巧設參數解幾何題

張佳

[摘要]參數在幾何中是比較活躍的元素，特別是在解析幾何中。針對一些常見幾何命題，本文從引入參數的具體途徑入手，分類闡述了設參的策略與技巧。

[關鍵詞]巧設參數；同一參數；條件參數

本文的主要設參思想就是利用參數刻畫過程的變化狀態，以參數為媒介揭示變量之間的內在聯系，并以此來研究事物的變化規律。

一、同一參數

這類參數一般為斜率k、傾斜角θ、 定比λ。動直線過已知定點，并且不涉及動點與定點的距離時，一般選k為參數，通過k與已知定點來求出相關直線的方程，在根據條件求出動直線上動點的軌跡。

例 如圖，設點A和B為拋物線y2=4px（p>0）上原點以外的兩動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB。求點M的軌跡方程。

解 設直線OA的方程為y=kx，則直線OB

的方程為y=-1kx1。

設點M的坐標為（x，y），解方程組

y2=4px，y=kx。

得A點坐標為4pk2，4pk。

同理可得B點坐標為（4pk2，-4pk）。

因為A，B，M三點共線，所以4pk+4pk4pk2-4pk2=y+4pkx-4pk2。

整理，得1k-ky +4p=x。（1）

又OM⊥AB，所以4pk+4pk4pk2-4pk2·yx=-1。

整理，得k-1k=-yx。（2）

將（2）代入（1）并整理即得點M得軌跡方程為x2+y2-4px=0（x≠0）

若動點恒隨又定長之動線段的運動而運動，這里的動線段過一定點時，則一般選線段的傾斜角θ 作參數，利用邊角關系，引出線間的關系，然后通過給定的條件來消參，得出動點的軌跡。

二、條件參數

在立體幾何中，往往會遇到許多求幾何體定性規律的題目，這就需要增設一些“條件參數”來幫助解題。把問題的制約條件作為參數來引入，這是一種很有效的解題策略。因為制約變量的大小是所求問題的關鍵，通過問題的轄制條件自然可以得到解決問題的入口。

例 在正四棱錐P—ABCD中，已知一對角面與側面的面積之比為6∶2，求一側面與底面的夾角 。

分析 設底面對角線AC，BD的交點為O，

連接PO，則PO⊥平面ABCD。作OE⊥CD與E，

連接PE，則PE⊥CD，∠PEO為側面PCD與底面

ABCD的夾角，

因為正四棱錐P—ABCD的形狀大小是制約∠PEO

的條件，而BC=a，PO=h。又是制約正四棱錐P—ABCD的形狀大小的條件，

所以BC=a，PO=h，又是制約∠PEO的條件，a，h就是根據制約∠PEO的條件而確定的條件參數

解 因為在△PBD中，BD=2a，高PO=h。

所以S△PBD=2ah2。

又由于在Rt△PCD中CD=a，PO=h。

PE=4h2+a22，即S△PCD=a4h2+a24。

因為 S△PBDS△PCD=2ah2a4h2+a24=62，故2h=3a。

由tg∠PEO=POOE=h12a=2ha=3aa=3。

因此∠PEO=π3。

由此可看出應用參數思想解立體幾何題，其關鍵就在與根據求解對象的制約因素恰當的選擇最為有力的條件參數。

綜上所述，在利用參數解一些幾何題的過程中，雖然題目的類型是多樣的，但是設參的目的卻只有一個。那就是將未知轉化為已知，通過參數來溝通變量之間的內在聯系，也就是說，通過分析來引出“巧”。這種思維方法不僅有助于開拓思路，而且可以培養探索精神。這是數學素質教育中不可缺少的。