挖掘遞推數列，體現轉化思想

董暉

世界是千變萬化的，各種事物都在相互轉化，好的可以轉化為壞的；多的可以轉化為少的，丑陋的可以轉化為漂亮的，復雜的可以轉化為簡單的……

遞推數列是數列的重要內容，是數學高考和競賽的亮點，縱觀近幾年各地高考數學試題，“遞推數列”幾乎為必考題，且多以“壓軸題”的姿態出現。數列中蘊含著豐富的數學思想，而遞推數列反映的是數列的本質特征，具有很強的邏輯性，是學習邏輯推理和化歸能力的好素材，也是數學教學中滲透數學思想方法的好載體。

數學中的轉化思想在學習過程中應用非常普遍。解決許多問題實際上都是在轉化，將問題由難轉易，由陌生轉熟悉，從而使問題得到解決。

例1 已知數列{an}滿足an=2an-1+3且a1=1，求數列{an}的通項公式。

解 方法1（遞推法）：an=2an-1+3=2（2an-2+3）+3=222an-3+3+3+3=……=2n-1+3（1+2+22+…+2n-2）=1+32-1·2n-1+31-2=2n+1-3。

方法2（構造法）：設an+1+μ=2an+μ，即μ=3，∴數列an+3是以a1+3=4為首項、2為公比的等比數列，則an+3=4·2n-1=2n+1，即an=2n+1-3。

例1不論是遞推法還是構造法，都是把遞推關系轉化為等比數列問題，才能使問題順利解決。

例2 已知a1=1，an=an-1+n，求an。

解 方法1（遞推法）：an=an-1+n=an-2+（n-1）+n=an-3+（n-2）+（n-1）+n=

……=a1+[2+3+…+（n-2）+（n-1）+n]=∑ni=1n=n（n+1）2。

方法2（累加法）：an-an-1=n，依次類推有：an-1-an-2=n-1、an-2-an-3=n-2、…、a2-a1=2，將各式疊加并整理得an-a1=∑ni=2n，an=a1+∑ni=2n=∑ni=1n=n（n+1）2。

例1不論是遞推法還是累加法，只有把遞推關系轉化為等差數列問題，題目的問題就不難了。例3 已知a1=1，an=-an-1+2n-1，求an。

解 設an2n+μ=λan-12n-1+μ，則2λ=-1μλ-12n=2n-1，解得λ=-12μ=-13，∴an2n-13是以12-13=16為首項，12為公比的等比數列，即an2n-13=16·12n-1，∴an=2n+13。

例3是通過待定系數法把遞推關系轉化為等比數列問題，問題才會迎刃而解。

例4 已知a1=10，an+1=an2，求an。

解 對遞推式an+1=an2左右兩邊分別取對數得lgan+1=2lgan，令lgan=bn，則bn+1=2bn，即數列{bn}是以b1=lg10=1為首項，2為公比的等比數列，即bn=2n-1，因而得an=10bn=102n-1。

例4 對遞推式兩邊取對數，這樣一來，問題就可以轉化成等比數列進行求解了。

例5 已知a1=4，an+1=2·an2an+1，求an。

解 對遞推式左右兩邊取倒數得1an+1=2an+12an。

即1an+1=12·1an+1，

令1an=bn，則bn+1=12bn+1。設bn+1+μ=12（bn+μ），即μ=-2，∴數列{bn-2}是以b1-2=2為首項、2為公比的等比數列，則bn-2=2·2n-1=2n，即bn=2n+2，∴an=12n+2。

例4對遞推式兩邊取倒數，通過待定系數法，問題就可以轉化成等比數列進行求解了。

人為的轉化總是朝著進步的方向，遞推數列的應用問題求解，主要是運用轉化思想把問題的解決方向更加明確，轉化為兩類基本數列（等差數列、等比數列）的問題來求解，最后取得成功，其中的喜悅感油然而生。