基于球桿系統的現代控制理論課堂教學實例設計*

樓旭陽（江南大學物聯網工程學院，無錫江蘇214122）

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基于球桿系統的現代控制理論課堂教學實例設計*

樓旭陽
（江南大學物聯網工程學院，無錫江蘇214122）

摘要：為解決現代控制理論授課過程中學生對于理論設計控制器和實際工程例子中如何應用的脫節問題，本文設計了一個教學實例，便于學生深入理解與掌握教學過程中的基本理論與方法，并結合現代控制理論課程特點，以“球桿系統”為例探討了工程實例式教學法在現代控制理論課堂教學中的應用和實施效果。

關鍵詞：實例教學；現代控制理論；教學方法

Abstract:In order to solve the disjointed problem for students about designing controllers theoretically and applying actual engineering example in the modern control theory teaching process, this paper presents a teaching example so that students can in-depth understand and retain basic theory and methods. Moreover, based on the characteristics in the course of modern control theory, the engineering teaching method is discussed to illustrate the effectiveness in the teaching process of modern control theory by taking the ball-and-beam system as an example.

Keywords:case teaching; modern control theory; teaching method

一、概述

“現代控制理論”是工科類自動化專業的重要專業核心課，理論性和研究性均較強，其教學任務是使學生掌握現代控制系統的基本概念，掌握狀態控制系統的建模、分析與綜合設計的基本方法，掌握狀態控制系統的計算機模擬與仿真的基本技能。本課程具有學科交叉性，理論性、實踐性和綜合性都很強，學生對基本概念的理解和掌握有一定的困難。結合工程實際例子，在“現代控制理論”課堂教學中開展相應教學實例設計，有助于提高教學效果。

二、課堂教學知識點舉例

現代控制理論中的狀態反饋極點配置和狀態觀測器是教學內容的重點，與系統的性能分析不同，涉及到系統控制設計。在教學中發現，學生對繁瑣的數學計算以及系統分析過程普遍感到難以理解，覺得非常抽象，因而對課程的學習興趣慢慢就會減弱。結合工程實例進行教學內容的傳授，不僅可以激發起學生的興趣，而且可以克服單一、呆板的教學方式，使課堂氣氛變得生動有趣。由劉豹和唐萬生主編的《現代控制理論》（第3版），在第五章5.2節極點配置和5.5節狀態觀測器的課堂教學中，教學內容的常規教學在這里不做具體闡述。這里主要介紹結合學生的特點和課程教學實踐，在《現代控制理論》教學中應用“球桿系統”實例的設計過程，說明此種教學方式可以取得良好的教學效果。

三、教學實例的設計

實例式教學法是以貫穿整個學期的綜合實例為中心，逐步將新知識點融入到案例中的一種教學方法。隨著案例的完善，學習的知識點也融入到案例中，這樣就將理論和實踐完全結合起來，培養了學生的學習興趣而且加深了學生對新知識點的理解。該方法與傳統的“理論知識講授+習題作業+計算機仿真”的教學模式完全不同，它采用的是“知識點的講解+應用實例分析+綜合設計討論”模式，把重點放在知識點的貫穿講解上，并注意應用到實際中。

這里以分析“球桿系統”為例，探討該系統的建模、時域分析、根軌跡分析、校正控制的教學設計。

（一）系統建模

球桿系統是一個典型的單輸入單輸出的機電類控制系統，通過改變平衡桿與水平方向的夾角，而控制平衡桿上滾動小球的位置。圖1為由固高科技開發的球桿系統裝置實物圖。整個裝置由球桿執行系統、控制器和直流電源等部分組成。該系統對控制系統設計來說是一種理想的實驗模型。

圖1　球桿系統裝置

圖2　球桿系統組成原理圖

系統結構框圖如圖2所示。系統為一個單輸入（電機轉角θ）、單輸出（小球位置）系統，輸入量θ利用伺服電機的角度編碼器來測量，輸出量由軌道上直線位移傳感器（電位器）的電壓信號來獲得。智能伺服控制器可以通過RS232接口和計算機通訊，利用鼠標或鍵盤可以輸入小球的控制位置和控制參數，通過控制方案計算輸出（電機轉動方向、轉動速度、加速度等），并由智能伺服驅動器來實現該控制方案，產生相應的控制量，使電機轉動，帶動杠桿臂運動，使球到達預期的位置。

教學過程中首先要分析小球在導軌上滾動的動態過程來建立系統模型。使小球在導軌上加速滾動的力是小球的重力在同導軌平行方向上的分力同小球受到的摩擦力的合力。設小球的位置偏移為γ，則小球在桿上滾動的加速度?。考慮小球滾動的動力學方程：

其中，m為小球質量，J表示小球的轉動慣量，R為小球半徑，g為重力加速度，α為軌道桿與水平面之間的夾角。

考慮到：

其中，θ為電機轉角，d為齒輪半徑，L為支撐桿橫桿連接點的長度。

由于實際摩擦力較小，所以可以忽略摩擦力。又由于α較小，所以可以忽略此項的影響。因而，式（1）可簡化如下：

當α＜＜1時，將上式線性化，兩邊做拉氏變換，并利用（2）式可得：

進而，可得球桿系統關于小球位置R（s）和齒輪角度θ（s）之間的傳遞函數：

至此，球桿系統已簡化為一個二階系統。進一步地，可以將該傳遞函數模型表示成狀態空間表達式。

選取小球位置為狀態變量x1，小球速度為狀態變量x2，將電機轉角θ作為輸入。于是，狀態方程為：

輸出方程為：

代入系統相關參數，可得：

因此，球桿系統可簡化為標準連續時間線性時不變系統：

針對這一球桿系統建模獲得的狀態空間表達式，在課堂教學過程中，可以讓學生根據所學的知識，求解系統的解、分析系統的穩定性、可控性等鞏固知識點。本文僅將結合該實例介紹極點配置控制器和狀態觀測器知識點的教學設計。

（二）極點配置的控制器設計

狀態反饋的極點配置是指對于給定的A∈Rn×n和B∈Rn，以及期望閉環系統極點si,i=1,2,…，n（可能包含重極點），確定一個增益向量K使特征值方程D(s)=0以si為根。注意到，系統可以任意配置極點的條件是系統完全可控。這一條件可以讓學生利用學過的秩判據自行完成。

對于球桿系統狀態空間表達式（5），令狀態反饋控制為u=v-Kx，其中v為參考輸入向量，K=[k1,k2,…，kn]為待設計的控制增益向量。直接寫出閉環系統特征多項式為

設期望閉環系統閉環極點為-3和-2。于是，期望的閉環特征多項式為

比較系數后，可得K=[6 5]/1.853。

設初始小球狀態x(0)=[0 0]T，為了將小球控制到狀態xd=[20 0]T（即期望小球靜止位置為20cm），取狀態反饋控制為u=v-Kx，則參考輸入向量為v=Kxd。顯然，若未施加控制時（即u=0），小球狀態將保持在初始位置不變；圖3所示為施加反饋控制后系統輸出變量（小球位置）y的時間響應曲線圖。從圖3可見，施加控制后，小球位置最終收斂到期望位置。

圖3　球桿系統在狀態反饋控制下輸出曲線圖

（三）基于觀測器的控制器設計

本節將結合球桿系統來分析狀態觀測器的教學設計過程。我們的目標是設計一個全維狀態觀測器，使觀測器的閉環極點為λ1=-1，λ2=-2。

首先，考察系統的可觀性矩陣

因為rank(V)=2滿秩，所以系統狀態完全能觀，故存在如下全維觀測器：

于是，觀測器特征多項式為：

期望的閉環特征多項式為：

因此，全維狀態觀測器設計為：

設初始小球狀態X（0）=[1 6]T，觀測狀態變量初始值為。其目的是在觀測出球桿系統所有狀態的同時，將小球控制期望靜止位置為2cm（類似于3.2節中的設計方法，取狀態反饋控制為則參考輸入向量為v= K[2 0]T）。圖4所示為基于觀測器的反饋控制作用下系統狀態變量x和觀測狀態變量的時間響應曲線圖。從圖4可見，系統所有狀態可以被觀測出來，并且小球位置x1最終收斂到期望位置。

四、結束語

通過教學實踐表明，以“球桿系統”為例進行的工程實例式教學法在《現代控制理論》課堂教學中的實施有利于促進學生自主學習、提高學生的學習興趣，真正做到學以致用，從而提升課堂學習效率。同時，由于要求學生在學習過程中通過計算機仿真軟件驗證所設計控制器在實例中的實施效果，并結合課堂所學理論知識分析合理性，進一步可提高學生分析問題和解決問題的能力。

圖4　基于觀測器的狀態變量曲線圖

參考文獻

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[5]李武，榮軍.案例教學法在現代控制理論課堂教學中的應用[J].電子技術，2014（11）：77-79.

作者簡介：樓旭陽（1982-），男，副教授，博士，主要研究方向為復雜系統控制理論與應用。

中圖分類號：G642

文獻標志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）08-0078-03

*基金：江蘇高校品牌建設工程（PPZY2015A036）資助。