊界條件

由式(12)～式(15)在兩端進行組合可以得到4×4=16種情況。

2) 拉壓彈簧和集中質量組合的邊界條件

(59)

(60)

4) 頻率方程

由拉壓彈簧和集中質量分成的n+1段梁都符合公式

Wk(x)=ak1cosλx+ak2sinλx+ak3chλx+ak4shλx,

(k=1,…，i，…，n+1)

(61)

將邊界條件代入式(61)中，可得個4n+4階的方程組，根據該方程組有非零解可得出頻率方程。

5) 模型驗證

將轉動慣性項Ji=0，即可得文獻[4]的結論。

3結論

運用參數變易法將工程上常用的單跨梁的自由振動模型推廣到了多跨梁；將Euler梁推廣到了Rayleigh、Shear和Timoshenko梁；將個別的復雜邊界條件推廣到了一般復雜邊界條件及其組合，從而使提出的模型具有更普遍的意義和更廣泛的工程實用性。相關文獻給出的研究結果可視為本文模型的一種特例。

參 考 文 獻

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The transverse free-vibration model of three multi-span beams

LIUXiang-yao,NIEHong,WEIXiao-hui(State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

Abstract:The transverse free-vibration equations of Timoshenko, Rayleigh and Shear beam were studied by variation-parameter method.The hinge support, lumped mass, rotational inertia, compression-tension spring and torsional spring were analyzed.Based on these, the free-vibration model of three beams was derived.The analogous Euler beam in its simplified model was proposed to infer the three models with the engineering meanings: the free-vibration model for a two-span beam, a two-span beam with arbitrary lumped masses and a one-span beam with an arbitrary spring-mass system.Comparison between the frequency equations, which were derived by the three models and previous articles, presented good accordance.A two-span-beam example was given by Nastran to compute the first-order frequency.By comparing the result by Nastran with the result from the formula proposed, the error is within 5%, which illustrates that the proposed model is fair and useful.

Key words:free vibration; Timoshenko beam; Rayleigh beam；Shear beam；multi-span beam

中圖分類號:V226

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.08.004

通信作者聶宏 男，教授, 博士生導師，1960年生

收稿日期：2015-01-22修改稿收到日期：2015-05-05

基金項目：國家自然科學基金(51105197;51075203); 江蘇高校優勢學科建設工程資助項目

第一作者 劉向堯 男，博士生，1984年生

E-mail:hnie@nuaa.edu.cn