基于參數(shù)擾動比的高速列車車體模型修正研究

邱飛力， 張立民， 張衛(wèi)華

（西南交通大學(xué) 牽引動力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都610031）

高速列車整車模態(tài)的匹配影響車輛各部件結(jié)構(gòu)的振動［1－2］，進(jìn)而影響整個車輛系統(tǒng)的運(yùn)行性能。目前，高速轉(zhuǎn)向架空簧的非線性將導(dǎo)致車體垂向振動響應(yīng)的頻帶增寬，容易引發(fā)車下質(zhì)量產(chǎn)生共振，且抗蛇行阻抗越強(qiáng)將導(dǎo)致車體地板振動越劇烈［3］。同時，車下橡膠吊掛對車體橫向減振具有積極作用，有利于車體的疲勞壽命，但過大的橡膠阻尼會使地板振動不衰減。為解決以上動力學(xué)問題，鋁合金車體整體結(jié)構(gòu)設(shè)計必須遵循模態(tài)匹配倍原則，與此同時，還應(yīng)正確處理鋁合金車體與轉(zhuǎn)向架、車下橡膠吊掛參數(shù)的接口關(guān)系。進(jìn)而避免車體與轉(zhuǎn)向架、車下質(zhì)量耦合共振，確保鋁合金車體技術(shù)服役30年［4］。雖然較高的車體彎曲模態(tài)可以避免車體與轉(zhuǎn)向架和車下懸掛設(shè)備間的共振，但過高的車體彎曲模態(tài)意味著較大的車體彎曲剛度，這又制約了車體的輕量化設(shè)計。在車體材料和質(zhì)量一定的條件下，要保證車體的彎曲剛度需要從動態(tài)設(shè)計的角度去修改其截面形狀和結(jié)構(gòu)形式［5］。

不論是整車模態(tài)的匹配規(guī)劃，還是輕量化車體的彎曲剛度設(shè)計，都必須先從鋁合金車體結(jié)構(gòu)優(yōu)化入手。確定鋁合金車體的模態(tài)，才能夠?qū)φ麄滠圀w模態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確地預(yù)測［6］。同時，從振動傳遞和避免共振的角度出發(fā)，鋁合金車體模態(tài)參數(shù)對轉(zhuǎn)向架和車下設(shè)備懸掛參數(shù)的選擇以及內(nèi)裝地板等局部結(jié)構(gòu)的設(shè)計具有重要的指導(dǎo)意義。

鋁合金車體尺寸大且結(jié)構(gòu)復(fù)雜，僅憑工程師的經(jīng)驗(yàn)建立一個與實(shí)際完全符合的模型不可能［7］。即鋁合金車體設(shè)計的有限元模型不可避免地存在誤差，這將會嚴(yán)重影響其分析結(jié)果的正確性。目前的研究表明，模型修正可以大幅提高有限元模型的準(zhǔn)確性［8］。

在此背景下，研究高速列車鋁合金車體模型修正方法，可以為后續(xù)的車體優(yōu)化設(shè)計提供準(zhǔn)確的模型，具有工程實(shí)際應(yīng)用價值。

1 修正理論

鋁合金車體模型修正可分成4部分：（1）模型精度判定；（2）模型修正參數(shù)選擇；（3）構(gòu)造模型修正目標(biāo)函數(shù)；（4）模型修正的優(yōu)化求解。

1.1 模型精度判定

在一定頻段范圍內(nèi)，車體試驗(yàn)n階模態(tài)參數(shù)為有限元m階模態(tài)參數(shù)為｛f1，f2，…，fm；Φ1，Φ2，…，Φm｝。模型修正前，需要搜索出對應(yīng)的試驗(yàn)?zāi)B(tài)和有限元模態(tài)，即模型匹配。

模態(tài)振型匹配采用振型相關(guān)性系數(shù)MAC比對，振型相關(guān)性的計算方法為［9］

式中：i、j分別為試驗(yàn)?zāi)B(tài)和有限元模態(tài)的階數(shù)。

由于測試自由度不足，高階振型無法與低階同類振型有效區(qū)分。為此，引入頻率相對誤差ri，j，其計算式為

取頻率誤差限值為10%，匹配準(zhǔn)則為

若式（3）成立，表明對應(yīng)的試驗(yàn)?zāi)B(tài)與有限元模態(tài)匹配；否則，對應(yīng)的試驗(yàn)?zāi)B(tài)與有限元模態(tài)不匹配。

為滿足工程應(yīng)用，頻率精度目標(biāo)R0取2%，振型相關(guān)性目標(biāo)MAC0取0.9，建立模型精度判別式

式中：Ri、MACi分別為匹配后的第i對試驗(yàn)?zāi)B(tài)與有限元模態(tài)間的頻率相對誤差和振型相關(guān)性。

1.2 修正參數(shù)選擇

計算模態(tài)頻率和振型MAC值對參數(shù)p的靈敏度，傳統(tǒng)的靈敏度計算方法為［10］

該方法難以比較不同類型參數(shù)的靈敏度，為統(tǒng)一參數(shù)靈敏度的量綱和量級，改善靈敏度矩陣的病態(tài)性，引入有限元模型參數(shù)擾動百分比qj，則

計算頻率百分比和振型相關(guān)性MAC對參數(shù)擾動比qj的差分靈敏度矩陣S，則

建立參數(shù)靈敏度判定準(zhǔn)則，則

滿足（11）式的參數(shù)擾動比qj選作修正變量，否則不作為修正變量，從而提高修正效率。

1.3 多目標(biāo)修正函數(shù)

基于頻率誤差和振型MAC建立殘差，則

進(jìn)而建立多目標(biāo)函數(shù)［11］為

式中：ε為極小值；qmin為修正參數(shù)擾動比的下限；qmax為修正參數(shù)擾動的上限。

車體待修正模態(tài)的階數(shù)與修正參數(shù)的數(shù)目通常不等，導(dǎo)致多目標(biāo)函數(shù)為不適定方程組（超定或欠定）。采用傳統(tǒng)方法求解，其結(jié)果與真實(shí)值相差極大，參數(shù)將喪失物理意義［12］。為此，引入 Tikonov正則化方法［13］求解，車體修正目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為

式中：a是正則化參數(shù)；C是正則化矩陣；d是對修正參數(shù)擾動q的限制向量；Nn為參數(shù)擾動q的集合。

1.4 正則化求解方法

正則化求解可分5步進(jìn)行：

Step1 對靈敏度矩陣S作奇異值分解，并計算離散傅里葉級數(shù)的系數(shù)βi。

式中：矩陣U＝（u1，u2，…，uk）和Vnn＝（v1，v2，…，vn）的列向量正交；對角矩陣Λnn為奇異值矩陣，其元素滿足σ1＞σ2＞…＞σn＞0。

離散傅里葉級數(shù)的系數(shù)計算為

Step2 判定線性系統(tǒng)Sq＝b是否滿足離散Picard條件，即系統(tǒng)離散傅里葉級數(shù)的系數(shù)βi趨于零的速度是否快于矩陣S的奇異值σi趨于0的速度。

Step3 推導(dǎo)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于正則化參數(shù)a的最小二乘解表達(dá)式

Step4 應(yīng)用L－曲線法，求取正則化參數(shù)a。

將q（a）代入方程（14），可得到2部分殘差向量

L－曲線法的表現(xiàn)形式為

H

ansen對L－曲線在正則化方法的應(yīng)用作了深入研究，將L－曲線在對數(shù)尺度下曲線拐點(diǎn)（即最大曲率點(diǎn)）對應(yīng)的a值作為最優(yōu)正則化參數(shù)［13］。

令式（20）成立。

L－曲線曲率可由式（21）計算得出

式中：k（a）為L－曲線曲率，當(dāng)k（a）其取最大值時，對應(yīng)的a為最優(yōu)正則化參數(shù)。

Step5 代入正則化參數(shù)至式（14），利用最小二乘法迭代至收斂，獲取修正參數(shù)擾動比q。

2 模型精度判定

鋁合金車體模態(tài)測試根據(jù)文獻(xiàn)［14］進(jìn)行，在車體上選取7個測試截面，每個截面4個測點(diǎn)，采用多點(diǎn)掃頻激勵。車體用4個橡膠堆在兩端枕梁位置處進(jìn)行彈性支撐，測點(diǎn)布置和測試照片分別見圖1、圖2。

圖1 高速列車模態(tài)測點(diǎn)分布圖

圖2 高速列車車體測試照片

以車體垂彎測試工況為例，給出車體測點(diǎn)的綜合頻響函數(shù)，見圖3。

圖3 車體測點(diǎn)綜合頻響函數(shù)特性

在0～50Hz范圍內(nèi)，測試得到了車體的10階彈

性模態(tài)（i＝1，2，…，10），并提取了對應(yīng)測點(diǎn)的比例振型（i＝1，2，…，10）。車體的一階菱形和一階垂彎振型（分別對應(yīng)頻響函數(shù)的第二個和第三個峰值）見圖4。

圖4 車體一階振型

選用殼單元Shell63對鋁合金車體模型劃分網(wǎng)格，并采用Combine14單元模擬車體橡膠堆的彈性支撐。利用車體沉浮頻率，估算橡膠堆的彈性支撐剛度，有限元模型中車體沉浮頻率隨支撐剛度的變化見圖5。

圖5中水平虛線為沉浮模態(tài)頻率2.93Hz，豎直虛線表示沉浮模態(tài)對應(yīng)的支撐剛度值。進(jìn)而估算橡膠的支撐剛度為1.02MN／m，此即為車體模型的邊界約束。

圖5 支撐剛度對一階沉浮頻率的影響

高速列車鋁合金車體有限元模型見圖6，X、Y和Z為車輛系統(tǒng)坐標(biāo)系。

車體有限元模型主要的結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

表1 車體結(jié)構(gòu)主要參數(shù)表

與測試模態(tài)相對應(yīng)，在0～50Hz范圍內(nèi)，有限元分析共獲取了22階彈性模態(tài)頻率fj（j＝1，2，…，22），并提取與試驗(yàn)測點(diǎn)對應(yīng)的振型向量Φi（i＝1，2，…，22）。

計算試驗(yàn)和仿真模態(tài)振型MAC值和頻率相對誤差r，根據(jù)式（3）進(jìn)行模態(tài)匹配，結(jié)果見表2。

表2 模態(tài)對比表

分析表2，匹配后的仿真模態(tài)頻率最大誤差為7.33%，且部分MAC值不到0.9。利用車體模型精度準(zhǔn)則判定該車體模型不滿足精度要求，需要進(jìn)行修正。

3 車體模型修正

3.1 修正參數(shù)選取

鋁合金車體結(jié)構(gòu)主要模型參數(shù)包括材料密度、彈性模量、支撐剛度以及型材尺寸等，見表3。

表3 車體模型主要參數(shù)及初始值

結(jié)合式（5）、式（6）計算參數(shù)的傳統(tǒng)靈敏度矩陣，以頻率靈敏度元素為例，給出其量級和單位，見表4。

表4 各類型參數(shù)靈敏度的數(shù)量級和單位

從表4知，傳統(tǒng)的靈敏度不能衡量不同類型參數(shù)對頻率的影響，無法合理選取參數(shù)。同時，靈敏度矩陣元素數(shù)量級相差甚大，其條件數(shù)Cond1＝6.591 5×1015，可見其病態(tài)性十分嚴(yán)重。

為此，對車體各參數(shù)作qj＝＋5%的擾動，基于式（8）～式（10）計算靈敏度矩陣S。該矩陣全部元素均為百分比，量綱統(tǒng)一，利于修正參數(shù)的合理選取。矩陣的條件數(shù)Cond2＝3.857 8×104，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于Cond1，從而大大地改善了矩陣的病態(tài)性，更利于目標(biāo)函數(shù)的求解。振型相關(guān)性MAC對各參數(shù)擾動q的靈敏度，見圖7（a），模態(tài)頻率百分比對參數(shù)擾動的靈敏度見圖7（b）。

圖7 靈敏度圖

由圖7（a）可知，第3階和第7階模態(tài)振型MAC對修正參數(shù)擾動不靈敏，第8階模態(tài)振型MAC對參數(shù)擾動靈敏度最大。由圖7（b）知，密度和彈性模量擾動的靈敏度較高，模態(tài)頻率百分比對參數(shù)擾動比q11～q13的靈敏度較低。

結(jié)合式（11），第3階和第7階振型MAC不作修正目標(biāo)，參數(shù)擾動比q11～q13不參與模態(tài)頻率百分比目標(biāo)函數(shù)修正。以減少目標(biāo)方程組維數(shù)，提高修正效率。

3.2 模型修正

將頻率誤差百分比和振型相關(guān)性系數(shù)取等同權(quán)重（λ＝1）；為約束參數(shù)qj趨于穩(wěn)定且變化量小，C取單位矩陣I，d為零矩陣。結(jié)合式（21）求出a＝1×10－4，按照式（14）形式重寫目標(biāo)函數(shù)為

利用最小二乘法求解目標(biāo)函數(shù)，收斂過程見圖8。

圖8 修正目標(biāo)函數(shù)收斂圖

由圖8知，采用正則化靈敏度方法經(jīng)過6次迭代，目標(biāo)函數(shù)趨于穩(wěn)定，高速列車車體模型修正完成。

修正后的有限元模態(tài)與試驗(yàn)?zāi)B(tài)對比見表5。

表5 修正后的模態(tài)與試驗(yàn)?zāi)B(tài)對比表

表5中，修正后的模態(tài)滿足精度判定式（4），表明修正后的模型準(zhǔn)確可靠。修正前后，模態(tài)頻率絕對誤差和振型MAC值的變化分別見圖9和圖10所示。

從圖9、圖10可知，修正后的模態(tài)頻率誤差得到大幅衰減；修正后模型的振型MAC得到明顯的提高。

修正后的車體模型各參數(shù)改變率見圖11。

圖9 修正前后模態(tài)頻率絕對誤差

圖10 修正前后振型MAC對比

圖11 修正后的參數(shù)擾動比

由圖11表明，各參數(shù)擾動比均在5%左右，符合實(shí)際情況。密度參數(shù)擾動比較小；型材厚度改變擾動比大部分為負(fù)值，表明初始模型尺寸較實(shí)際厚，與有限元模態(tài)頻率高于測試值相吻合。

綜上所述，修正后的鋁合金車體模型的模態(tài)參數(shù)滿足精度要求，與試驗(yàn)測試值相吻合。同時車體模型參數(shù)變化在±5%左右，符合車體的實(shí)際結(jié)構(gòu)。這表明修正后車體模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)的預(yù)期相符合。

4 結(jié)論

通過對高速列車車體模型修正，得出以下結(jié)論：

（1）針對某鋁合金車體仿真建模的不準(zhǔn)確性，對車體有限元模型修正方法進(jìn)行研究；提出了基于參數(shù)擾動比的靈敏度修正方法，并完成了該車體有限元模型的修正。修正后的結(jié)果表明該模型修正方法正確可行。

（2）修正后的車體有限元模型模態(tài)與試驗(yàn)測試值保持一致，車體模型各參數(shù)擾動均在允許范圍內(nèi)。且獲取了一個與工程實(shí)際相吻合的車體有限元模型，該車體模型為后續(xù)的整車結(jié)構(gòu)、轉(zhuǎn)向架和車下橡膠吊掛參數(shù)的設(shè)計提供了正確的基礎(chǔ)和依據(jù)。

（3）利用鋁合金車體的實(shí)測模態(tài)頻率和振型數(shù)據(jù)，首次建立了車體模型的匹配方法和模型精度判定準(zhǔn)則，并提出了適用于車體的模型修正方法；同時，改進(jìn)了模態(tài)靈敏度分析方法，統(tǒng)一了參數(shù)靈敏度量綱，改善了靈敏度矩陣的病態(tài)性，提高了模型修正效率。

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