“萬法歸宗”

曾敏

[摘要] 正弦定理和余弦定理是三角形中的兩個重要定理，它們將三角形的邊和角有機地結合起來，深刻地揭示了三角形中的邊角關系。在解三角形時，我們應充分關注問題的幾何背景，利用好正余弦定理和向量等工具實現三角形的邊角互化， 從而優化解題方法。

[關鍵詞]解三角形；邊角；正弦定理；余弦定理

解三角形是高中數學中的重要內容，也是高考的必考內容，而考察的重點又放在了正弦定理、余弦定理的應用。如何利用好正、余弦定理將邊的關系轉化為角的三角函數關系式或將角的三角函數關系式轉化為邊的關系式呢？學生在遇到此類問題時，不知何時用哪個定理，基于此，現舉例說明，給出幾種招數供大家參考。

例 在△ABC中，2sin2A2=3sinA，sin（B-C）=2cosBsinC，則ACAB=。

法寶一：（“化角”策略）

分析 利用二倍角公式求A， 將所求邊的比值化成角的關系上，運用正弦定理可以實現將邊化為角，突出三角恒等變形思想。

2sin2A2=3·2sinA2cosA2sinA2=3cosA2tanA2=3A=23π。

sinBcosC-cosBsinC=2cosBsinCsinBcosC=3cosBsinCtanB=3tanC。

∴tanπ3-C=3tanC33tan2C+4tanC-3=0tanC=-2+1333（tanC>0）。

∴ACAB=sinBsinC=sin（π3-C）sinC=3cosC-sinC2sinC=32cotC-12=323313-2-12=1+132。

點評 利用正弦定理把已知條件的邊轉化為內角的三角函數間的關系，通過三角恒等變形，求出內角的關系。

法寶二：（“化邊”策略）

分析 利用余弦定理可以實現將三角內角的余弦值轉化為邊，利用正弦定理將角的正弦值轉化為邊，突出代數方程思想。

2sin2A2=3·2sinA2cosA2sinA2=3cosA2tanA2=3A=23π。

sinBcosC-cosBsinC=2cosBsinCsinBcosC=3cosBsinC。

b·a2+b2-c22ab=3·a2+c2-b22ac·ca2+b2-c2=3（a2+c2-b2）a2=2b2-2c2。

由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos23π=b2+c2+bc。

∴2b2-2c2=b2+c2+bc3c2-b2+bc=0bc2-bc-3=0。

∵bc>0，∴bc=1+132。

點評 利用正、余弦定理把已知條件的角轉化為邊邊關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系。

法寶三：（“數形結合”策略）

分析 作出三角形的高，主要運用直角三角形中銳角的三角函數定義和勾股定理也可解答。

2sin2A2=3·2sinA2cosA2sinA2=3cosA2tanA2=3A=23π。

取AB=AD=c，過A作AH⊥BD。如右圖：

sin（B-C）=2cosBsinCsin∠CAD=2cosBsinC。

∵sin∠CADsinC=CDc，∴CD=2c·cosB=2BH=BD。

∴AD=12（AB+AC）c2=14c2+b2+2bccos23π=14（c2+b2-bc）。

∴3c2-b2+bc=0bc2-bc-3=0。∵bc>0，∴bc=1+132。

點評 把平面幾何中的性質、定理與正、余弦定理結合起來，能夠發現題目中的隱含條件。

這個例子充分顯示了三角形邊角關系互化的特點，處理此類問題的方法策略很多，歸結到底，利用好正、余弦定理，通過“化角”，“化邊”，“數形結合”三大法寶可以實現完美的轉化。