用均值不等式求最值時如何構造定值

傅殿松

[摘要]均值不等式是高中數學重要的基本定理，應用十分廣泛，用其求最值是高中數學教學的一個重點，也是近幾年高考的一個熱點。均值不等式是解決最值問題的有效工具，求最值要同時滿足條件：“一正、二定、三相等”，缺一不可。多數求最值的問題具有隱蔽性，需要進行適當地變形才能用均值不等式求解。掌握一些常見的變形技巧，可以更好地使用均值不等式求最值。定值的構造非常重要，同時也是一個難點，需要合理拆分項或配湊因式等靈活變形。

[關鍵詞]不等式；定值；構造

用均值不等式求最值時，定值的確定是一個難點，也是相關高考題中經常設計的一個“坎”，它往往需要一定的靈活性或技巧性。下面舉例說明。

一、配 項

例1 設x>2，求函數y=x+9x-2的最小值。

分析 各項為正數，但x與9x-2的積并不是定值，故需配湊一些項，使之成為定值。分母變形的手段有限，因而考慮把x變為x-2。

y=（x-2）+9x-2+2≥2（x-2）9x-2+2=8。當x-2=9x-2，即x=5時，y取得最小值8。

例2 已知正數a，b滿足ab=a+b+3，求ab的最小值。

分析 已知條件可化為（a-1）（b-1）=4，因為a，b為正數，易知a>1，b>1，而ab=a+b+3=（a-1）+（b-1）+5≥2（a-1）（b-1）+5=9，當且僅當a-1=b-1，即a=b=3時，ab取得最小值9。

二、配系數

例3 設0

分析 要求最大值，必須使兩個因式的平方和為定值，但x2+（4-3x2）2不是定值。因而考慮將x的系數改為3。

y=x4-3x2=13（3x·4-3x2）

≤133x2+4-3x222=233，

當且僅當3x=4-3x2，即x=63時，y取得最大值233。

三、重復使用不等式

例4 已知a>b>0，求a2+16（a-b）b的最小值。

分析 這題困難在于字母多，關系復雜，且積不是定值，仔細觀察題目結構，發現a=a-b+b，但仍不滿足積為定值的要求，注意到是求最小值，故將a=a-b+b縮小為2（a-b）b，連續應用不等式縮小即可。

a2+16（a-b）b=（a-b+b）2+16（a-b）b≥4（a-b）b+16（a-b）b≥24（a-b）b·16（a-b）b=16。

當a-b=b=2，即a=22，b=2時，取得最小值16。

注意 連續應用不等式時，等號成立的條件可能不同，必須同時滿足時，原題的等號才會成立。本題中a=22，b=2，滿足a-b=b和4（a-b）b=16（a-b）b。

四、平方升次

例5 當x>0時，求函數y=x+4-x2的最大值。

分析 雖然x2+（4-x2）2=4為定值，但含有變量的兩項是相加的形式，不能直接使用基本不等式，因此考慮通過平方變形，將函數轉化為兩個變量相乘的形式。

y2=x2+2x4-x2+4-x2=4+2x4-x2≤4+[x2+（4-x2）2+4]=8。

當x=4-x2，即x=2時，y取得最大值22。

五、待定系數法

有時直接配上恰當的系數比較困難，此時可以考慮借助待定系數法，利用等號成立的條件，列出等式，求出待定系數。

例6 求函數y=2sinx（sinx+cosx）的最大值。

解析 y=2sin2x+2sinxcosx=2sin2x+2sinx（acosx）a（a>0）≤2sin2x+sin2x+a2cos2xa=a+（2a+1-a2）sin2xa 若為定值，則a2=2a+1，a=2+1，所以y≤2+1。 當sinx=acosx，即sinx=2+22，cosx=2-22時，y取得最大值2+1。

六、常值代換

例7 已知x，y∈R+，且x+2y=3，求1x+1y的最小值。

解析 充分利用題設條件，常值代換，應用二元均值不等式：

1x+1y=131x+1y（x+2y）=1+132yx+xy≥1+232，當且僅當2yx=xy，且x+2y=3，即x=3（2-1），y=32（2-2）時，1x+1y取得最小值為1+232。

用均值不等式求最值是一種非常重要的數學思想方法，如何構造定值只是求最值的一個重要條件。另外影響求最值的還有兩個重要條件，一個是“正”，即各項都是正數；一個是“等”，即等號都能取得，三個條件缺一不可，其中一個條件不滿足，此法失效，應考慮其他求最值的方法。