由“將軍飲馬”問題模型淺談多題一解的思維方法

周相榮

多題一解是指把型異質同或型近質同的問題進行歸類分析，抓住共同題目本質就能弄通一題而旁通多題。多題一解的思想方法是數學教學中學生應掌握的基本解題方法和解題模式，它不僅能使學生形成必要的解題技能，還能使學生掌握一種探索數學問題的工具。也

是培養學生收斂性思維的重要途徑。下面就教材中利用“將軍飲馬”問題來解決的幾種數學類題，談談多題一解的思維方法。

問題來源

圖 1

早在古羅馬時代，傳說海倫是亞歷山大城的一位數學家。一天，有位羅馬將軍專程去拜訪他，請教一個百思不得其解的問題。他每天從軍營山峰A出發，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側的營地B地開會，應該怎樣走才能使路程最短？從此，這個問題被稱為“將軍飲馬”問題廣泛流傳。

建立模型

圖 2

直線a的同側有兩個定點AB，在直線上找一點P，使AP+BP的值最小。

作點A關于直線的對稱點A1，易知AP=A1P，根據“兩點之間線段最短”

原理可知，當點P運動到點E（A1、E、B共線）所在位置時，AP+BP=A1P值最小。

這是中學幾何教學中一個重要的基本模型。其本質是“求距離的和最小”問題，在教學中不僅要使學生知道如何解決問題，而且要使學生體會到解決問題所用到的數學思想是轉化思想和模型思想，所用方法是對稱的方法。

類題歸解

（一）平面直角坐標中的最值問題

圖 3

例1 如圖3，點A，B的坐標分別為（-1，1），（3，2），P為X軸上一點，且到A，B的距離之和最小，求P點的坐標？

解析 此題雖是求坐標軸上點的坐標，但點的確定仍然是應用“將軍飲馬”問題中的數學思維方法，屬同質類型的數學問題。作點A關于x軸的對稱點A′，則C（-1，-1）。連接BC，與x軸交于點P，此時AP+BP最小。直線BC的解析式為y=34x-14，y=0，得x=13，故P（13，0）。

（二）代數中的最值問題

例2 求代數式x2+12+（4-x）2+42的最小值。

解析 此題純代數問題，利用代數方法解決很麻煩，如果轉換數學思維方法，利用“將軍飲馬”問題模型中的圖形特征，來巧妙的構造幾何圖形，問題就迎刃而解了。構圖思路如下取AB=4，作AC⊥AB，BD⊥AB，AC=1，BD=2。作點C的對稱點C′，連接C′D交AB于點P。設AP=x，則BP=4-x，此時CP+PD=x2+12+（4-x）2+42且最小。過點C′作DB延長線的垂線交于點E，故CP+PD=C′P+PD=C′D=42+32=5。

（三）圖形變換中的最值問題

圖 4

例3 已知：如圖4，Rt△ABC中，BC=2，AC=2，∠ACB=90°，D點為BC邊上的中點，E是AB邊上一動點，求EC+ED的最小值。

圖 5

解析 由于C、D兩點分布在線段AB的同側，且點E為線段AB上一動點，要使EC+ED的最小值，聯想到“將軍飲馬”問題模型中的基本圖形，以CA、BC為邊構造正方形ACBF，則點F是C點關于AB的對稱點，連接DF交AB于點E，則此時EC+ED的值最小。

在Rt△DBF中，有EC+ED=EF+ED=DF=BD2+BF2=12+22=5。

說明 此圖構造利用翻折變換，構建定點關于動點所在直線的對稱點，在不改變線段長度的前提下改變其位置，化同側為異側，化折為直，找出相應位置，并求出最小值。其出題變換背景常有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標軸、拋物線等類型，這里不一一列舉。

思維歸納

通過分析可以看出：上述類型題目都具有“一條直線同旁有兩個定點，在直線上確定一動點的位置，使動點到兩定點距離之和最小”的本質特征。解決此類問題的總體思路是：抓住“兩點之間線段最短”這一基本模型，找出點關于線的對稱點，實現“折”轉“直”，不管題目的形式發生如何變化，學生只要抓住“將軍飲馬”問題模型中的圖形特征，靈活巧妙的構造其幾何圖形，就能利用數形結合的思維方法去解決。

由此，教師在平時數學教學中，要注重典型性習題的選擇，指導學生學會對題目的條件和結論進行分析，抓住題目的圖形的本質特征，構建數學模型，并能在類題中靈活地根據數學模型特征構造幾何圖形，逐步激發學生向“同質異型”的知識點進行深層次探索，從解決問題上升到分析問題，由表及里，抓住問題的本質，善于反思和歸納，總結出“一類題目”解決的思維方法，進而應用此思維方法解決“同質”的相關類題。培養了學生“多題一解”的解題意識，提高了學生的解題能力，培養學生的收斂性思維。