排列組合中的分組分配問題

楊建國

n個不同元素按照某些條件分配給k個不同得對象，稱為分配問題

排列組合應用題中的分配分組問題，是一類抽象難懂的問題，包含的類型也特別多主要有以下幾種：均分無分配對象、均分有分配對象、非均分組無分配對象、非均分組有分配對象、部分均分無分配對象、部分均分有分配對象。很多同學在做這類題目的時候分不清楚到底是屬于哪類的分組分配問題。下面主要從一些例題分析這些不同類型的分組分配問題，從而更好的辨別這些類型的問題。

例1 六本不同的書，分為三組，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？

（1）每組兩本。

（2）甲、乙、丙三人，每人兩本

（3）一組一本，一組二本，一組三本。

（4）甲、乙、丙三人，一人一本、一人兩本、一人三本。

（5）一組四本，另外兩組各一本。

（6）甲、乙、丙三人，一人四本、一人一本、一人一本。

分析 顯然以上6個小題分別對應一種類型的分配問題。

（1）分組與順序無關，是組合問題。分組數是C26C24C22=90（種），這90種分組實際

上重復了6次。我們不妨把六本不同的書寫上1、2、3、4、5、6六個號碼，考察以下兩種

分法：（1，2）（3，4）（5，6）與（3，4）（1，2）（5，6），由于書是均勻分組的，三組的本

數一樣，又與順序無關，所以這兩種分法是同一種分法。以上的分組方法實際上加入了組的

順序，因此還應取消分組的順序，即除以組數的全排列數A33，所以分法是C26C24C22A33=15（種）。所以平均分組是無序的，各組合數相乘時產生了順序，故應消序（除以平均組數的全排列）。

（2）“分為三組，再將這三組分給甲、乙、丙三人”，因此只要將分組方法數再乘以A33，即C26C24C22A33A33=90（種）。

（3）先分組，方法是C16C25C33，那么還要不要除以A33？我們發現，由于每組的書的本數是不一樣的，因此不會出現相同的分法，即共有C16C25C33=60（種）分法。所以不平均分組是有序的，不需要消序。

（4）類似（2）可以得到C16C25C33A33=360（種）。

（5）分組方法是C46C12C11=30（種），那么其中有沒有重復的分法呢？我們發現，其中兩組的書的本數都是一本，因此這兩組有了順序，而與四本書的那一組，由于書的本數不一樣，不可能重復。所以實際分法是C46C12C11A22=15（種）。所以局部平均分組應局部消序。

（6）類似（2）可以得到C46C12C11A22A33=90（種）。

對于分配問題做到先分組，再分配。

類似的問題比如：

例2 12本不同的書分給甲、乙、丙三人按下列條件，各有多少種不同的分法？

（1）一人三本，一人四本，一人五本；

（2）甲三本，乙四本，丙五本；

（3）甲兩本，乙、丙各五本；

根據上面例題的分析容易得出答案：

（1）C312C49C55·A33

（2）C312C49C55

（3）C212C510C55

下面再看幾個分配問題的變形問題：

例3 四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，恰有一個空盒的放法有多少種？

分析 恰有一個空盒，則另外三個盒子中小球數分別為1，1，2。實際上可轉化為先將四個不同的小球分為三組，兩組各1個，另一組2個，分組方法有C14C13C22A22（種），然后將這三組（即三個不同元素）分配給四個小盒（不同對象）中的3個的排列問題，即共有C14C13C22A22A34=144（種）。

例4 有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙、丙各需1人承擔，從10人中選派4人承擔這三項任務，不同的選法有多少種？

分析 先考慮分組，即10人中選4人分為三組，其中兩組各一人，另一組二人，共有C110C19C28A22（種）分法。再考慮排列，甲任務需2人承擔，因此2人的那個組只能承擔甲任務，而一個人的兩組既可承擔乙任務又可承擔丙任務，所以共有C110C19C28A22A22=2520（種）不同的選法。

例5 設集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A為定義域，B為值域，則從集合A到集合B的不同的函數有多少個？

分析 由于集合A為定義域，B為值域，即集合A、B中的每個元素都有“歸宿”，而

集合B的每個元素接受集合A中對應的元素的數目不限，所以此問題實際上還是分組后分

配的問題。先考慮分組，集合A中4個元素分為三組，各組的元素數目分別為1，1，2，則

共有C14C13C22A22（種）分組方法。再考慮分配，即排列，再乘以A33，所以共有C14C13C22A22A33=36（個）不同的函數。

總之，掌握上述方法，就能順利解決任何分配問題。而且，學會了分配問題，還能將一些其他的排列組合問題轉化為分配問題來解決。