賞析數(shù)學(xué)美

陳小璽

摘 要：數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)。數(shù)學(xué)之美充滿了整個(gè)世界，它的結(jié)構(gòu)的完整、圖形的對(duì)稱、布局的合理、形式的簡(jiǎn)潔，無(wú)不體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中美的因素。本文從數(shù)學(xué)的和諧美，統(tǒng)一美，對(duì)稱美，簡(jiǎn)潔美，奇異美五個(gè)方面賞析了數(shù)學(xué)的美。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；美；賞析

數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)。龐卡萊（J.H.poincom，1854—1912）說過： “感覺數(shù)學(xué)美，感覺數(shù)與形調(diào)和，感覺幾何優(yōu)雅……這是所有真正數(shù)學(xué)家都知道的真正美感。”大數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨(dú)特的創(chuàng)作。音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切。”表面上看，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是解題，解題再解題，顯得非常枯燥無(wú)味，但當(dāng)我們細(xì)細(xì)品味慢慢體會(huì)的時(shí)候，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)非常美而且美的妙不可言。數(shù)學(xué)之美充滿了整個(gè)世界，它的結(jié)構(gòu)的完整、圖形的對(duì)稱、布局的合理、形式的簡(jiǎn)潔，無(wú)不體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中美的因素。數(shù)學(xué)美在何處？

一、和諧美

一些表面上看來(lái)復(fù)雜的得令人眼花繚亂的對(duì)象，一經(jīng)數(shù)學(xué)的分析便顯得井然有序，從而喚起理性的美感。例如三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，又如歐拉公式，被人們認(rèn)為是一個(gè)非常優(yōu)美的公式。原因在于指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)在實(shí)數(shù)域中看不出有什么聯(lián)系，而在復(fù)數(shù)域中卻發(fā)現(xiàn)了它們之間的相互轉(zhuǎn)化，并被一個(gè)簡(jiǎn)單的關(guān)系式聯(lián)系在一起。特別有趣的是當(dāng)時(shí)，歐拉公式寫成了，它把數(shù)中最富有特色的五個(gè)數(shù)，這些藐似不相干（性質(zhì)上十分不同）的數(shù)竟然如此和諧地共處于一個(gè)公式中，它被認(rèn)為是充分顯示數(shù)學(xué)內(nèi)在美的一個(gè)公式。

二、統(tǒng)一美

哲學(xué)家普洛克拉斯曾說過：“哪里有數(shù)，哪里就有美。”加法，減法統(tǒng)一于代數(shù)和（正數(shù)與負(fù)數(shù)和），乘法，除法在有公約數(shù)后統(tǒng)一成乘法，解析幾何又體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的統(tǒng)一，而指數(shù)函數(shù)又把乘方與開方又統(tǒng)一起來(lái)……這便是數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。

三、對(duì)稱美

對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的核心。對(duì)稱的圖形，對(duì)稱的建筑物，是到處可見的。繪畫中利用對(duì)稱美，文學(xué)作品中也有對(duì)稱手法。就拿人體本身來(lái)說，人體本身是美的，它的對(duì)稱性：兩手，兩腿，兩眼，兩耳都是很對(duì)稱的，而且人體最標(biāo)準(zhǔn)的身材，便是以肚臍眼為黃金分割點(diǎn)的。在數(shù)學(xué)中則表現(xiàn)在幾何圖形中有點(diǎn)對(duì)稱，線對(duì)稱，面對(duì)稱。在幾何圖形中還有一些深層的對(duì)稱美，如：一條線段關(guān)于它的中點(diǎn)對(duì)稱，這條線段若左端點(diǎn)的坐標(biāo)為，右端點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么中點(diǎn)在處。又如似乎黃金分割點(diǎn)（在處）不是對(duì)稱點(diǎn)，但若將左端點(diǎn)記為，右端點(diǎn)記為，黃金分割點(diǎn)記為，則；而且關(guān)于中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也是的黃金分割點(diǎn)，因?yàn)椋辉龠M(jìn)一層看，又是類似的一直討論下去，這可視為一種連環(huán)對(duì)稱。

四、簡(jiǎn)潔美

簡(jiǎn)潔、有效、經(jīng)濟(jì)給人以美感，煩瑣、臃腫、無(wú)謂的消耗則給人以相反的感覺。數(shù)學(xué)不愿意把一億寫成，而要寫成，更不愿意把億分之一寫成，而樂于寫成。這樣的簡(jiǎn)寫，給我們計(jì)算提供了很大方便。就數(shù)列求和來(lái)說吧，求我們就不會(huì)將其各項(xiàng)都一一列出來(lái)逐項(xiàng)相加，而通常是用公式，這樣寫既簡(jiǎn)單又明了。數(shù)學(xué)總是追求簡(jiǎn)潔的，不僅在運(yùn)算上，符號(hào)上，而且對(duì)于論證也是如此，它總是力求用簡(jiǎn)潔的方式完成論證，證明題的證明方法是最貼近我們的體現(xiàn)。

五、奇異美

幾何與代數(shù)曾經(jīng)是平行發(fā)展的，世紀(jì)之前，幾何與代數(shù)相比處于支配地位，幾何是代數(shù)的同義詞。然而，世紀(jì)竟發(fā)現(xiàn)兩者是那樣密切的聯(lián)系在一起的，研究了數(shù)千年的亦被認(rèn)為是非常漂亮的圓錐曲線竟為一個(gè)簡(jiǎn)單的二次方程包羅無(wú)遺：。公元前世紀(jì)曾被希臘學(xué)者歐多克斯等研究過的黃金分割，誰(shuí)曾料到，它會(huì)在世紀(jì)年代被用于優(yōu)選法？誰(shuí)曾料到，年伽羅華為研究代數(shù)方程求根公式可能性問題而被引進(jìn)的群的概念竟在世紀(jì)被用來(lái)表達(dá)物理學(xué)的基本原理？誰(shuí)曾料到，世紀(jì)初誕生的非歐幾何竟被用來(lái)建立相對(duì)論學(xué)說？誰(shuí)曾料到，世紀(jì)頭年代建立的數(shù)理邏輯會(huì)成為數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)的基本工具？真可謂有無(wú)窮的“誰(shuí)曾料到”。新奇才有藝術(shù)，“未曾料到”才引人入勝，這也是數(shù)學(xué)的魅力，數(shù)學(xué)的美。

美國(guó)數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)史家克萊因說過：“音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科技可以改善生活，但數(shù)學(xué)卻能提供上述一切。”數(shù)學(xué)家在贊頌數(shù)學(xué)美時(shí)都是異口同聲的。即使不同的流派，在這一點(diǎn)上都是一個(gè)調(diào)子。邏輯主義派懷特海德說：“只有音樂堪與數(shù)學(xué)媲美”，另一代表羅素說：“數(shù)學(xué)，如果正確的看它，不但擁有真理，而且也是有至高是美，正像雕刻的美……”，畢達(dá)哥拉斯本人還是音樂理論的一位始祖，他闡明了單弦的調(diào)和音樂與單弦的弦長(zhǎng)之間的關(guān)系；希臘學(xué)者歐多克斯等也寫出過音樂方面的著作，研究過諧音的配合，制訂過音階；笛卡爾作為世紀(jì)的一位卓越數(shù)學(xué)家，也寫過一本名為《音樂概論》的書；世紀(jì)的大數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立過一種新的音樂理論。可見數(shù)學(xué)與美妙的音樂又是密切聯(lián)系的。

一方面，數(shù)學(xué)美給人們以精神享受，從而激發(fā)起學(xué)習(xí)研究的興趣；另一方面，對(duì)于數(shù)學(xué)美的追求，又會(huì)給數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)帶來(lái)積極的影響。數(shù)學(xué)中的審美原則在數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)中有重要的地位。數(shù)學(xué)的美是顯而易見的，數(shù)學(xué)的審美作用是不容忽視的。

數(shù)學(xué)中充滿美，絢麗多姿而又深邃含蓄的數(shù)學(xué)美需要人們?nèi)グl(fā)現(xiàn)，只有發(fā)現(xiàn)才可能欣賞和享受。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是理解，會(huì)運(yùn)用，還要欣賞它的奇異，它的和諧，它的簡(jiǎn)潔，它的美麗。