導數在函數問題上的應用

曾慶國

[摘要]函數與導數是高考必考內容，主要是考查利用導數研究函數的有關問題。本文擬對利用導數研究函數的切線問題，單調性，極值，最值的方法進行分析。

[關鍵詞]利用導數研究函數；切線；單調性；極值；最值

在初中階段，運用運動變化的觀點來研究幾類相對簡單的函數如一次函數、二次函數、反比例函數。在高中階段，我們又用集合映射的觀點研究指數函數、對數函數、冪函數等幾類基本初等函數，這些都是通過列表描點用平滑的曲線畫出函數大體圖像，并通過函數圖像來研究這些基本初等函數的有關性質。但對于由幾個基本初等函數的加減乘除構成相對復雜的函數，那么我們想通過列表描點畫出這類函數圖像進而研究這類函數的性質，就顯得力不從心，因此很難刻畫出這類相對復雜的函數的圖像，從而影響我們對函數性質的研究。而導數恰好克服這一弱點，通過變化率和逼近的觀點來研究函數的切線問題，利用導數進一步研究函數的單調性，極值，最值，這樣就較容易刻畫出這類相對復雜的函數的大致圖像，通過圖像就可以看出函數的單調性，極值，最值等性質，進一步研究這類函數的零點，方程的根，不等式等問題提供理論基礎。函數與方程思想以及數形結合思想是高中數學重要的數學思想方法，同時它對培養學生抽象思維能力和創新能力有著重要意義和作用，且函數方程思想貫穿整個高中數學始終，地位作用顯得尤為突出，而利用導數研究函數的有關問題是歷年高考的重要考點。現本人利用導數研究函數的切線問題，單調性，極值，最值的方法及學生容易出現錯誤的地方提出自己的看法。

一、函數切線問題

函數y=f（x）在點x0處的導數f′（x），就是曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0））處的切線的斜率k，即k=f′（x0）。當我們在求解過某點的切線問題時，必須先討論此點是否在切線上，若切點坐標未知，則應先設出切點坐標。

例 已知函數f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R），在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0。求函數f（x）的解析式。

分析 函數的切點問題最主要是利用函數方程思想，把切線的斜率和導函數的函數值聯系起來，切點坐標P（x0，f（x0））滿足三個方程：k=f′（x0），切點坐標P（x0，f（x0））滿足切線方程和曲線方程。

解

∵f′（x）=3ax2+2bx-3，

根據題意，得f（1）=-2，

f′（1）=0，

即a+b-3=-2，

3a+2b-3=0，

解得a=1，

b=0。

∴f（x）=x3-3x。

二、函數單調性問題

函數的單調性與導數的關系：在某個區間（a，b）內，如果f′（x）>0，那么函數y=f（x）在這個區間內單調遞增；如果f′（x）<0，那么函數y=f（x）在這個區間內單調遞減。 注意在求解函數y=f（x）單調區間時，容易忽視函數y=f（x）的定義域。也要注意把握導函數圖像與原函數圖像之間對應關系。

例 設函數f（x）=xex。

（1） 求f（x）的單調區間與極值；（2）是否存在實數a，使得對任意的x1，x2∈（a，+∞），當x1f（x1）-f（a）[]x1-a成立。若存在，求a的范圍，若不存在，請說明理由。

解 （1）f′（x）=（1+x）ex。令f′（x）=0，得x=-1。列表如下：

x[]（-∞，-1）[]-1[]（-1，+∞）

f′（x）[]-[]0[]+

f（x）[][]極小值[]

單調遞減區間是（-∞，-1），單調遞增區間是（-1，+∞），f（x）極小值=f（-1）=-1[]e。

（2）設g（x）=f（x）-f（a）[]x-a，由題意，對任意的x1，x2∈（a，+∞），當x1g（x1），即y=g（x）在（a，+∞）上是單調增函數。

∵g′（x）=f′（x）（x-a）-[f（x）-f（a）][]（x-a）2=（1+x）ex（x-a）-xex+aea[]（x-a）2=（x2+x-ax-a）ex-xex+aex（x-a）2=x2ex-axex-aex+aea[]（x-a）2。

x∈（a，+∞），g′（x）≥0，令h（x）=x2ex-axex-aex+aea≥0。

h′（x）=2xex+x2ex-a（1+x）ex-aex=x（x+2）ex-a（x+2）ex=（x+2）（x-a）ex，

①若a≥-2，當x>a時，h′（x）>0，h（x）為[a，+∞）上的單調遞增函數，∴h（x）>h（a）=0，不等式成立。

②若a<-2，當x∈（a，-2）時，h′（x）<0，h（x）為[a，-2]上的單調遞減函數，∴x0∈（a，-2），h（x0）

所以，a的取值范圍為[-2，+∞）。

通過導數研究函數單調性的方法比較大小，證明不等式，以及處理定參問題，比一般的定義證明顯得簡單方便。

三、函數極值問題

函數極小值的定義：設函數f（x）在點x=a的函數值為f（a）比它在x=a附近其他點的函數值都小，f′（a）=0，而且在x=a附近的左側f′（x）<0，右側f′（x）>0，則點a叫做函數f（x）的一個極小值點，f（a）叫做函數f（x）的極小值。類似的也定義極大值。

例 方程x3-6x2+9x-10=0的實根的個數是 （ ）。

A。3 B。2 C。1 D。0

分析 此題是一個三次方程，不易猜根。可先構造函數，再通過求導數判斷函數的單調性，極值點，畫出其草圖，數形結合分析求解，就顯得直觀易解。

解 令f（x）=x3-6x2+9x-10，則f′（x）=3x2-12x+9。

∴f′（x）=3（x-1）（x-3）。

∴當x<1或x>3時 ，f′（x）>0，f（x）為增函數。

當1

∴f（x）極大值=f（1）=-6<0。

故f（x）的極大值在x軸的下方，如圖，即f（x）的圖像與x軸只有一個交點，原方程只有一個實根。選C。

四、函數最值問題

把連續函數所有的極值與定義區間端點的函數值進行比較，就可以得出函數的最值。

例 設函數f（x）=2lnx（x-1）-（x-1）2。若關于x的方程f（x）+x2-3x-a=0在區間[2，4]內恰有兩個相異的實根，求實數a的取值范圍。

分析 利用導數來分析處理，方程根的問題，函數的零點問題要注意和對應方程的根及函數的圖像聯系起來，通過

極值點和邊界點求出函數的最值。當一個函數不能直接畫出圖像時，要有求導的意識來探究一下函數的基本性質然后再畫草圖。解題直觀漂亮。

解 ∵f（x）=2ln（x-1）-（x-1）2，

∴f（x）+x2-3x-a=0x+a+1-2ln（x-1）=0。

即a=2ln（x-1）-x-1，

令h（x）=2ln（x-1）-x-1，

∵h′（x）=2[]x-1-1=3-x[]x-1，且x>1，

由h′（x）>0，得13。

∴h（x）在區間[2，3]內單調遞增，在區間[3，4]內單調遞減。

∵h（2）=-3，h（3）=2ln2-4，h（4）=2ln3-5，又h（2）

故f（x）+x2-3x-a=0在區間[2，4]內恰有兩個相異實根h（4）≤a

即2ln3-5≤a<2ln2-4。

綜上所述，a的取值范圍是[2ln3-5，2ln2-4）。

通過列表描點只能研究比較簡單的函數的圖像和性質，那么對相對復雜的函數只能通過導數研究它的單調性，極值，最值，就能生動刻畫出這些相對復雜函數的圖像，從而進一步研究其性質起著非常重要的作用。在教學中，導數與不等式，方程，三角函數，解析幾何，向量等交叉滲透，這對學生各方面數學能力培養有著重要意義和作用。