等可能性在概率中的運用

何玉林

概率論是用數字刻畫事件發生可能性大小的數學分支，它探討隨機現象的規律性，為人們認識世界提供了重要的模式和方法。“36選7”是確定體育彩票中間號碼時所采用的一種常規方法，是古典概型的一個典型例子；飛鏢的命中率是幾何概型的一個典型例子。這兩種概型都有一個共同的特點：基本事件的發生都是等可能性的。比如，投資者在買進某種股票時，投資有增值和減值兩種可能，這里不具備任何等可能性的特征。在現實的教學中不難發現，學生由于忽視事件發生的等可能性，導致概率的學習存在不少的問題。

一、古典概型中的等可能性

古典概型是一種特殊的數學模型，古典概型在概率論中只有相當重要的地位，是學習概率必不可少的內容。它有兩個特征：（1）試驗的所有可能出現的基本事件只有有限個；（2）每個基本事件出現的可能性相等。一個模型只有滿足這兩個特征時，才能用隨機事件的概率公式。

例1 同時投擲兩個骰子，計算向上的點數之和是7的概率是多少？

錯解1 投擲出現的點數之和一共有11種可能，分別為2，3，4，…，12，因此點數之和為7的概率為111。

剖析 如果我們以投擲出現的點數作為考察對象，則基本事件一共有11種可能，但是這里的每一種結果出現的機會不是均等的，如2出現1次，5出現4次，而7出現6次，因而以點數之和作為考察對象，它不是等可能行事件。

錯解2 所有可能的結果有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，6）共21種，和是7的結果有3個，它們是（1，6），（2，5），（3，4），所求概率為321=17。

剖析 錯解中給出的21種基本事件不是等可能性發生的，需要對其進行編號，如果不標上記號，類似于（1，2）和（2，1）是沒有區別的。

正解 以兩次投擲分別出現的點數作為考察對象，則基本事件由有序數對（m，n）組成，共有36種可能，它們的出現是等可能的。事件向上的點數之和是7 一共包含了（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）這6種基本事件，因此向上的點數之和是7的概率為636=16。

點評 古典概型求基本事件時，一定要從等可能性入手，對照基本事件的含義和特征進行思考，并將所有可能的基本事件一一列舉出來。同時，一次實驗中的“可能結果”實際是針對特定的觀察角度而言的。例如，甲、乙、丙、丁四名同學站成一排，求甲站在兩端的概率。若從四名同學的站位來看，共有4×3×2×1=24種結果，而甲站在兩端一共有12種結果，因此概率為12；若僅從甲的站位看，則結果只有四種，甲站在“1號位”，“2號位”，“3號位”，“4號位”四種結果，甲在兩端有2種結果，因此概率為12。

二、幾何概型中的等可能性

幾何概型也是一種概率模型，在每次隨機試驗中，不同的試驗結果有無限多個，即基本事件有無限個；在這個隨機試驗中，每個試驗結果出現的可能性相等，即基本事件是等可能的。它的特點是試驗結果在一個區域內均勻分布，所以隨機事件概率大小與隨機事件所在區域的形狀，位置無關，只與該區域的大小有關。如果隨機事件所在區域是一個單點，由于單點的長度，面積，體積均為0，則它出現的概率為0，但它不是不可能事件；如果一個隨機事件所在區域是全部區域扣除一個單點，則它出現的概率為1，但它不是必然事件。

例2 在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內部任作一條射線，與線段AB交于點M，求AM

錯解 記“AM

剖析 顯然，點M隨機地落在線段AB上，但并不是等可能的，射線CM在∠ACB內才是等可能分布的，因此需要從角度分析。若將題目條件改為在斜邊上AB任取一點M，點M地落在線段AB才是等可能的，上述解法才是正確的。

正解 射線 CM在∠ACB內才是等可能分布的，在線段AB上截取AE=AC，連接CE，則∠ACE=675°，記“AM

變式 在等腰直角三角形△ABC中，C為直角頂點，在三角形內取點N，連CN交AB于點M，求AM

剖析 點N隨機落在直角三角形△ABC中，并且點N等可能的落在直角三角形ABC中，記“AM

點評 上述問題都是求AM

反思 求與長度（角度）有關的幾何概型的概率，首先，確認是否符合幾何概型的特點。其次，把題中所表示的幾何概型轉化為長度（角度），然后求解，要特別注意“長度型”與“角度型”的不同。求與面積有關的幾何概型的概率，首先確定所求事件構成的區域圖形，判斷是否為幾何概型，其次分別求出Ω和所求事件對應的區域面積，用幾何概型的概率公式求解。