以小破大 突破二次函數的“重圍”

廖杰峰

[摘要]在浙江高考卷中，二次函數往往作為壓軸題，而對于函數的考查，比較側重以二次函數為依托，考查二次函數及其方程、不等式的綜合運用，本文以此為線索，從幾個小問題入手，厘清二次函數與方程、不等式在具體問題中的聯系及轉化關系，并提出二次函數綜合題的相應解題策略。

[關鍵詞]二次函數;以小破大;解題策略

問題1 已知函數f（x）=ax2+2ax+4（a>0）。若x1

解法1 因對稱軸方程為x=-1，由已知條件知，則x1，x2不可能都在-1的左邊，否則與條件矛盾，所以只能在右邊或一左一右。

第一種情況，若x1，x2都在-1的右邊，則根據二次函數的單調性，就有f（x1）

第二種情況，若x1，x2在-1的一左一右，則只能是x1在-1的左邊，而x2在-1的右邊，設x1與-1的距離為L，設x2與-1的距離為N，L-N=x1-x2<0，所以L

解法2 （特殊值法）取x1=-2，x2=2，對照稱軸方程為x=-1，顯然f（x1）

變式 已知函數f（x）=ax2+2ax+4（0

解析 取a=1，即轉化為上一題。

比函數值大小的解題策略：

其一，根據已知條件確定對稱軸，并求出相應的對稱軸方程。函數的單調性、極值及函數值大小等與對稱軸密切相關。在閉區間內，二次函數的最值問題通過該函數的單調性可以確定，而該函數的單調性，又根據其對稱軸位置（在區間的右邊、左邊，還是區間內）及開口方向來確定。如果無法確定對稱軸位置和開口方向，則要進行分類討論。

其二，可以采用特值法，即特殊值代入。可以將題目中的某一個未知量設為較特殊的值，以降低解題難度。該方法在選擇題中比較適用。注意在代入特殊值時，切不可以偏概全，要力求全面、恰當。

其三，轉化法。可以將“比較函數值大小”這類問題轉化為針對對兩個或幾個自變量間關系的研究問題，繼而轉換成對變量和對稱軸之間距離的研究。

此外，分類討論非常重要。要做到不重復、不漏掉任何情況。對區間固定、對稱軸不確定的題型，可以先進行配方，接著根據對稱軸的位置與定義域區間的關系來討論。對區間不固定、對稱軸確定的題型，可以先求出函數的開口方向、對稱軸，進而分析在不同期間內的最值狀況。對區間不固定、對稱軸也不確定的題型，可以先找出該函數對稱軸滿足的條件，進而確定對稱軸方程，在分析定義域區間和對稱軸的關系。

問題2 若不等式x2+ax+1≥0對一切x∈0，12成立，則a的最小值為（ ）。

A。0 B。-2 C。ba D。-3

解法1 （轉換變量）取f（a）=x·a+x2+1，只需f（0）≥0，且f12≥0，得到a≥-52。

解法2 （分離變量）a≥-x2-1x=-x+1x，同時y=x+1x在x∈0，12的范圍內的最小值為52，a的最小值為-52。

變式 若對任意的n（n為正整數），n2+（a-2）n+1+a>0恒成立，求a的取值范圍。

略解：分離變量。

提示 要求無論a取何值，該式恒大于0，即在最低點該式大于0。而該式開口向上，可知最低點即為二次函數的頂點。

求變量范圍的解題策略：

其一，如果在變量所處范圍內有兩個端點，則可以將二次函數轉化成一次函數（即進行變量轉換）或分離變量。

其二，如果在變量所處范圍內有一個端點，可以考慮分離變量。

問題3 設f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）>0，f（1）>0，求證：

（1）a>0且-2

（2）函數f（x）在（0，1）內有幾個零點？說明你的理由。

解析 （1）由已知，有c>0，3a+2b+c>0，由條件a+b+c=0，消去b，得a>c>0。

由條件a+b+c=0，消去c，得a+b<0，2a+b>0，又已有a>0，所以-2

（2）拋物線f（x）=3ax2+2bx+c的頂點坐標為-b3a，3ac-b23a，把-20，f（1）<0，而f-b3a=-a2+c2-ac3a<0，由零點存在定理可知，所以函數f（x）在0，-b3a與-b3a，1內分別有一個零點，所以函數f（x）在（0，1）內有2個零點。

變式 設f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）·f（1）=0，求證：

（Ⅰ）方程f（x）=0有實根;

（Ⅱ）-2

（Ⅲ）設x1，x2是方程f（x）=0的兩個實根，求|x1-x2|的范圍。

解析 （Ⅰ）若a=0，b=-c，則f（0）·f（1）=c（3a+2b+c）=-c2≤0，這與已知矛盾，所以a≠0。

方程的判別式：

Δ=4（a2+c2-ac）=4a-12c2+34c2>0，

所以方程f（x）=0有實根。

（Ⅱ）由f（0）·f（1）=0，得c（3a+2b+c）>0，由條件a+b+c=0，消去b，得到（a+b）（2a+b）>0，兩邊同除以a2，得-2

（Ⅲ）（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=49ba+322+13。

因為-2

所以33≤x1-x2<23。

求不等關系的解題策略：

可以采用消元法。將無關量消去，方便解題。

求二次函數零點個數或位置的解題策略：

可以采用分割法。尋找如頂點之類的特殊點位置，進而確定分點，以分割區間。

二次函數的根解題策略：

其一，根據定義和判別式判斷根（兩個不相等實根，一個實根還是沒有實根）。注意二次項的系數不能為0。

其二，x1-x2=Δa。

其三，可以使用消元法、換元法等轉化方法，以求確定變量的范圍。

反思和總結：

其一，要弄清根和定義的概念與關系。

其二，要注意二次函數值與自變量間的變化對應關系。函數問題，研究的是動態變化，理解函數值和自變量間的變化對應關系對解題而言至關重要。

其三，通過數學建模思想，數形結合方便解題。對某些應用型較強的問題，典型如汽車通過橋洞問題，根據圖形的直觀性、豐富性特征，可以有效降低解題難度。

其四，介紹一些簡單的解決二次函數問題的知識點。

二次函數公式：y=ax2+bx+c（其中系數a、b、c均為常數，且a≠0）。

當a>0時，該函數開口向上;當a<0時，該函數開口向下。

當a與b符號相同時，在y軸左側有對稱軸;當a與b符號不同時，在y軸右側有對稱軸。

|x1-x2|=b2-4aca該式交y軸于（0，c）。

當b2-4ac>0時，ax2+bx+c=0有兩個大小不等的實根;

當b2-4ac=0時，ax2+bx+c=0有一個實根;

當b2-4ac<0時，ax2+bx+c=0沒有實根。

二次函數的幾種解析式：

一般式：y=ax2+bx+c（其中系數a，b，c均為常數，且a≠0）

頂點式：y=a（x-h）2+k（其中，a，k，h均為常數，a≠0）

兩根式：y=a（x-x1）（x-x2），x1，x2為拋物線交x軸的橫坐標，即ax2+bx+c=0的兩個根。

其中，所有二次函數，進行配方后都能轉換成頂點式，頂點坐標（h，k）。當h=0時，拋物線的頂點位于y軸。k=0時，拋物線的頂點位于x軸。k=0且h=0，拋物線的頂點位于原點。當拋物線和x軸相交時，該拋物線方程可以轉化為兩根式。

其五，求拋物線最值、對稱軸、頂點有如下方法：

配方法：將函數解析式轉化成y=a（x-h）2+k的形式，其頂點坐標為（h，k），對稱軸是直線x=h。當a>0時，y存在最小值，其最小值=k，此時x=h;當a<0時，y存在最大值，其最大值為k，此時x=h。

公式法：直接利用頂點坐標公式求解。